辽宁省沈阳市东北育才学校2025届高三最后一模数学试题

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一．选择题（共8小题）
1．已知集合A={x|x-1x3≤0}，B＝{x|x≥a}，若A∩B＝A，则实数a的取值范围是（ ）
A．[0，+∞）B．（0，+∞）C．（﹣∞，0]D．（﹣∞，0）
【分析】先求出集合A，然后结合集合交集性质及集合包含关系即可求解．
【解答】解：因为A={x|x-1x3≤0}={x|0＜x≤1}，B＝{x|x≥a}，
若A∩B＝A，则A⊆B，
所以a≤0．
故选：C．
2．在复平面内，复数z对应的点在第二象限，则复数z•i2025对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】由题意设z＝a+bi（a＜0，b＞0），再由复数的四则运算求z•i2025，得其坐标得答案．
【解答】解：由题意设z＝a+bi（a＜0，b＞0），
则z•i2025＝（a+bi）•i4×506+1＝（a+bi）i＝﹣b+ai，
∴复数z•i2025对应的点的坐标为（﹣b，a），在第三象限．
故选：C．
3．若n为一组从小到大排列的数1，2，4，6，9，10的第60百分位数，在（x﹣2y）n的展开式中，x4y2的系数为（ ）
A．30B．60C．40D．﹣60
【分析】由题意，根据百分位数的定义可得n＝6，再写出二项式的通项，即可求解结论．
【解答】解：由6×60%＝3.6，可知n＝6，
所以二项式为（x﹣2y）6；
其展开式的通项为Tr+1=C6r•x6﹣r•（﹣2y）r＝（﹣2）r•C6r•x6﹣r•yr，
令6﹣r＝4，即r＝2，
所以x4y2的系数为：（﹣2）2•C62=60．
故选：B．
4．已知圆锥的轴截面为正三角形，外接球的半径为1，则圆锥的体积为（ ）
A．3π8B．3π4C．9π8D．9π4
【分析】分析可知，外接球半径即为轴截面等边三角形的外接圆半径，利用正弦定理求出圆锥的底面半径为r，进而求出圆锥的高，再利用锥体的体积公式可求得结果．
【解答】解：如图，
设圆锥的底面半径为r，由于圆锥轴截面为等边三角形，
可得圆锥的母线长为2r，圆锥外接球半径即为轴截面等边三角形的外接圆半径，
由正弦定理可得2=2rsin60°，则r=32，
圆锥的高为h=3r=32，
故该圆锥的体积为V=13πr2h=13π×34×32=38π．
故选：A．
5．若非零向量a→，b→满足|a→-b→|=|a→|-|b→|，则（ ）
A．|a→|＞|b→|
B．存在λ∈（﹣∞，0），使得b→=λa→
C．|a→+b→|≥2|b→|
D．当a→=(x，2)，b→=(1，x-1)时，x的取值集合为{﹣1，2}
【分析】根据模长关系判断A，根据线性关系判断B，结合绝对值三角不等式判断C，根据共线的坐标运算判断D．
【解答】解：对于A，由题可得|a→|-|b→|=|a→-b→|≥0，
所以|a→|≥|b→|，故A错误；
对于B，设向量a→，b→的夹角为θ，
因为|a→-b→|2=|a→|2-2a→⋅b→+|b→|2，
(|a→|-|b→|)2=|a→|2-2|a→||b→|+|b→|2，
又|a→-b→|=|a→|-|b→|，
所以a→⋅b→=|a→||b→|，所以θ＝0，
即向量a→，b→同向，λ＞0，故B错误；
对于C，由a→，b→同向及|a→|≥|b→|得|a→+b→|=|a→|+|b→|≥2|b→|，故C正确；
对于D，当a→=(x，2)，b→=(1，x-1)时，
由a→，b→同向可得：x（x﹣1）﹣2×1＝0，解得x＝2或x＝﹣1，
当x＝﹣1时a→，b→反向，舍去，x＝2符合条件，故D错误．
故选：C．
6．设{an}是等比数列，则“对于任意的正整数n，都有an+2＞an”是“{an}是严格递增数列”（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】利用严格递增数列的定义能判断必要性，分类讨论可判断充分性．
【解答】解：若{an}是严格递增数列，则an+2＞an，
∴“对于任意的正整数n，都有an+2＞an”是“{an}是严格递增数列”的必要条件；
∵an+2=anq2＞an对任意的正整数n都成立，
∴{an}中不可能同时含有正项和负项，
∴an＞0，q2＞1，即an＞0，q＞1或an＜0，q2＜1，即an＜0，0＜q＜1，
当an＞0，q＞1时，有anq＞an，即an+1＞an，{an}是严格递增数列，
当an＜0，0＜q＜1时，有anq＞an，即an+1＞an，an是严格递增数列，
∴“对于任意的正整数n，都有an+2＞an”是“{an}是严格递增数列”的充分条件．
综上，“对于任意的正整数n，都有an+2＞an”是“{an}是严格递增数列”的充要条件．
故选：C．
7．已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M在C的右支上，线段MF1与y轴交于点N，|NF1|＝2|MN|，O为坐标原点，过F1作F1Q⊥MF2，垂足为Q，线段F1Q交OM于P，且|MP|＝2|PO|，则C的离心率为（ ）
A．2+2B．1+2C．2D．3-2
【分析】设F1（﹣c，0），F2（c，0），则题意得P为△MF1F2的重心，则Q为MF2的中点，可得|MF1|＝|F1F2|＝2c，结合双曲线的定义和已知条件可求出|MF2|，|NF1|，|MN|，在△MF1F2中利用余弦定理列方程化简，可求出双曲线的离心率．
【解答】解：点M在C的右支上，线段MF1与y轴交于点N，|NF1|＝2|MN|，O为坐标原点，过F1作F1Q⊥MF2，垂足为Q，线段F1Q交OM于P，如图所示，
设F1（﹣c，0），F2（c，0），∵O为F1F2的中点，|MP|＝2|PO|，
∴P为△MF1F2的重心，∴Q为MF2的中点，
又F1Q⊥MF2，∴|MF1|＝|F1F2|＝2c，
由双曲线的定义可知，|MF1|﹣|MF2|＝2a，∴|MF2|＝2c﹣2a，
∵|NF1|＝2|MN|，∴|NF1|=4c3，|NF1|=4c3，|MN|=2c3．
在Rt△ONF1中，cs∠NF1O=c43c=34，
在△MF1F2中，由余弦定理得，cs∠F2F1M=(2c)2+(2c)2-(2c-2a)22×2c×2c=34(2c)2+(2c)2-(2c-2a)22×2c×2c=34，
化简得c2﹣4ac+2a2＝0，∴e2﹣4e+2＝0，解得e=2+2（e=2-2舍去），
故C的离心率为2+2．
故选：A．
8．已知xn2=n，n∈N*(x＞0)，则n变动时x的最大值与最小值的乘积为（ ）
A．33B．36C．232D．39
【分析】由指对数运算得x=e2lnnn，设f(x)=2lnxx，x≥1，利用导数可求其最值，从而得x的最值，故可得正确的选项．
【解答】解：由题可得，x=n2n=e2lnnn，
设f(x)=2lnxx，x≥1，则f'(x)=2(1-lnx)x2，
所以当x＞e时，f′（x）＜0，当1＜x＜e时，f′（x）＞0，
所以f（x）在（1，e）上为增函数，在（e，+∞）上为减函数，
而当x＞e时，f（x）＞0且f（1）＝0，
又n∈N*，f(2)=f(4)＜f(3)=2ln33，
故xmax=e2ln33=323=39，xmin＝1，所以x的最大值与最小值的乘积为39．
故选：D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．下列说法正确的是（ ）
A．若a1，a2，⋯，an是等差数列，则这些数的中位数与平均数相等
B．已知X是随机变量，则E（X2）≥E2（X）
C．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高
D．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的值越接近于1
【分析】根据等差数列的性质可判断A，根据方差的性质可判断B，根据残差图的性质可判断C，根据相关系数的性质可判断D．
【解答】解：对于A，对于等差数列，无论项数n为奇数或偶数，中位数均为首项与末项的平均数，
根据等差数列的性质可知，首项与末项的平均数即为整体的平均数，
所以等差数列的中位数和平均数相等，故A正确；
对于B，由方差的性质可知，D（X）＝E（X2）﹣E2（X）≥0，
所以E（X2）≥E2（X），故B正确；
对于C，在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高，故C正确；
对于D，若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的绝对值越接近于1，故D错误．
故选：ABC．
（多选）10．已知函数f(x)=(12)sin2x+3cs2x，则下列说法正确的是（ ）
A．π2为函数f（x）的一个周期
B．函数f（x）的值域为[14，4]
C．函数f（x）的图象关于直线x=π12对称
D．将函数f（x）的图象向右平移π6个单位长度所得图象对应的函数是奇函数
【分析】对于A：把x=π2和x＝0代入f(x)=(12)2sin(2x+π3)算出f(π2)与f（0）的值，比较二者是否相等来判断对错；
对于B：令t=2sin(2x+π3)，先确定t范围是[﹣2，2]，再根据指数函数y=(12)t单调性求f（x）值域；
对于C：将x换为π6-x代入f（x），通过诱导公式化简，看是否与f（x）相等来判断；
对于D：先对y=2sin(2x+π3)右移π6个单位得y＝2sin2x，进而得到f（x）右移后的g（x），把x＝0代入g（x），看是否为0判断对错．
【解答】解：f(x)=(12)sin2x+3cs2x=(12)2sin(2x+π3)，
对于A，f(π2)=(12)2sin(π+π3)=(12)-3=23，f(0)=(12)2sinπ3=(12)3，
所以f(π2)≠f(0)，故A错误；
对于B，令t=2sin(2x+π3)，y=(12)t，t∈[﹣2，2]，
因为y=(12)t在t∈[﹣2，2]上单调递减，
所以f（x）的值域为[14，4]，故B正确；
对于C，因为f(π6-x)=(12)2sin(2π3-2x)=(12)2sin[π-(π3+2x)]=(12)2sin(π3+2x)=f(x)，故C正确；
对于D，由题意可得g（x）＝f（x-π6）=(12)2sin2x，由于g（0）＝1≠0，故D错误．
故选：BC．
（多选）11．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an+1=anan2+1，则（ ）
A．数列{an}是递减数列
B．数列{an}可以是等比数列
C．0＜an≤1
D．1an+1=Sn+1
【分析】根据已知条件求得an＞0，数列{an}是递减数列判断A、C，假设{an}是等比数列，求得矛盾判断B，化an+1=anan2+1为1an+1-1an=an，利用累加法判断D．
【解答】解：数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an+1=anan2+1，
整理有an+1an=1an2+1＞0，又a1＝1＞0，由此可得an＞0，
对于A选项，因为an+1an=1an2+1＜1，即an＞an+1，
所以数列{an}为递减数列，所以A正确；
对于B选项，若{an}是等比数列，则由an+1an=1an2+1可知1an2+1为定值，
又因为a1＝1，所以an2=1，即an+1an=12，
与an2=1矛盾，所以数列{an}不可以是等比数列，所以B错误；
对于C，因为an＞0，且{an}为递减数列，又a1＝1，所以0＜an≤1，所以C正确；
对于D，由an+1=anan2+1，an＞0，两边取倒数有1an+1=an2+1an=an+1an，
整理有1an+1-1an=an，
可得(1a2-1a1)+(1a3-1a2)+(1a4-1a3)+⋯+(1an+1-1an)
＝a1+a2+a3+⋯+an，
即1an+1-1an=Sn，又a1＝1，所以1an+1-1=Sn，
整理得：1an+1=Sn+1，所以D正确．
故选：ACD．
三．填空题（共3小题）
12．设实数k＞0，对于任意的x＞1，不等式kekx≥lnx恒成立，则k的最小值为 1e ．
【分析】将kekx≥lnx整理为kxekx≥elnx•lnx，然后构造函数f（x）＝xex，根据f（x）的单调性得到kx≥lnx，即k≥lnxx，再构造函数h(x)=lnxx(x＞1)，求导分析单调性得到h（x）max，即可得到k的范围．
【解答】解：根据kekx≥lnx得kxekx≥xlnx，
所以kxekx≥elnx•lnx，
令函数f（x）＝xex，那么f（kx）≥f（lnx）．
由于f′（x）＝（x+1）ex＞0，
因此函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，
由于kx＞0，lnx＞0，因此kx≥lnx，即k≥lnxx，
令函数h(x)=lnxx(x＞1)，那么导函数h'(x)=1-lnxx2，
当x∈（1，e）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
当x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
所以h(x)max=h(e)=1e，即k≥1e，
所以k的最小值为1e．
故答案为：1e．
13．Cassini卵形线是由法国天文家Jean DminiqueCassini（1625﹣1712）引入的．卵形线的定义：线上的任何点到两个固定点S1，S2的距离的乘积等于常数b2．b是正常数，设S1，S2的距离为2a，如果a＜b，就得到一个没有自交点的卵形线；如果a＝b，就得到一个双纽线；如果a＞b，就得到两个卵形线．若S1（﹣2，0），S2（2，0），动点P满足|PS1||PS2|＝4．且动点P的轨迹为曲线C，若A和A′是曲线C与x轴交点中距离最远的两点，则△APA′面积的最大值为 22 ．
【分析】先确定动点P的轨迹为一个双纽线，求出其轨迹方程，得到A(-22，0)，A'(22，0)，由对称性，可考虑P在第一象限的情况，因为|AA'|=42为定值，所以△APA′面积最大时，即点P的纵坐标最大，化简，换元得到y2＝﹣t2+4t﹣3＝﹣（t﹣2）2+1，t∈（1，3），求出纵坐标最大值为1，进而得到面积最大值．
【解答】解：因为S1（﹣2，0），S2（2，0），动点P满足|PS1||PS2|＝4，
所以a＝b＝2，由已知可得动点P的轨迹为一个双纽线，
设P（x，y），所以(x+2)2+y2⋅(x-2)2+y2=4，
整理可得动点P的轨迹方程为（x2+y2）2+8（y2﹣x2）＝0，
令y＝0，得x4﹣8x2＝0，解得x＝0或x=±22，
令A(-22，0)，A'(22，0)，
由对称性，可考虑P在第一象限的情况，
因为|AA'|=42为定值，所以△APA′面积最大时，即点P的纵坐标最大，
（x2+y2）2+8（y2﹣x2）＝0，即y4+（2x2+8）y2+x4﹣8x2＝0，
则y2=-(2x2+8)±8x2+12=-x2-4±4x2+1，
其中-x2-4-4x2+1＜0，故舍去，
所以y2=-x2-4+4x2+1，令t=x2+1，则x2＝t2﹣1，
故y2＝﹣t2+4t﹣3＝﹣（t﹣2）2+1，
因为x∈(0，22)，所以t∈（1，3），
当t＝2时，y2＝﹣（t﹣2）2+1取得最大值，最大值为1，
即y的最大值为1，△APA′面积最大值为12|AA'|⋅1=22．
故答案为：22．
14．一个项数为6的正整数数列{an}满足a1＝3，且ak+1≥ak（1≤k≤5，k∈N），若a6为不大于10的偶数，则符合条件的数列{an}共有 496 个．
【分析】根据题意，先确定数列中a6的值，再利用组合知识，即可得到结论．
【解答】解：根据题意，正整数数列{an}中，若a1＝3，且ak+1≥ak（1≤k≤5，k∈N），
而a6为不大于10的偶数，则a6可取的值为4、6、8、10，
分4种情况讨论
当a6＝4时，a1＝3，则a2，a3，a4，a5可以取3或4，且逐项不减小，
此时满足条件的数列{an}的个数有5个；
当a6＝6，a1＝3，则a2，a3，a4，a5可以取3或4或5或6，且逐项不减小，
此时满足条件的数列{an}的个数有C44+C43×3+C42×3+C41=35个；
当a6＝8，a1＝3，则a2，a3，a4，a5可以取3或4或5或6或7或8，且逐项不减小，
此时满足条件的数列{an}的个数有C64+C63×3+C62×3+C61=126个；
当a6＝10，a1＝3，则a2，a3，a4，a5可以取3或4或5或6或7或8或9或10，
且逐项不减小，此时满足条件的数列{an}的个数有C84+C83×3+C82×3+C81=330个；
综上，满足条件的数列{an}共有5+35+126+330＝496．
故答案为：496．
四．解答题（共5小题）
15．进行独立重复试验，设每次成功的概率为p（0＜p＜1），将试验进行到首次成功时结束，以X表示试验次数，则称X服从以p为参数的几何分布，记为X～Ge（p），其中E（X）=1p，D（X）=1-pp2．
（1）若X～Ge（13），
（i）求P（X＝4）和P（X＞6）；
（ii）i=1n P（X＝i）；
（2）若X～Ge（p），∀x，s∈N*，求证：P（X＞x+s|X＞x）＝P（X＞s）．
【分析】（1）（i）根据独立重复试验的概率公式计算可得；
（ii）根据等比数列的求和公式即可求解；
（2）由题意可得P（X＞s）＝（1﹣p）s，根据条件概率的计算公式即可得证．
【解答】解：（1）（i）若X～Ge（13），
则P(X=4)=(23)3×13=881，
P(X＞6)=(23)6=64729；
（ii）i=1n P(X=i)=P(X=1)+P(X=2)+P（X＝3）+⋯+P（X＝n）
=13+23×13+(23)2×13+⋯+(23)n-1×13
=13[1-(23)n]1-23=1-(23)n；
证明：（2）由题意可得P（X＞s）＝（1﹣p）s，
P(X＞x+s|X＞x)=P(X＞x+s)P(X＞x)
=(1-p)x+s(1-p)x=(1-p)s，
所以P（X＞x+s|X＞x）＝P（X＞s）．
16．如图，在△ABC中，AC＝2，BC=23，且AC⊥BC，M，N为线段AB上的两个动点（N在M的右侧），且∠MCN＝30°．
（1）若AM＝1时，求CN的长；
（2）若△MNC的面积是△CMA的面积的32倍，求∠ACM的大小；
（3）当∠ACM为何值时，△MNC的面积最小，最小面积是多少？
【分析】（1）求出角A、B的大小，利用余弦定理可求出CM的长，推导出CM⊥AM，可求出MN、CN的长，即可得出△MNC的周长；
（2）设∠ACM＝θ（0°＜θ＜60°），根据已知条件可得出CN=23sinθ，由正弦定理得出CN=3csθ，可得出sin2θ的值，结合角θ的范围可得出角θ的值，即可得解；
（3）设∠ACM＝θ（0°＜θ＜60°），由正弦定理得出CM=3sin(θ+60°)，利用三角形的面积公式结合三角恒等变换、三角函数的基本性质可求出△MNC面积的最小值及其对应的θ值．
【解答】解：（1）在△ABC中，AC＝2，BC=23，且AC⊥BC，
M，N为线段AB上的两个动点（N在M的右侧），且∠MCN＝30°，
由AC＝2，BC=23，AC⊥BC，得tanB=ACBC=223=33，
又0°＜B＜90°，则B＝30°，A＝60°，所以AB＝2AC＝4，
在△ACM中，由余弦定理可得CM2＝AC2+AM2﹣2AC•AM•csA
=22+12-2×2×1×12=3，则CM=3，
因为AC2＝AM2+CM2，所以根据勾股定理可得CM⊥AM，
∵∠MCN＝30°，∴CN=CMcs30°=2；
（2）若△MNC的面积是△CMA的面积的32倍，
设∠ACM＝θ（0°＜θ＜60°），
根据三角形的面积公式可得12CN⋅CMsin30°=32×12CA⋅CMsinθ，即CN=23sinθ，
在△CAN中，∠ANC＝180°﹣（60°+30°+θ）＝90°﹣θ，
由三角形的正弦定理CNsin60°=CAsin(90°-θ)=2csθ，得CN=3csθ，
从而CN=23sinθ=3csθ，即sinθcsθ=323=12，而sin2θ＝1，
由0°＜2θ＜120°，得2θ＝90°，所以θ＝45°，即∠ACM＝45°；
（3）设∠ACM＝θ（0°＜θ＜60°），由（2）知CN=3csθ，
又在△ACM中，由正弦定理CMsin60°=CAsin(60°+θ)，得CM=3sin(θ+60°)，
根据三角形的面积公式和三角函数的恒等变换可得S△MNC=12CM⋅CN⋅sin30°=34sin(θ+60°)csθ=32sinθcsθ+23cs2θ
=32sin2θ2+3cs2θ2+32=32sin(2θ+60°)+3，
所以当且仅当2θ+60°＝90°，
即θ＝15°时，△MNC的面积取最小值为32+3=3(2-3)．
17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，E为线段PB的中点．
（1）若F为线段BC上的动点，证明：平面AEF⊥平面PBC；
（2）若F为线段BC上的动点，探究是否存在点F使得PD∥平面AEF，说明理由；
（3）若F为线段DC的中点，PA＝2，过A、E、F三点的平面交PC于点G，求四棱锥P﹣AEGF与P﹣ABCD的体积之比．
【分析】（1）根据题意，分别证得PA⊥BC和AE⊥BC，利用线面垂直的判定定理，证得AE⊥平面PBC，再由面面垂直的判定定理，即可证得平面AEF⊥平面PBC；
（2）连接AC，BD交于点O，得到O为BD的中点，证得OE∥PD，利用线面平行的判定定理，证得PD∥平面ACE，进而得到点F与点C重合时，直线PD∥平面AEF，得到结论；
（3）连接EF，则四棱锥P﹣AEGF可分为P﹣AEF和P﹣GEF两个三棱锥，利用锥体的体积公式，求得四棱锥P﹣ABCD的体积，再由点G为PC的靠近C的三等分点，分别求得VP﹣AEF和VP﹣EFG，根据VP﹣AEGF＝VP﹣EFG+VP﹣AEF，求得VP﹣AEGF即可得到答案．
【解答】解：（1）证明：在△PAB中，因为PA＝AB，且E为线段PB的中点，所以AE⊥PB，
又因为PA⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，
所以PA⊥BC，
因为AB⊥BC，AB∩PA＝A，且AB，PA⊂平面PAB，
所以BC⊥平面PAB，
又因为AE⊂平面PAB，所以AE⊥BC，
因为PB∩BC＝B，且PB，BC⊂平面PBC，
所以AE⊥平面PBC，因为AE⊂平面AEF，
所以平面AEF⊥平面PBC；
（2）存在，理由如下：
如图所示，连接AC，BD交于点O，可得O为BD的中点，
因为E为PB的中点，所以OE∥PD，
又因为PD⊄平面ACE，OE⊂平面ACE，所以PD∥平面ACE，
当点F与点C重合时，此时PD∥平面AEF，
即在BC上存在点F，使得PD∥平面AEF．
（3）如图所示，连接EF，则四棱锥P﹣AEGF可分为P﹣AEF和P﹣GEF两个三棱锥，
因为PA＝AB＝2，且PA⊥底面ABCD，
所以四棱锥P﹣ABCD的体积为VP-ABCD=13×2×2×2=83，
以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），P（0，0，2），E（1，0，1），F（1，2，0），
则AE→=(1，0，1)．AF→=(1，2，0)，AP→=(0，0，2)，PC→=(2，2，-2)，
设PG→=tPC→，其中0＜t＜1，
则AG→=AP→+PG→=（0，0，2）+t（2，2，﹣2）＝（2t，2t，2﹣2t），
因为A，E，G，F共面，
则存在实数x，y使得AG→=xAE→+yAF→，
即（2t，2t，2﹣2t）＝x•（1，0，1）+y•（1，2，0），
可得2t=x+y2t=2y2-2t=x，
解得t=23，
即PG→=23PC→，
所以G为PC的靠近C的三等分点，
因为F为线段DC的中点，可得S△PFGS△PFC=23，
即S△PEG=13S△PBC，
又因设E到平面PCD的距离为d，B到平面PCD的距离为d1，
则d=12d1，
所以VP-EFG=VE-PGF=12×23⋅VB-PFC=13VP-BCF=13×13S△BCF⋅PA=19×12×2×1×2=29，
又因为F为线段DC的中点，且BC⊥平面PAB，
因为BC∥AB，BC⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，
所以BC∥平面PAB，
所以F到平面PAB的距离等于C到平面PAB的距离，此时距离为BC＝2，
则VP-AEF=VF-PAE=13S△PAE×2=13×12×12×2×2×2=23，
所以VP-AEGF=VP-EFG+VP-AEF=29+23=89，
所以VP-AEGFVP-ABCD=13．
18．已知函数f（x）＝λx﹣ex．
（1）当λ＝2时，曲线y＝f（x）与y＝g（x）关于点（2，3）中心对称，求函数g（x）的解析式；
（2）讨论f（x）在[2，6]上的单调性；
（3）若关于x的不等式f（x）+ex≤16x3+sinx在[0，+∞）上恒成立，求实数λ的取值范围．
【分析】（1）设点P（x，y）为g（x）图象上任一点，根据点P关于点（2，3）的对称点为Q（4﹣x，6﹣y）在y＝f（x）的图象上，即可求解；
（2）分λ≤e2，λ≥e6，e2＜λ＜e6，三种情况即可；
（3）将f（x）+ex≤16x3+sinx在[0，+∞）上恒成立，化为16x3+sinx﹣λx≥0恒成立，构造函数再分类讨论即可．
【解答】解：（1）λ＝2时，f（x）＝2x﹣ex，设点P（x，y）为g（x）图象上任一点，
则点P关于点（2，3）的对称点为Q（4﹣x，6﹣y）在y＝f（x）的图象上，
所以6﹣y＝2（4﹣x）﹣e4﹣x，即y＝2x﹣2+e4﹣x，所以g（x）＝2x﹣2+e4﹣x；
（2）因为f（x）＝λx﹣ex，所以f′（x）＝λ﹣ex；
①当λ≤e2时，f′（x）≤0在[2，6]上恒成立，所以f（x）在[2，6]上单调递减；
②当λ≥e6时，f′（x）≥0在[2，6]上恒成立，所以f（x）在[2，6]上单调递增；
③当e2＜λ＜e6时，令f′（x）＝0，解得x＝lnλ，所以当x∈[2，lnλ）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（lnλ，6]时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
综上，当λ≤e2时，f（x）在[2，6]上单调递减；当λ≥e6时，f（x）在[2，6]上单调递增；
当e2＜λ＜e6时，f（x）在[2，lnλ）上单调递增，在（lnλ，6]上单调递减；
（3）不等式f（x）+ex≤16x3+sinx在[0，+∞）上恒成立，则λx≤16x3+sinx恒成立，
所以16x3+sinx﹣λx≥0恒成立，设h（x）=16x3+sinx﹣λx，x∈[0，+∞），
则h′（x）=12x2+csx﹣λ，令φ（x）＝h'（x），
则φ'（x）＝x﹣sinx，令m（x）＝φ'（x）＝x﹣sinx，
则m'（x）＝1﹣csx≥0，故m（x）在[0，+∞）上单调递增，且m（0）＝0，
所以m（x）＝φ'（x）≥0，所以φ（x）在[0，+∞）上单调递增，φ（0）＝1﹣λ，
当λ≤1时，φ（0）≥0，则h'（x）≥0，故h（x）在[0，+∞）上单调递增，且h（0）＝0，故h（x）≥0恒成立，满足题意；
当λ＞1时，φ（x）＜0，则存在x0∈（0，+∞），使得h'（x）＝0，且当x∈（0，x0），h'（x）＜0，则h（x）在（0，x0）上单调递减，
又h（0）＝0，则当x∈（0，x0）时，h（x）＜0，不满足题意．
故λ∈（﹣∞，1]．
19.【考点】直线与椭圆的综合．
【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）x28+y22=1；
（2）x+2y＝0；
（3）证明过程见解析．
【分析】（1）根据题目所给信息以及a，b，c之间的关系列出等式求解即可；
（2）代入A，B坐标于x1x2a2+y1y2b2=0，得到点B坐标的关系式，由此可知点B所在直线的方程；
（3）根据条件先分析出PQ与l的位置关系，然后将四边形B1PB2Q的面积通过点到直线的距离以及弦长表示出来，根据点P的临界位置分析出面积的临界值，从而完成证明．
【解答】解：（1）因为椭圆C的离心率为32，且椭圆C过点A（2，1），
所以4a2+1b2=1ca=32a2=b2+c2，
解得a＝22，b=2，c=6，
则椭圆C的方程为x28+y22=1；
（2）因为A（2，1），B（x2，y2），
所以2x28+y22=0，
整理得x2+2y2＝0，
则点B所在的直线l的方程为x+2y＝0；
（3）证明：由（2）知，直线l的方程为x+2y＝0，
联立x+2y=0x28+y22=1，
解得x=-2y=1或x=2y=-1，
因为B1点的纵坐标大于0，
所以B1（﹣2，1），B2（2，﹣1），
设P（xP，yP），Q（xQ，yQ），
因为P，Q两点均在椭圆上，
所以xP28+yP22=1xQ28+yQ22=1，
两式相减得(xP-xQ)(xP+xQ)8+(yP-yQ)(yP+yQ)2=0，
因为PQ∥OA，
所以yP-yQxP-xQ=12，
此时(xP-xQ)(xP+xQ)8+(xP-xQ)(yP+yQ)4=0，
则xP+xQ2+2×yP+yQ2=0，
所以线段PQ的中点在直线l上，
所以线段PQ被直线l平分，
设点P到直线x+2y＝0的距离为d，
此时S四边形B1PB2Q=2S△PB1B2=2×12×|B1B2|×d，
因为|B1B2|=(-2-2)2+(1+1)2=25，
所以S四边形B1PB2Q=25d，
设过点P且与直线l平行的直线l1的方程为x+2y＝m，
易知当l1与C相切时，d取得最大值，
联立x+2y=mx28+y22=1，消去y并整理得2x2﹣2mx+m2﹣8＝0，
令Δ＝4m2﹣8（m2﹣8）＝0，
解得m＝±4，
当m＝±4时，此时2x2±8x+8＝0，
解得x＝±2，
此时点P或点Q必有一个和点A（2，1）重合，不符合条件，
所以直线l1与C不可能相切，
即点P到直线x+2y＝0的距离小于平行直线x+2y＝0和x+2y＝4（或x+2y＝﹣4）的距离45=455．
故S四边形B1PB2Q＜25×455=8．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
C
B
A
C
C
A
D
题号
9
10
11
答案
ABC
BC
ACD