2024—2025学年浙江高二数学下册（6月）学业水平适应性考试【含答案】

这是一份2024—2025学年浙江高二数学下册（6月）学业水平适应性考试【含答案】，共21页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题卷.等内容，欢迎下载使用。
考生须知：
1．本试题卷共4页，满分100分，考试时间80分钟.
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号.
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效.
4．考试结束后，只需上交答题卷.
选择题部分
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）
1. 已知，则复数在复平面内对应点位于（）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 已知，，则在上的投影向量为（）
A. B. C. D.
3. 已知函数的定义域为集合，值域为集合，则（）
A. B. C. D.
4. 已知为钝角，且，，则（）
A. B. C. D.
5. 甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束）．已知每局比赛甲获胜的概率均为，则甲以4比2获胜的概率为（）
A. B. C. D.
6. 已知向量，，且，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
7. 用平面截一个球，所得的截面面积为，若到该球球心的距离为，则球的体积（）
A. B. C. D.
8. 若满足，则的值为（）
A. B. C. D.
9. 常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为（单位：天）．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的，则满足的关系式为（）
AB.
C. D.
10. 设为实数，则“”是“”的（）
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
11. 设的内心为，而且满足，则的值是（）
A. B. C. D.
12. 一个顶点为，底面中心为的圆锥体积为1，若正四棱锥内接于该圆锥，平面与该圆锥底面平行，这4个点都在圆锥的侧面上，则正四棱锥的体积的最大值是（）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没有错选得2分，不选、错选得0分）
13. 已知幂函数，其中，则下列说法正确的是（）
A. B. 若时，
C. 若时，关于轴对称D. 恒过定点
14. 饮料瓶的主要成分是聚对苯二甲酸乙二醇酯，简称“PET”．随着垃圾分类和可持续理念的普及，饮料瓶作为可回收材料的“主力军”之一，得以高效回收，获得循环再生，对于可持续发展具有重要意义，上海某高中随机调查了该校某两个班（A班，B班）5月份每天产生饮料瓶的数目（单位：个），并按分组，分别得到频率分布直方图如下：下列说法正确的是（）
A. 班该月平均每天产生的饮料瓶个数估计为41
B. 班5月产生饮料瓶数第75百分位数
C. 已知该校共有学生1000人，则约有150人5月份产生饮料瓶数在之间
D.
15. 已知函数,则下列说法正确的是（）
A. 的图像是中心对称图形B. 的图像是轴对称图形
C. 是周期函数D. 存在最大值与最小值
16. 已知函数，则关于的方程根的个数可能是（）
A0个B. 1个C. 2个D. 3个
非选择题部分
三、填空题（本大题共4小题，每空分3分，共15分）
17. 已知函数，则______．
18. 已知函数最大值为，则常数的值为______，的单调递增区间为______.
19. 给定正实数，对任意正实数，记，则的最大值为______．
20. 为平面内一定点，，，与夹角为，，，，则所围成的面积为______.
四、解答题（本大题共3小题，共33分）
21. 已知内角的对边分别为，，
（1）求的取值范围
（2）求内切圆的半径的最大值
22. 如图，四棱锥中，平面平面，，，，，，，．设中点为，过点的平面同时垂直于平面与平面．
（1）求平面与平面夹角的正弦值；
（2）求平面截四棱锥所得多边形的周长．
23. 已知函数
（1）若函数为偶函数，求的值；
（2）当时，（ⅰ）函数，（ⅱ）若关于x的方程有两个不同的实根且．求证：．2024年6月浙江省学业水平适应性考试
高二数学学科试题
考生须知：
1．本试题卷共4页，满分100分，考试时间80分钟.
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号.
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效.
4．考试结束后，只需上交答题卷.
选择题部分
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）
1. 已知，则复数在复平面内对应的点位于（）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】先化简计算，结合复数的几何意义即可求解.
【详解】因为，
所以，
所以复数在复平面内对应的点为，位于第三象限.
故选：.
2. 已知，，则在上的投影向量为（）
AB. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将左右同时平方可求得的值，结合投影向量公式计算即可.
【详解】因为，所以，
又因，所以，
所以在上的投影向量为.
故选：B.
3. 已知函数的定义域为集合，值域为集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先令，解出一元二次不等式，即可求出函数的定义域，从而求出函数的值域，最后求出补集.
【详解】由，即，解得或，
所以函数的定义域为集合，则值域为集合，
所以.
故选：D
4. 已知为钝角，且，，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先根据同角三角函数基本关系式求出，再由两角和的余弦公式，结合角的范围，即可求解.
【详解】由于为钝角，且，
所以，
且，
所以，
所以，
故选：D.
5. 甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束）．已知每局比赛甲获胜的概率均为，则甲以4比2获胜的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意只需前5场甲赢3场，再利用独立事件的乘法公式求解．
【详解】根据题意，甲运动员前5场内需要赢3场，第6场甲胜，
则甲以4比2获胜的概率为．
故选：D．
6. 已知向量，，且，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由向量平行的条件，得，求出即可.
【详解】,则，得.
故选：C.
7. 用平面截一个球，所得的截面面积为，若到该球球心的距离为，则球的体积（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题目条件求出球半径，再利用球的体积公式即可解答.
【详解】设截面圆半径为，球半径为，球心到截面的距离为.
根据题意可得：，，
则.
所以球的半径为，
所以球的体积为.
故选：C.
8. 若满足，则的值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将两边底数化为同样，得到,对应相等，得出方程，解方程即可.
【详解】，得，得，得,求出.
故选：C.
9. 常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为（单位：天）．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的，则满足的关系式为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，可得512天后甲，乙的质量，根据题意列出等式即可得答案．
【详解】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，
则512天后甲的质量为：,
乙的质量为：，
由题意可知，，
所以.
故选：A.
10. 设为实数，则“”是“”的（）
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】由充分条件和必要条件的定义求解即可.
【详解】若，而，则，
取，，此时，但，
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：B.
11. 设的内心为，而且满足，则的值是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】法一：将分别延长至，使，结合重心定义与面积公式可得，即可得，结合余弦定理的推论计算即可得.
法二：由内心的向量表示可得，结合余弦定理的推论计算即可得.
【详解】法一：
将分别延长至，使，
则有，故是的重心，则有，
亦有，，
，
即，
设的内接圆半径为，有、、，
则有，
故.
故选：D.
法二：
由内心的向量表示知：，则，
故.
故选：D.
12. 一个顶点为，底面中心为的圆锥体积为1，若正四棱锥内接于该圆锥，平面与该圆锥底面平行，这4个点都在圆锥的侧面上，则正四棱锥的体积的最大值是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作出辅助线，由三角形相似和圆锥体积得到各边关系，进而表达出正四棱锥的体积，令，则，，求导得到函数单调性，得到极值和最值.
【详解】如图所示，交平面于点，
设，，，
由∽得，即，
故，
则，故，
正方形的面积为，
则正四棱锥的体积为
，
其中令，
则，，
则，当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
故在处取得极大值，也是最大值，
最大值为.
故选：D
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没有错选得2分，不选、错选得0分）
13. 已知幂函数，其中，则下列说法正确是（）
A. B. 若时，
C. 若时，关于轴对称D. 恒过定点
【答案】BC
【解析】
【分析】根据幂函数的定义及性质，即可得到各选项的判断.
【详解】对于A，因为是幂函数，所以，故A是错误的；
对于B，当时，，根据幂函数性质可知，此时是增函数，即，故B是正确的；
对于C，当时，，满足，所以是偶函数，故C是正确的；
对于D，根据幂函数性质可知恒过定点，故D是错误的；
故选：BC.
14. 饮料瓶的主要成分是聚对苯二甲酸乙二醇酯，简称“PET”．随着垃圾分类和可持续理念的普及，饮料瓶作为可回收材料的“主力军”之一，得以高效回收，获得循环再生，对于可持续发展具有重要意义，上海某高中随机调查了该校某两个班（A班，B班）5月份每天产生饮料瓶的数目（单位：个），并按分组，分别得到频率分布直方图如下：下列说法正确的是（）
A. 班该月平均每天产生的饮料瓶个数估计为41
B. 班5月产生饮料瓶数的第75百分位数
C. 已知该校共有学生1000人，则约有150人5月份产生饮料瓶数在之间
D.
【答案】AB
【解析】
【分析】由频率分布直方图的平均值、百分位数的计算公式即可得到选项.
【详解】A．平均值，故A正确.
B．，解得.
前4个矩形面积之和为0.7，前5个矩形面积之和为0.85，
故位于中，
所以，
解得，故B正确.
C．因为A班、B班产生饮料瓶数在之间的概率都是0.02，所以该校有学生1000人，
则5月份产生饮料瓶数在之间的饮料瓶数为，故C错误.
D．由B知，故D错误.
故选：AB.
15. 已知函数,则下列说法正确的是（）
A. 的图像是中心对称图形B. 的图像是轴对称图形
C. 是周期函数D. 存在最大值与最小值
【答案】BCD
【解析】
【分析】A,B,C选项可以根据函数对称性与周期性的定义进行验证.D选项需要换元,求导得出答案.
【详解】,
对于A选项,不为常数,故A错误.
对于B选项, ,则函数关于对称. 故B正确.
对于C选项,,则函数周期为.故C正确.
对于D选项,令由于为偶函数,则只需要考虑部分即可.
则.故D正确.
故选:BCD.
16. 已知函数，则关于的方程根的个数可能是（）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】ABD
【解析】
【分析】将原问题转化为直线与函数的图象交点的个数，作出的图象，分、、三种情况，结合图象求解即可．
【详解】作出函数的图象，如图所示：
将原问题转化为直线（过定点）与函数的图象交点的个数，
由图可知，当时，直线与函数的图象只有一个交点；
当时，直线与函数图象没有交点；
当时，直线与函数的图象有三个交点；
所以直线与函数的图象不可能有两个交点．
故选：ABD．
非选择题部分
三、填空题（本大题共4小题，每空分3分，共15分）
17. 已知函数，则______．
【答案】
【解析】
【分析】借助分段函数性质代入计算即可得.
【详解】由，故，
则.
故答案为：.
18. 已知函数的最大值为，则常数的值为______，的单调递增区间为______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】先化简得，由函数最大值为，可计算，由可求得单调递增区间.
【详解】
，
当，即时，函数有最大值为，
所以，
由，
得，
所以函数的单调递增区间为.
故答案为：；
19. 给定正实数，对任意正实数，记，则的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得，结合基本不等式计算即可得.
【详解】由题意可得，，
则，当且仅当时，等号成立，
则.
故答案为：.
20. 为平面内一定点，，，与夹角为，，，，则所围成的面积为______.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得所围成的面积为以、为邻边的平行四边形的面积，结合面积公式计算即可得.
【详解】由，，，
则所围成的面积为以、为邻边的平行四边形的面积，
则.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于得出所围成的面积为以、为邻边的平行四边形的面积.
四、解答题（本大题共3小题，共33分）
21. 已知内角的对边分别为，，
（1）求的取值范围
（2）求内切圆的半径的最大值
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角恒等变换的化简计算可得，求得，结合正弦定理、三角恒等变换的化简和三角函数的性质即可求解；
（2）由（1），利用余弦定理和基本不等式的应用可得，的面积为，进而，即可求解.
【小问1详解】
因为，
所以，
即，
得，所以或，
解得或（舍去），又，
所以，又，由正弦定理得，则，
所以（），
由知，当时，取到最大值，
又，所以；
【小问2详解】
由（1），由余弦定理得，即，
得，即，
得，当且仅当时等号成立，所以.
的面积为，设的内切圆半径为，
则的面积为，所以，
又，所以，
则，
即的最大值为.
22. 如图，四棱锥中，平面平面，，，，，，，．设中点为，过点的平面同时垂直于平面与平面．
（1）求平面与平面夹角的正弦值；
（2）求平面截四棱锥所得多边形的周长．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）利用两个平面的法向量的夹角来求两个平面的夹角正弦值；
（2）利用作垂线，作出截面，并找到它截四棱锥的截面四边形，再计算周长即可.
【小问1详解】
延长相交于点，连接，所以平面平面．
由于平面同时垂直于平面与平面，则，
由，中点为，可得，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
由，，，可知四边形是等腰梯形，
所以两底角，则，又因为中点为，所以，
再因为，，
所以，而，所以，
又因为，所以三角形是等边三角形，即，
又因为，所以
再由，可解得，
由勾股定理，可得，
由可知：，再由勾股定理得：，
即，
由于，平面，所以就是平面与平面的夹角，
因为，，所以，
即，
故平面与平面BCED夹角的正弦值为.
【小问2详解】
过点作的垂线交于，垂足为，交连结，交于，
由于，，，平面，
所以平面，又因为平面，所以，
现在又因为，，平面，
所以平面，即平面就是所要求作的平面，
它与四棱锥截面是四边形，
先解三角形，已知，，由余弦定理得：
，可得
解三角形，由余弦定理得：，
再解三角形，由三角形内角和为得：
再由正弦定理得：，
解得，由于，且，可得，
由对称性可知：，
故周长为．
23. 已知函数
（1）若函数为偶函数，求的值；
（2）当时，（ⅰ）函数，（ⅱ）若关于x的方程有两个不同的实根且．求证：．
【答案】（1）；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用偶函数的定义，列式计算得解.
（2）（ⅰ）作差，分段去绝对值符号，再配方即可得证；（ⅱ）化函数为分段函数，确定单调区间及，再按不超过1和大于1推理论证.
【小问1详解】
函数的定义域为R，由函数为偶函数，得，
即，则，
所以.
【小问2详解】
（ⅰ），令，
则，
显然所以.
（ⅱ），，在上递减，上递增，
显然，由有两个不同的实根且，得，，
当时，，关于对称，
此时，，即，
当时，，，由（ⅰ）得，
，当且仅当时等号成立，
，因此，
所以.
【点睛】思路点睛：分段函数问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的分类标准、全面的考虑，若求解过程中，检验结果是否符合要求．