广东省东莞市七校2024-2025学年高一下学期期中联考数学试卷（解析版）

这是一份广东省东莞市七校2024-2025学年高一下学期期中联考数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1. 若复数满足，则的虚部为（ ）
A. B. 1C. D. i
【答案】B
【解析】因为，所以，所以的虚部为1.
故选：B
2. 已知向量，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为且，则，得.
故选：D.
3. 如图，是水平放置的的直观图，，，，则原的面积为（ ）
A. B. C. 6D. 8
【答案】C
【解析】由直观图可得如下平面图形，
则，，，
则原的面积为.
故选：C.
4. 在三角形中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】C
【解析】由正弦定理可得，若A成立，，，，有，
∴，∴，故三角形有唯一解．
若B成立，，，，有，∴，又，
故，故三角形无解．
若C成立，，，，有 ，∴，又，
故，故可以是锐角，也可以是钝角，故三角形有两个解．
若D成立，，，，有，∴，由于，故为锐角，故三角形有唯一解．
故选：C．
5. 中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为中，，，，所以，
因为中，，，
所以，即,
由题意，，，
则，
在中，由正弦定理得，即，
故，
故.
故选：B
6. 将半径为4的半圆面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意知，半圆的周长为，设圆锥底面圆的半径为，则，解得，又母线长为4，所以圆锥的高为，
所以圆锥的体积为.
故选：B.
7. 如果向量，的夹角为，我们就称为向量与的“向量积”，还是一个向量，它的长度为.在棱长为2的正方体中，则（ ）
A. B. C. 4D.
【答案】D
【解析】在正方体中，因为，且，所以，
所以，
故选：D.
8. 在直三棱柱中，，若该棱柱外接球的表面积为，则侧面绕直线旋转一周所得到的旋转体的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因直三棱柱中，，
则两个底面三角形的外接圆圆心分别为的中点，
如图所示，.设棱柱的外接球的半径为，圆心为，
由，可得，由对称性知，为中点，
由图，解得.
因侧面绕直线旋转一周后得到的几何体是底面半径为，高为2的圆柱，
其体积为.
故选：B
二、多项选择题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得 6 分，选错或不选得 0 分，部分选对的得部分分．)
9. 已知复数满足：，则（ ）
A.
B. 的虚部是3
C.
D. 复数在复平面内对应的点位于第四象限
【答案】AC
【解析】因为，所以，，
故A正确；
复数在复平面内对应的点为位于第一象限，故D错误；
，其虚部为，故B错误；
，故C正确.
故选：AC.
10. 如图，在边长为6的等边中，，点在以为直径的半圆上（不含点，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 在上的投影向量为
【答案】ABD
【解析】，A正确;
因为点在以为直径的半圆上，所以，所以，B正确；
，C错误；
过点作交于点，过点作交于点，易得为的中点，
因为，所以，则，由图可知在上的投影向量为，即为，D正确．
故选：ABD
11. 如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（ ）
A.
B. 平面
C. 直线与平面所成的角为
D. 三棱锥外接球表面积为
【答案】AD
【解析】对于A，连接，则，因为，所以，
因为平面，平面，
所以，又，平面，
所以平面，又平面，所以，故A正确；
对于B，连接，由正方体得，，
又，所以，因为平面，即与平面不平行，所以与平面不平行，故B错误；
对于C，由题意知，是直线与平面所成的角，且，所以直线与平面所成的角不是，故C错误；
对于D，由正方体得，平面，且，，所以三棱锥外接球的直径，
所以，外接球表面积为，故D正确；
故选：AD．
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分，其中第14题第一空3分，第二空2分.把答案填在答题卡中的横线上．)
12. 已知向量满足，，且，则与的夹角为_________.
【答案】
【解析】因为向量满足，，且，
所以，解得，
因为，所以，
故答案为：
13. 《九章算术》中将圆台称为“圆亭”.已知某圆亭的高为3，上底面半径为1，下底面半径为5，则此圆亭的表面积等于______.
【答案】
【解析】由题意，可作该圆亭的轴截面，如图所示：
则圆亭的高，上底面半径，下底面半径，则，母线，
所以圆台的表面积.
故答案为：
14. 我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积，把以上文字写出公式，即(其中为三角形面积，为三角形的三边)．在非直角中，为内角，，所对应的三边，若且，则面积的最大值是________，此时外接圆的半径为____
【答案】 ；
【解析】因为，
由正弦定理得，
所以，
即，
因为，所以，
由正弦定理得，
由题意可得
，
当即时三角形的面积最大，最大值为，
所以，又，所以，
又，所以，设外接圆的半径为，则，
所以；
故答案为：；3．
四、解答题(本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
15. 已知复数，其中．
（1）设，若是纯虚数，求实数的值；
（2）设，分别记复数在复平面上对应的点为，求与的夹角余弦值以及在上的投影向量．
解：（1），因为是纯虚数，
所以且，解得；
（2）当时，，故，
，故．
设，则；
所以在上的数量投影向量为．
16. 已知在中，内角的对边分别为，且满足．
（1）求；
（2）若，且，求的周长．
解：（1）已知，
则由正弦定理有.
又∵，则，
因为为三角形内角，则，.
（2）由题可知：，所以，
由余弦定理可得，即，
所以，可得，则，
所以的周长为.
17. 如图，中，是的中点，与交于点.
（1）用表示；
（2）设，求的值；
（3）若，求的最大值.
解：（1）.
（2）
因为三点共线，所以，解得.
（3），由（1）可知，
所以，得，
则，
所以
所以的最大值为.
18. 如图，在四棱锥中，平面，，分别为棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求点到平面的距离.
解：（1）如图，连接，设，连接，
因，，可得是平行四边形，则，
又，则得，
因平面，平面，故平面.
（2）由（1）已得，因，故四边形为菱形，
则，因平面平面则，
又平面，故平面.
（3）在中，，
因平面平面则
在中，，同理，，，
故满足勾股定理，则，
故
而，设点D到平面的距离为d，
由等体积法得，得=
故点D到平面的距离为
19. 在中，内角对应的边分别为，，，．
（1）求；
（2）若为线段内一点，且，求线段的长；
（3）法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣；很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如对于任意的，都有被称为柯西不等式；若，求：的最小值．
解：（1）由，得，
即，在中，由正弦定理得，
由余弦定理得，而，
所以．
（2）由，得，
则，
所以.
（3）依题意，
，
当且仅当为正三角形时取等号，所以所求的最小值为48.