河南省焦作市博爱县2025届高三数学上学期9月月考试题含解析

这是一份河南省焦作市博爱县2025届高三数学上学期9月月考试题含解析，共27页。试卷主要包含了 已知复数满足，， 已知函数，则下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知函数的定义域为，且，记，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数满足的表达式以及，利用赋值法即可计算出的大小.
【详解】由可得，
令，代入可得，即，
令，代入可得，即，
令，代入可得，即；
由可得，
显然可得.
故选：A
【点睛】方法点睛：研究抽象函数性质时，可根据满足的关系式利用赋值法合理选取自变量的取值，由函数值或范围得出函数单调性等性质，进而实现问题求解.
2. 若函数，则函数的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据对数的单调性可得，再根据二次函数的性质以及指数函数的性质即可求解.
【详解】函数在上单调递增，
又，，故，
令，
而函数在上单调递增，则，
所以函数的值域为.
故选：D.
3. 有3个男生和3个女生参加某公司招聘，按随机顺序逐个进行面试，那么任何时候等待面试的女生人数都不少于男生人数的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】随机逐个面试共有种可能的顺序，而任何时候等待面试的女生人数都不少于男生人数的顺序可以分为5类，求出相应的顺序，即可求得概率．
【详解】解：随机逐个面试共有种可能的顺序，而任何时候等待面试的女生人数都不少于男生人数的顺序可以分为5类：
①男男男女女女，此时有种；
②男男女男女女，此时有种；
③男男女女男女，此时有种；
④男女男男女女，此时有种；
⑤男女男女男女，此时有种；
故共有种，所以概率为
故选：B．
4. 如图，四边形是一个角为且边长为的菱形，把沿BD折起，得到三棱锥.若，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】取的中点，连接，证明平面，设为的重心， 过作平面，且点为三棱锥的外接球球心，外接球半径为，过作，交于，连接，在中，，在中，，列式即可求解外接球的半径.
【详解】取中点，连接，
因为四边形是一个角为且边长为的菱形，
所以，
所以为等边三角形，故,，
又因为，即，所以，
因为平面，平面，
所以平面，平面，所以.
设为的重心， 过作平面，
且点为三棱锥的外接球球心，外接球半径为，
过作，交于，连接，
因为平面，平面，所以，
因为，，所以四边形为矩形.
所以，
设，则，
在中，，
在中，，
解得，,
所以三棱锥的外接球的表面积为.
故选：D.

5. 已知O为的内心，角A为锐角，，若，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】方法一：先得到点O是内心的充要条件是：，其中，，，从而得到，求出，利用余弦定理得到，求出，由基本不等式求出最大值，得到答案；
方法二：作出辅助线，得到，得到方程组，得到，作出内切圆，根据，求出，设出内切圆半径，故，由图知，从而求出.
【详解】方法一：点O是内心的充要条件是：，其中，，，
理由如下：若，则，
整理得，
所以，即点在的角平分线上，
同理可证，点在，的角平分线上，即点为的内心.
故，
故．
因为角A为锐角，，
所以．由定理得到，
故．
又因为（当且仅当时取等号），
所以，所以，
故，
方法二：如图，延长，交于点D，
设，即，故，
设，
则，
，
作的内切圆与边切于点E，与切于点F，
设圆O半径为r，
且A为锐角，
，
故，解得或（舍去），
故，
又，解得，负值舍去，
，即，由图知，
.
故选：C．
【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：
①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；
②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.
6. 已知复数满足，（其中是虚数单位），则的最小值为（ ）
A. 2B. 6C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，则即在复平面的对应点表示焦点分别在-1,1，的椭圆，该椭圆的长轴为直线，短轴为直线，在复平面的对应点表示射线上的点且.的最小值为与两点间距离的最小值，即，，三点共线，且点在第一象限内时，可取的最小值.求解即可.
【详解】设，（其中，是虚数单位），在复平面的对应点
则
即点的轨迹表示为焦点分别在-1,1，的椭圆，且该椭圆的长轴为直线，短轴为直线.长半轴长为，半焦距，短半轴长为.
因为
所以
设在复平面的对应点.
即点的轨迹表示为射线上的点.
若使得最小，则需取得最小值，即点为第一象限内的短轴端点，点为射线的端点时，最小.

故选：B
【点睛】本题考查复数的几何意义，属于难题.
7. 鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥.如图，在鳖臑中，平面，，，分别是棱，的中点，点是线段的中点，则点到直线的距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，表示出对应点的坐标，然后利用空间几何点到直线的距离公式即可完成求解.
【详解】
因为，且是直角三角形，所以.以为原点，分别以，的方向为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.因为，所以，，，，则，.故点到直线的距离.
故点到直线的距离是.
8. 设函数恰有两个极值点，则实数取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
f(x)恰有两个极值点，则恰有两个不同的解，求出可确定是它的一个解，另一个解由方程确定，令通过导数判断函数值域求出方程有一个不是1的解时t应满足的条件.
【详解】由题意知函数f(x)的定义域为，
.
因为f(x)恰有两个极值点，所以恰有两个不同的解，显然是它的一个解，另一个解由方程确定，且这个解不等于1.
令，则，所以函数g(x)在上单调递增，从而，且.所以，当且时，恰有两个极值点，即实数取值范围是.
故选：C
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，函数与方程的应用，属于中档题.
二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.
9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象
B. 直线是图象一条对称轴
C. 在上单调递减
D. 的图象关于点对称
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用三角函数的图象与性质一一分析选项即可.
【详解】对于A，的图象向左平移个单位长度后得到的图象，
故A错误.
对于B，，故B正确.
对于C，当时，，故C正确.
对于D，，故D正确.
故选：BCD
10. 双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到或，即可得解，注意就在双支上还是在单支上分类讨论.
【详解】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用
情况一
M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B，
所以，因为，所以在双曲线的左支，
，， ，设，由即，则，
选A
情况二
若M、N在双曲线的两支，因为，所以在双曲线的右支，
所以，， ，设，
由，即，则，
所以，即，
所以双曲线的离心率
选C
[方法二]：答案回代法
特值双曲线
，
过且与圆相切的一条直线为，
两交点都在左支,，
，
则，
特值双曲线，
过且与圆相切的一条直线为，
两交点在左右两支，在右支，，
，
则，
[方法三]：
依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，
若分别在左右支，
因为，且，所以在双曲线的右支，
又，，，
设，，
在中，有，
故即，
所以，
而，，，故，
代入整理得到，即，
所以双曲线的离心率
若均在左支上，
同理有，其中为钝角，故，
故即，
代入，，，整理得到：，
故，故，
故选：AC.
11. 已知函数的定义域为，且对任意的，都有，若，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 的图象关于y轴对称
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A：令代入运算即可判断；对于B：令解得，令解得，即可判断；对于CD：若，可得，分析可知是以首项，公差为1的等差数列，结合等差数列以及裂项相消法分析求解.
【详解】因为，且函数的定义域为R，
对于选项A：令，可得，解得f1=0，故A正确；
对于选项B：令，可得，解得，
令，可得，
所以的图象不关于y轴对称，故B错误；
对于选项CD：若，可得，
令，可得，
可知数列是以首项，公差为1的等差数列，
可得，
则，
所以，
故C正确，D错误；
故选：AC.
【点睛】关键点点睛：根据题意整理可得若，可得，进而可得，结合等差数列分析求解.
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.
12. 三棱锥的所有棱长均为2，E，F分别为线段BC与AD的中点，M，N分别为线段AE与CF上的动点，若平面ABD，则线段MN长度的最小值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】延长CM交AB于点I，设，由余弦定理得，根据角平分线定理以及平行线性质可知，运用换元法和二次函数性质可得线段MN长度的最小值．
【详解】延长CM交AB于点I，因为平面ABD，
由线面平行性质定理可知，设，
因为三棱锥的所有棱长均为2，
所以，且E为线段BC的中点，
所以AE平分∠BAC，由角平分线定理可知，
所以，
因为F为线段AD的中点，所以，
由余弦定理可知，
所以，
令，，化简可得，
因为，所以，
则在时取得最小值，
所以，
综上当，即时MN取得最小值．
故答案为：．
13. 如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为30°，液面呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点M，N到容器底部的距离分别是12和18，则容器内液体的体积是___________.
【答案】
【解析】
【分析】作出圆柱的轴截面图，过作容器壁的垂线，垂足为，得到，在直角中，求得，得到圆柱的底面半径为，结合圆柱的体积公式，即可求解.
【详解】如图所示为圆柱的轴截面图，过作容器壁的垂线，垂足为，
因为平行于地面，可得，
椭圆长轴上的顶点，到容器底部的距离分别是12和18，所以，
在直角中，，即圆柱的底面半径为，
所以容器内液体的体积等于一个底面半径为，高为的圆柱体积的一半，
即为容器内液体的体积为.
故答案为：.
14. 已知实数、、、满足，，，则______.
【答案】1
【解析】
【分析】先应用三角换元，再结合两角和差公式及同角三角函数关系计算即可.
【详解】因设,
因为设,
所以可得，
因为,所以,
所以.
故答案为：1.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数是定义在上的奇函数，且为偶函数．
（1）求的解析式，并判断的单调性；
（2）已知，，且，求取值范围．
【答案】（1），在上单调递增
（2）
【解析】
【分析】（1）利用函数的奇偶性求得，再利用指数函数的单调性与单调性和差的性质即可得解；
（2）利用的奇偶性与单调性，分类讨论的取值范围，结合指对数的运算法则即可得解.
【小问1详解】
因为是定义在上的奇函数，为偶函数，
令，则，
故，所以，
因为在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在上单调递增，
综上，，在上单调递增.
【小问2详解】
因为是定义在上的奇函数，且在上单调递增，
，且，
，即，则，
当时，，则，即，故；
当时，，则，即，则；
综上，的取值范围为.
16. 在某项比赛中，7位专业评委和7位观众评委分别给选手打分.针对某位选手，下面是两组评委的打分：
（1）选择一个可以度量每一组评分相似性的量，据此判断哪一组分数更可能是专业评委打的分数；
（2）现从组评委所打分数中随机抽取2个分数，记为，，从组评委所打分数中随机抽取2个分数，记为，.记事件，中有一个数据为48，事件或，判断事件与事件是否相互独立
【答案】（1）更可能是专业评委打的分数
（2）事件与事件不独立.
【解析】
【分析】（1）根据题意,比较两组评委的量,选择方差作为相似性的量,并计算度量值；
（2）根据相互独立事件的概率定义判断.
【小问1详解】
可以用方差来度量每一组评委打分的相似性，方差越小，相似程度越高.
，
，
所以组数据的方差是
，
组数据的方差是
，
因为专业评委给分更符合专业规则，所以相似程度更高，因此组分数更可能是专业评委打的分数.
【小问2详解】
，
，
，各有两种，
所以，
事件：当时， 可以任意，有种，
当，中有一个数据为48，另一个不是52时，则，有种，
所以，
，则事件与事件不独立.
17. 已知.
（1）求的单调增区间和对称中心；
（2）在锐角 中，A，B，C的对边分别是..求的值域.
【答案】（1）；；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式，结合正弦函数的图象的递增区间和对称中心易得函数的单调增区间和对称中心；
（2）由求得，设，由正弦定理将其化成，利用锐角三角形求出，继而利用函数单调性求出，最后求在上的值域即得.
【小问1详解】
由
.
由解得，，
即的单调增区间为；
由解得，，故的对称中心为.
【小问2详解】
由可得，，
因是锐角三角形，故则，
故，解得，，
由，设，由正弦定理可得，,
由解得，，则,,故有.
于是，，
而在上单调递减，在上单调递增，且 ，
则的值域为.
18. 如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为正方形，平面平面，点是棱的中点，平面与棱交于点.

（1）求证：平面；
（2）为平面内一动点，为线段上一点；
①求证：；
②当最小时，求的值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）①证明见解析；②.
【解析】
【分析】（1）借助线面平行的判定定理和性质定理即可得证；
（2）①证明直线平面即可得证；②由，得，所以当最小时，取得最小值，故转化为平面内的相似比问题，即可求解.
【小问1详解】
证明：因为平面平面
所以平面，
又平面，平面平面
所以.
又平面平面，
所以平面.
【小问2详解】
解：①由平面平面又平面平面，
所以平面，所以，由（1），，故，
又是棱的中点，则为棱中点，为正三角形，
所以平面，
所以平面，且平面，
所以.
②因为.且为棱中点，
所以，
所以
当为与平面的交点时，，
故当最小时，取得最小值，此时，
因为，
所以，
同理，
当时，可得为中点，取中点，连接，如图：

则有且，
有，
所以.
19. 如图，已知圆M：，点为直线l：上一动点，过点P引圆M的两条切线，切点分别为A，B．

（1）时，求PA、PB方程（点A在点B上方）；
（2）求线段AB中点的轨迹方程；
（3）若两条切线PA，PB与y轴分别交于S，T两点，求的最小值．
【答案】（1）PA：；PB：
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据条件得到圆的标准方程，从而得到圆心，半径，当时，得到点的坐标，从而设过点的直线方程为，再由直线与圆的位置关系求得，即可求解；
（2）根据（1）求得，从而得到以P为圆心，为半径的圆P的方程，根据两圆的相交弦所在直线方程求法得到直线的方程，进而得到直线过定点，设AB的中点为F点，直线AB过的定点为H点，得到F点的轨迹为以HM为直径的圆，即可求解.
（3）设切线方程为，根据直线与圆的位置关系求得，设PA，PB的斜率分别为，，再由韦达定理得到.
，，令结合 即可求解.
【小问1详解】
圆，即，
则圆的圆心，半径，
当时，，设过点的直线方程为，即，
又过点P引圆M的两条切线，则，解得：或，
因为点A在点B上方，
即直线的方程为：，直线的方程为：，
故的方程为；直线的方程为：.
【小问2详解】
由（1）知：，圆的半径，
又，则，，
即，
故以P为圆心，为半径的圆P的方程为，
显然线段AB为圆P和圆M的公共弦，
则直线AB的方程为，即，
由，所以直线AB过定点；
设AB的中点为F点，直线AB过的定点为H点，如图所示：

当不重合时，则HF始终垂直于FM，所以F点的轨迹为以HM为直径的圆（除去点M），
又，，
故该圆圆心为，半径，且不经过．
∴点F的轨迹方程为；
故线段AB中点的轨迹方程.
【小问3详解】
设切线方程为，即，
故到直线的距离，即，
则，
设PA，PB的斜率分别为，，则，，
把代入，得，
则，
故当时，取得最小值为．
组
42
45
48
53
52
47
49
组
48
52
70
66
77
49
51