2024—2025学年广东茂名高一数学下册（7月）期末考试【含答案】

这是一份2024—2025学年广东茂名高一数学下册（7月）期末考试【含答案】，共21页。试卷主要包含了 选择题的作答， 非选择题的作答， 已知，则的最小值为等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3. 非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4. 考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D. 且
2. 若复数z满足，则（）
A. 1B. C. 3D. 5
3. 设，则“”是“”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
4. 已知函数，则的大致图象为（）
A. B.
C. D.
5. 已知，则的最小值为（）
A6B. 5C. 4D. 3
6. 将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的倍，得到函数的图象.已知，则（）
A. B.
C. D.
7. 若是锐角三角形，，，则边c的取值范围是（）
A. B. C. D.
8. 在四棱中，底面为正方形，底面，，E为线段的中点，F为线段上的动点.若，则（）
A1B. C. D. 3
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知是边长为1的正三角形，，分别为，的中点，则（）
A与不能构成一组基底B.
C. D. 在上的投影向量为
10. 某学校开展“国学知识竞赛”，共有“诗经组”、“论语组”、“春秋组”、“礼记组”4个小组参赛，每组10位选手，若该组每位选手的失分不超过6分，该组获得“优秀”称号，则根据每组选手的失分情况，下列小组一定获得“优秀”称号的是（）
A. 诗经组中位数为3，众数为2
B. 论语组平均数为3，方差为1
C. 春秋组平均数为3，众数为2
D. 礼记组中位数为2，极差为4
11. 已知是定义域为的偶函数，为奇函数，当时，，则（）
A. 当时，
B. 当时，
C. 在上单调递增
D.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知棱长为的正方体的所有顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为______.
13. 若复数是关于x的方程的一个根，则______.
14. 在海面上，乙船以40km/h速度朝着北偏东的方向航行，甲船在乙船的正东方向30km处.甲船上有应急物资需要运送上乙船，由于乙船有紧急任务不能停止航行，所以甲船准备沿直线方向以的速度航行与乙船相遇.为了保证甲船能在2小时内和乙船相遇，甲船航行速度的最小值为______（km/h）.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知的顶点，，.
（1）若单位向量与方向相同，求的坐标；
（2）求向量与的夹角.
16. 已知函数.
（1）若，求与交点横坐标；
（2）若在区间上恰有一个零点，求a的取值范围.
17. 如图1，菱形的边长为2，，将沿着翻折到三角形的位置，连接，形成的四面体如图2所示.
（1）证明：；
（2）若四面体的体积为，求二面角的大小.
18. 某市体质健康测试标准包括身体形态、身体机能、躯体素质、运动能力等方面.为了了解学生体质健康情况，某校随机抽取了200名学生进行测试，测试成绩的频率分布直方图如下图所示，其中成绩不超过80分的有108人.
（1）求图中a，b的值；
（2）并根据频率分布直方图，估计该校学生测试分数的平均数和上四分位数（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）；
（3）若抽取的200名学生中，男生120人，女生80人，其中男生分数的平均数为，方差为；女生分数的平均数为，方差为；200名学生分数的平均数为，方差为.
①；②，请判断公式①和公式②是否相等，并说明理由.
19. 如图所示，在中，，AD平分，且.
（1）若，求BC的长度；
（2）求k的取值范围；
（3）若，求k为何值时，BC最短.
数学试卷答案
本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3. 非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4. 考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】由分式与二次根式有意义的条件可得、集合，结合交集定义即可得解.
【详解】由，可得，
，则，
故且.
故选：D.
2. 若复数z满足，则（）
A. 1B. C. 3D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】解法一：先由已知利用复数的乘除法运算求出复数，再可求出复数的模，解法二：对已知等式变形后，利用复数模的性质求解即可.
【详解】解法一：由，得，
所以，
解法二：由，得，
所以.
故选：A
3. 设，则“”是“”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】首先求不等式，再根据集合间的关系判断选项.
【详解】，则，而推不出，但，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
4. 已知函数，则的大致图象为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用排除法，先判断函数的奇偶性，再判断在上变化情况可得答案.
【详解】因为函数定义域为R，，
所以为奇函数，则其图象关于原点对称，所以排除A，
当时，，所以排除D，
因为由幂函数的性质可知当时，在直线的上方，
所以排除B，
故选：C
5. 已知，则的最小值为（）
A. 6B. 5C. 4D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】借助基本不等式计算即可得.
【详解】由，则，故，
当且仅当时，等号成立.
故选：D.
6. 将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的倍，得到函数的图象.已知，则（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角函数图象变换规律结合题意求解即可.
【详解】由题意可知将的图象上各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的2倍，
得，
再将的图象向右平移个单位，得的图象，则，
故选：B
7. 若是锐角三角形，，，则边c的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先根据正弦定理表示，再消去，转化为关于角的三角函数，根据锐角三角形求角的范围，根据三角函数的性质求边的取值范围.
【详解】由正弦定理可知，，则，
因为，则，
因为是锐角三角形，所以，
则，，
所以.
故选：D
8. 在四棱中，底面为正方形，底面，，E为线段的中点，F为线段上的动点.若，则（）
A1B. C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】利用线面垂直的性质定理与判定定理可得，即可设，从而可利用表示出、，再结合同角三角函数基本关系，利用余弦定理计算即可得.
【详解】由底面，、平面，故，，
由底面为正方形，故，
又、平面，，故平面，
又平面，则，
由，则，由为线段的中点，则，
设，则，，
由，则，
则由余弦定理可得，
解得，故.
故选：C.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知是边长为1的正三角形，，分别为，的中点，则（）
A. 与不能构成一组基底B.
C. D. 在上的投影向量为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对A：由题意可得，即可得与不能构成一组基底；对B：借助平面向量线性运算计算即可得；对C：借助平面向量数量积公式计算即可得；对D：借助投影向量定义计算即可得.
【详解】对A：由，分别为，的中点，则，即，
故与不能构成一组基底，故A正确；
对B：由题意可得，，
故，故B正确；
对C：，故C错误；
对D：
，故D正确.
故选：ABD.
10. 某学校开展“国学知识竞赛”，共有“诗经组”、“论语组”、“春秋组”、“礼记组”4个小组参赛，每组10位选手，若该组每位选手的失分不超过6分，该组获得“优秀”称号，则根据每组选手的失分情况，下列小组一定获得“优秀”称号的是（）
A. 诗经组中位数为3，众数为2
B. 论语组平均数为3，方差为1
C. 春秋组平均数为3，众数为2
D. 礼记组中位数为2，极差为4
【答案】BD
【解析】
【分析】利用列举法判断AC，根据方差公式，判断B，根据极差的定义，判断D.
【详解】A.若该组选手的失分情况如下，1,2,2,2,3,3,4,5,6,7,满足中位数为3，众数为2，
但有选手失分超过6分，故A错误；
B.该组每位选手的失分情况按照从小到大排列，，，
则方差，
即，若，，
所以每位选手的得分都不超过6分，故B正确；
C.若该组选手的失分情况如下，0,2,2,2,2,2,4,4,5,7,这组数据满足平均数为3，众数为2，
但有选手失分超过6分，故C错误；
D.因为中位数为2，则最低分小于等于2，又因为极差为4，
所以最该分小于等于6，该组选手失分没有超过6分的，故D正确.
故选：BD.
11. 已知是定义域为的偶函数，为奇函数，当时，，则（）
A. 当时，
B. 当时，
C. 在上单调递增
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】对A：由为偶函数，结合时的解析式计算即可得；对B：由为奇函数，结合A中所得即可得；对C：由题意可得函数周期性，结合指数函数的单调性即可得解；对D：由函数周期性计算即可得.
【详解】对A：由为偶函数，则，
当时，，则，
即当时，，故A正确；
对B：由为奇函数，则有，
即，即，
故当时，，则，
即，故B错误；
对C：由，，
则，，
即，故为周期为的周期函数，
由当时，，可得在上单调递增，
故上单调递增，故C正确；
对D：，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：
（1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立；
（2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知棱长为的正方体的所有顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据正方体的体对角线即为球的直径可得答案.
【详解】棱长为正方体的所有顶点都在同一个球面上，
则正方体的体对角线即为球的直径，
所以球的直径为，，
则该球的表面积为.
故答案为：.
13. 若复数是关于x的方程的一个根，则______.
【答案】2
【解析】
【分析】根据题意方程的另外一个根为，利用韦达定理可得，，即得.
【详解】因复数是关于x的方程的一个根，则其另外一根为，
故，，得，，
故，
故答案为：
14. 在海面上，乙船以40km/h的速度朝着北偏东的方向航行，甲船在乙船的正东方向30km处.甲船上有应急物资需要运送上乙船，由于乙船有紧急任务不能停止航行，所以甲船准备沿直线方向以的速度航行与乙船相遇.为了保证甲船能在2小时内和乙船相遇，甲船航行速度的最小值为______（km/h）.
【答案】
【解析】
【分析】画出具体图形后，借助余弦定理及二次函数性质计算即可得.
【详解】如图，、分别为乙船与甲船所处位置，则km，，
设点为两船相遇位置，相遇时间在小时后，
则，
即，
则当，即时，有，
即甲船航行速度的最小值为.
故答案为：.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知的顶点，，.
（1）若单位向量与方向相同，求的坐标；
（2）求向量与的夹角.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）计算出后结合单位向量定义计算即可得；
（2）借助平行四边形的性质可计算出与，再结合向量夹角公式计算即可得.
【小问1详解】
，则，即；
【小问2详解】
由题意可得，，，
则，
故，
因为，所以.
16. 已知函数.
（1）若，求与交点的横坐标；
（2）若在区间上恰有一个零点，求a的取值范围.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）求出，再解与组成的方程组可得答案；
（2）时不符合题意，时只须解不等式可得答案.
【小问1详解】
若，则，解得，
所以，
由解得，或，
所以与交点的横坐标为或；
【小问2详解】
若，则在区间上没零点，不符合题意，
所以，所以的图象为抛物线，
对称轴为，
所以要使在区间上恰有一个零点，只须，
即，解得.
的取值范围.
17. 如图1，菱形的边长为2，，将沿着翻折到三角形的位置，连接，形成的四面体如图2所示.
（1）证明：；
（2）若四面体的体积为，求二面角的大小.
【答案】（1）证明见解析
（2）或
【解析】
【分析】（1）取中点，连接、，借助菱形的性质可得线线垂直，结合线面垂直的判定定理与性质定理推导即可得证；
（2）找出二面角的平面角后，结合体积公式计算即可得解.
【小问1详解】
取中点，连接、，
由四边形为菱形，则，
故，，又，、平面，
故平面，又平面，故；
【小问2详解】
由，，平面平面，
故为二面角的平面角，
又菱形的边长为2，，
则，，
又
，
故，即或，
即二面角的大小为或.
18. 某市体质健康测试标准包括身体形态、身体机能、躯体素质、运动能力等方面.为了了解学生体质健康情况，某校随机抽取了200名学生进行测试，测试成绩的频率分布直方图如下图所示，其中成绩不超过80分的有108人.
（1）求图中a，b的值；
（2）并根据频率分布直方图，估计该校学生测试分数的平均数和上四分位数（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）；
（3）若抽取的200名学生中，男生120人，女生80人，其中男生分数的平均数为，方差为；女生分数的平均数为，方差为；200名学生分数的平均数为，方差为.
①；②，请判断公式①和公式②是否相等，并说明理由.
【答案】（1）；；
（2）平均数78.8；上四分位数87；
（3）相等，理由见解析
【解析】
【分析】（1）先根据低于80分的人数为108求出，在根据频率之和为1求出；
（2）根据平均数的公式直接计算，上分位数根据分位数的含义计算；
（3）两式作差，根据，，以及因式分解即可得到结论.
【小问1详解】
由低于80分的人数为108，得，
所以.
【小问2详解】
平均数，
显然上四分位数即分位数应该在之间，设上四分位数为，则，
所以平均数为78.8，上四分位数为87.
【小问3详解】
设，，显然，，
①-②得：.
所以①和②相等.
19. 如图所示，在中，，AD平分，且.
（1）若，求BC长度；
（2）求k的取值范围；
（3）若，求k为何值时，BC最短.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）和中分别利用正弦定理结合AD平分，可得，从而可求出，进而可求出；
（2）由结合三角形的面积公式及已知条件化简可得，从而可求出k的取值范围；
（3）由，结合余弦定理得，令，则当最小值时，最短，化简后结合辅助角公式和正弦函数的性质可求得结果.
【小问1详解】
在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
因为AD平分，所以，
因为，
所以，
所以，
因为，，
所以，得，
所以；
【小问2详解】
因为，
所以，
因为，，
所以，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以；
【小问3详解】
由余弦定理得，
因为，所以，
因为，所以，所以，
所以，
令，则，
所以（其中），
所以当时，取得最小值4，
即当时，取得最小值4，此时，
所以，
因为，
所以，所以，
由（2）知，
所以，
即当时，最短.
【点睛】关键点点睛：此题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查三角形的面积公式和三角函数恒等变换公式的应用，第（3）问解题的关键是余弦定理结合已知条件表示出，换元后结合三角函数恒等变换公式可求得答案，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.