2025年四川省德阳市中考数学模拟试卷（样题）

这是一份2025年四川省德阳市中考数学模拟试卷（样题），共45页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列各数中，无理数是（ ）
A．﹣1B．13C．4D．π
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2m+n＝2mnB．m6÷m2＝m3
C．（﹣mn）2＝﹣m2n2D．m2•m3＝m5
3．（3分）如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC．若∠AOC＝58°，则∠EOB的大小为（ ）
A．29°B．32°C．45°D．58°
4．（3分）将抛物线y＝x2+2x﹣1向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（ ）
A．（﹣4，﹣1）B．（﹣4，2）C．（2，1）D．（2，﹣2）
5．（3分）计算3xx−1−3x−1的结果等于（ ）
A．3B．xC．xx−1D．3x2−1
6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O．若点A（﹣3，1）的对应点为A′（﹣6，2），则点B（﹣2，4）的对应点B′的坐标为（ ）
A．（﹣4，8）B．（8，﹣4）C．（﹣8，4）D．（4，﹣8）
7．（3分）川剧是中国四大剧种之一，起源于中国四川地区，有着悠久的历史，深受大众喜爱．正面印有川剧经典剧目人物的三张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（ ）
A．19B．16C．15D．13
8．（3分）已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（ ）
A．6πB．12πC．15πD．24π
9．（3分）在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”．如图，矩形ABCD位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
10．（3分）已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上．下面的图象反映的过程是：该同学从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后骑自行车到图书馆．图中用x表示时间，y表示该同学离家的距离．结合图象给出下列结论：
（1）体育场离该同学家2.5千米．
（2）该同学在体育场锻炼了15分钟．
（3）该同学跑步的平均速度是步行平均速度的2倍．
（4）若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则a的值是3.75．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
11．（3分）如图，在矩形ABCD中，E，F是边BC上两点，且BE＝EF＝FC，连接DE，AF，DE与AF相交于点G，连接BG．若AB＝4，BC＝6，则sin∠GBF的值为（ ）
A．1010B．31010C．13D．23
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，过点A（m，0）且垂直于x轴的直线l与反比例函数y=−4x的图象交于点B，将直线l绕点B逆时针旋转45°，所得的直线经过第一、二、四象限，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣2或m＞2B．﹣2＜m＜2且m≠0
C．﹣2＜m＜0或m＞2D．m＜﹣2或0＜m＜2
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）比较大小：6 2（填“＞”、“＜”或“＝”）．
14．（4分）分解因式：x3﹣25x＝ ．
15．（4分）某校生物小组的9名同学各用100粒种子做发芽实验，几天后观察并记录种子的发芽数分别为：89，73，90，86，75，86，89，95，89，以上数据的众数为 ．
16．（4分）如图，将矩形纸片ABCD沿边EF折叠，使点D在边BC中点M处．若AB＝4，BC＝6，则CF＝ ．
17．（4分）如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面30m的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为37°，再将无人机沿教学楼方向水平飞行26.6m至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为45°，则教学楼AB的高度约为 m．（精确到1m，参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
18．（4分）关于抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m﹣4（m是常数），下列结论正确的是 （填写所有正确结论的序号）．
①当m＝0时，抛物线的对称轴是y轴；
②若此抛物线与x轴只有一个公共点，则m＝﹣4；
③若点A（m﹣2，y1），B（m+1，y2）在抛物线上，则y1＜y2；
④无论m为何值，抛物线的顶点到直线y＝x的距离都等于22．
三、解答题（本大题共7小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
19．（14分）（1）计算：|3−2|+2sin60°−(−π)0．
（2）先化简，再求值：(4x+2+x−2)÷x2−2xx2−4+3，其中x＝2．
20．（10分）2024年5月28日，神舟十八号航天员叶光富、李聪、李广苏密切协同，完成出舱活动，活动时长达8.5小时，刷新了中国航天员单次出舱活动时间纪录，进一步激发了青少年热爱科学的热情．某校为了普及“航空航天”知识，从该校1200名学生中随机抽取了200名学生参加“航空航天”知识测试，将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表：
成绩统计表
根据所给信息，解答下列问题：
（1）本次调查的成绩统计表中a＝ %，并补全条形统计图；
（2）这200名学生成绩的中位数会落在 组（填A、B、C、D或E）；
（3）试估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数．
21．（12分）已知反比例函数y=kx(x＞0)的图象与正比例函数y＝3x（x≥0）的图象交于点A（2，a），点B是线段OA上（不与点A重合）的一点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）如图1，过点B作y轴的垂线l，l与y=kx(x＞0)的图象交于点D，当线段BD＝3时，求点B的坐标．
22．（12分）如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB，CE交于点F，DF＝FB，AF∥DC．
（1）求证：四边形AFCD为平行四边形；
（2）若∠EFB＝90°，tan∠FEB＝3，EF＝1，求BC的长．
23．（13分）某超市从某水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种水果的进价和售价如下表所示：
该超市购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元；购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705元．
（1）求a，b的值；
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种水果共150千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于50千克，且不大于120千克．实际销售时，若甲种水果超过80千克，则超过部分按每千克降价5元销售．求超市当天销售完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系式（写出自变量x的取值范围），并求出在获得最大利润时，超市的进货方案以及最大利润．
24．（14分）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．⊙O的两条弦FB，FD相交于点F，∠DAE＝∠BFD．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠C＝30°，CD＝23，求扇形OBD的面积．
25．（15分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点和点A（4，0）．经过点A的直线与该二次函数图象交于点B（1，3），与y轴交于点C．
（1）求二次函数的解析式及点C的坐标；
（2）点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线AB上方时，过点P作PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为m．
①m为何值时线段PD的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点P，使得△BPD与△AOC相似．若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
2025年四川省德阳市中考数学模拟试卷（样题）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
一、单选题（本大题12小题，每小题3分，共36分，在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列各数中，无理数是（ ）
A．﹣1B．13C．4D．π
【考点】无理数；算术平方根．
【专题】实数；数感．
【答案】D
【分析】无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
【解答】解：﹣1，4=2是整数，13是分数，它们不是无理数；
π是无限不循环小数，它是无理数；
故选：D．
【点评】本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2m+n＝2mnB．m6÷m2＝m3
C．（﹣mn）2＝﹣m2n2D．m2•m3＝m5
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法法则，幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一计算即可．
【解答】解：A、2m与n不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意；
B、m6÷m2＝m4，原计算错误，不符合题意；
C、（﹣mn）2＝m2n2，原计算错误，不符合题意；
D、m2•m3＝m5，正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法与除法，幂的乘方与积的乘方，熟知以上运算法则是解题的关键．
3．（3分）如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC．若∠AOC＝58°，则∠EOB的大小为（ ）
A．29°B．32°C．45°D．58°
【考点】垂线；对顶角、邻补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】根据垂直的定义得出∠COE＝∠DOE＝90°，再由对顶角相等得出∠BOD＝∠AOC＝58°，由∠EOB＝90°﹣∠BOD进行计算即可．
【解答】解：∵OE⊥OC，
∴∠COE＝∠DOE＝90°，
∵∠BOD＝∠AOC＝58°，
∴∠EOB＝90°﹣58°＝32°．
故选：B．
【点评】本题考查垂线，对顶角、邻补角，掌握互相垂直的定义，对顶角相等是正确解答的关键．
4．（3分）将抛物线y＝x2+2x﹣1向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（ ）
A．（﹣4，﹣1）B．（﹣4，2）C．（2，1）D．（2，﹣2）
【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的性质．
【专题】平面直角坐标系；推理能力．
【答案】D
【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再结合所给平移方式即可解决问题．
【解答】解：因为y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，
所以抛物线y＝x2+2x﹣1的顶点坐标为（﹣1，﹣2），
所以将此抛物线向右平移3个单位长度后，所得新抛物线的顶点坐标为（2，﹣2）．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换及二次函数的性质，能根据所给二次函数解析式得出抛物线的顶线坐标及熟知平移时点的坐标变化规律是解题的关键．
5．（3分）计算3xx−1−3x−1的结果等于（ ）
A．3B．xC．xx−1D．3x2−1
【考点】分式的加减法．
【专题】分式；运算能力．
【答案】A
【分析】根据同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减计算即可．
【解答】解：3xx−1−3x−1
=3x−3x−1
=3(x−1)x−1
＝3，
故选：A．
【点评】本题考查了分式的加减，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O．若点A（﹣3，1）的对应点为A′（﹣6，2），则点B（﹣2，4）的对应点B′的坐标为（ ）
A．（﹣4，8）B．（8，﹣4）C．（﹣8，4）D．（4，﹣8）
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】A
【分析】根据点A与点A′的坐标求出相似比，再根据位似变换的性质计算即可．
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O，点A（﹣3，1）的对应点为A′（﹣6，2），
∴△ABC与△A′B′C′的相似比为1：2，
∵点B的坐标为（﹣2，4），
∴点B的对应点B′的坐标为（﹣2×2，4×2），即（﹣4，8），
故选：A．
【点评】本题主要考查的是位似变换，正确求出相似比是解题的关键．
7．（3分）川剧是中国四大剧种之一，起源于中国四川地区，有着悠久的历史，深受大众喜爱．正面印有川剧经典剧目人物的三张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（ ）
A．19B．16C．15D．13
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】D
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及两次抽取的卡片正面相同的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：将这三张卡片分别记为A，B，C，
列表如下：
共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面相同的结果有3种，
∴两次抽取的卡片正面相同的概率为39=13．
故选：D．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
8．（3分）已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（ ）
A．6πB．12πC．15πD．24π
【考点】圆锥的计算．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】B
【分析】根据圆锥的侧面积公式即可求解．
【解答】解：S侧＝πrl＝π×3×4＝12π，
故选：B．
【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是掌握圆锥的侧面积公式．
9．（3分）在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”．如图，矩形ABCD位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
【考点】矩形的性质；坐标与图形性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；几何直观；推理能力．
【答案】B
【分析】设A（a，b），AB＝m，AD＝n，可得D（a，b+n），B（a+m，b），C（a+m，b+n），再结合新定义与分式的值的大小比较即可得到答案．
【解答】解：设A（a，b），AB＝m，AD＝n，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝n，AB＝CD＝m，
∴D（a，b+n），B（a+m，b），C（a+m，b+n），
∵ba+m＜ba＜b+na，而ba+m＜b+na+m，
∴该矩形四个顶点中“特征值”最小的是点B；
故选：B．
【点评】本题考查的是矩形的性质，坐标与图形的性质，解答本题的关键是理解题意，直观观察和数形结合分析图象．
10．（3分）已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上．下面的图象反映的过程是：该同学从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后骑自行车到图书馆．图中用x表示时间，y表示该同学离家的距离．结合图象给出下列结论：
（1）体育场离该同学家2.5千米．
（2）该同学在体育场锻炼了15分钟．
（3）该同学跑步的平均速度是步行平均速度的2倍．
（4）若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则a的值是3.75．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据函数的图象与坐标的关系求解．
【解答】解：（1）体育场离该同学家2.5千米，故（1）是正确的；
（2）该同学在体育场锻炼的时间为：30﹣15＝15分钟，故（2）是正确的；
（3）该同学跑步的平均速度：步行平均速度＝（65﹣30）÷15＞2，故（3）是错误的；
（4）若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，
则：a÷（103﹣88）＝1.5×2.515，
解得：a＝3.75，
故（4）是正确的；
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的应用，掌握数形结合思想是解题的关键．
11．（3分）如图，在矩形ABCD中，E，F是边BC上两点，且BE＝EF＝FC，连接DE，AF，DE与AF相交于点G，连接BG．若AB＝4，BC＝6，则sin∠GBF的值为（ ）
A．1010B．31010C．13D．23
【考点】矩形的性质；解直角三角形；等腰直角三角形．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】过G作GH⊥BC于H，根据矩形的性质得到AB＝CD＝4，AD∥BC，得到BE＝EF＝CF＝2，求得BF＝CE＝4，推出△ABF和△DCE是等腰直角三角形，得到∠AFE＝∠DEC＝45°，求得△EGF是等腰直角三角形，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：过G作GH⊥BC于H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝4，AD∥BC，
∵BC＝6，BE＝EF＝FC，
∴BE＝EF＝CF＝2，
∴BF＝CE＝4，
∴AB＝BF＝CE＝DC＝4，
∴△ABF和△DCE是等腰直角三角形，
∴∠AFE＝∠DEC＝45°，
∴△EGF是等腰直角三角形，
∴GH＝EH=12EF=1，
∴BH＝3，
∴BG=BH2+HG2=10，
∴sin∠GBF=HGBG=110=1010，
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，过点A（m，0）且垂直于x轴的直线l与反比例函数y=−4x的图象交于点B，将直线l绕点B逆时针旋转45°，所得的直线经过第一、二、四象限，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣2或m＞2B．﹣2＜m＜2且m≠0
C．﹣2＜m＜0或m＞2D．m＜﹣2或0＜m＜2
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】当A在原点右侧时，B点坐标为（m，−4m），设旋转后的直线的解析式为：y＝﹣x+b，得到b＝m−4m=m2−4m＞0，求出m＞2；当A在原点左侧时，设旋转后的直线的解析式为：y＝﹣x+b′，b′=m2−4m＞0，求出﹣2＜m＜0，即可得到m的取值范围．
【解答】解：当A在原点右侧时，B点坐标为（m，−4m），
∵直线l绕点B逆时针旋转45°，
∴所得的直线与直线y＝﹣x平行，
设这条直线的解析式为：y＝﹣x+b，
∵这条直线经过第一、二、四象限，
∴b＞0，
∵B在直线y＝﹣x+b上，
∴﹣m+b=−4m，
∴b＝m−4m=m2−4m＞0，
∵m＞0，
∴m2﹣4＞0，
∴m＞2；
当A在原点左侧时，
设这条直线的解析式为：y＝﹣x+b′，
同理：b′=m2−4m＞0，
∵m＜0，
∴m2﹣4＜0，
∴﹣2＜m＜2，
∵m＜0，
∴﹣2＜m＜0．
m的取值范围是﹣2＜m＜0或m＞2．
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点，关键是要分两种情况讨论．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）比较大小：6 ＞ 2（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【考点】实数大小比较．
【专题】实数；数感．
【答案】＞．
【分析】根据6＞4即可推出6＞2．
【解答】解：∵6＞4，
∴6＞2，
故答案为：＞．
【点评】本题考查了实数的大小比较的应用，主要考查学生的比较能力．
14．（4分）分解因式：x3﹣25x＝ x（x+5）（x﹣5） ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【答案】见试题解答内容
【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式运用平方差公式继续分解．
【解答】解：x3﹣25x，
＝x（x2﹣25），
＝x（x+5）（x﹣5）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后继续利用平方差公式进行二次因式分解，分解因式要彻底．
15．（4分）某校生物小组的9名同学各用100粒种子做发芽实验，几天后观察并记录种子的发芽数分别为：89，73，90，86，75，86，89，95，89，以上数据的众数为 89 ．
【考点】众数．
【专题】统计的应用；数感．
【答案】见试题解答内容
【分析】找出出现次数最多的数是众数．
【解答】解：出现次数最多的是89，因此众数为89．
故答案为：89．
【点评】本题考查众数，理解众数的意义是正确解答的前提．
16．（4分）如图，将矩形纸片ABCD沿边EF折叠，使点D在边BC中点M处．若AB＝4，BC＝6，则CF＝ 78 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理；矩形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】78．
【分析】由矩形的性质推出CD＝AB＝4，∠C＝90°，由线段中点定义得到CM=12BC＝3，由折叠的性质得到：MF＝DF，设FC＝x，由勾股定理得到（4﹣x）2＝32+x2，求出x=78，得到FC的值．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝4，∠C＝90°，
∵M是BC中点，
∴CM=12BC=12×6＝3，
由折叠的性质得到：MF＝DF，
设FC＝x，
∴FD＝4﹣x，
∴MF＝4﹣x，
∵MF2＝MC2+FC2，
∴（4﹣x）2＝32+x2，
∴x=78，
∴FC=78．
故答案为：78．
【点评】本题考查矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，关键是由勾股定理列出关于x的方程．
17．（4分）如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面30m的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为37°，再将无人机沿教学楼方向水平飞行26.6m至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为45°，则教学楼AB的高度约为 17 m．（精确到1m，参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】17．
【分析】令AB的延长线与PQ的延长线交于点C，先求出PC，从而得到QC，BC，再利用AB＝AC﹣BC即可求出AB．
【解答】解：如图，令AB的延长线与PQ的延长线交于点C，
由题意，知AC＝30m，PQ＝26.6m，∠APC＝37°，∠BQC＝45°，
在Rt△APC中，
PC=ACtan37°≈300.75=40（m），
∴QC＝PC﹣PQ＝40﹣26.6＝13.4（m），
在Rt△BQC中，
BC＝QC＝13.4m，
∴AB＝AC﹣BC＝30﹣13.4＝16.6≈17（m），
故答案为：17．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，理解题意，能熟练运用三角函数关系是解题的关键．
18．（4分）关于抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m﹣4（m是常数），下列结论正确的是 ①④ （填写所有正确结论的序号）．
①当m＝0时，抛物线的对称轴是y轴；
②若此抛物线与x轴只有一个公共点，则m＝﹣4；
③若点A（m﹣2，y1），B（m+1，y2）在抛物线上，则y1＜y2；
④无论m为何值，抛物线的顶点到直线y＝x的距离都等于22．
【考点】抛物线与x轴的交点；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】①④．
【分析】依据题意，根据二次函数的图象与性质，逐个进行判断即可得解．
【解答】解：当m＝0时，抛物线为y＝x2﹣4，
∴抛物线的对称轴是y轴，故①正确．
又若此抛物线与x轴只有一个公共点，
∴Δ＝4m2﹣4（m2+m﹣4）＝﹣4m+16＝0．
∴m＝4，故②错误．
由题意，∵抛物线为y＝x2﹣2mx+m2+m﹣4，
∴对称轴是直线x=−−2m2=m．
又抛物线开口向上，
∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小．
又∵A（m﹣2，y1），B（m+1，y2），
∴m﹣（m﹣2）＝2＞m+1﹣m＝1．
∴y1＞y2，故③错误．
由题意，∵抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m﹣4的对称轴是直线x＝m，
∴顶点为（m，m﹣4）．
∴顶点在直线y＝x﹣4上．
又直线y＝x与y＝x﹣4平行，
∴顶点到直线y＝x的距离等于两条平行线间的距离．
又直线y＝x﹣4与y轴的夹角为45°，
且y＝x﹣4是y＝x向下平移4个单位得到的，
∴两平行线间的距离为4sin45°＝4×22=22．
∴顶点到直线y＝x的距离为22，故④正确．
故答案为：①④．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
三、解答题（本大题共7小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
19．（14分）（1）计算：|3−2|+2sin60°−(−π)0．
（2）先化简，再求值：(4x+2+x−2)÷x2−2xx2−4+3，其中x＝2．
【考点】分式的化简求值；零指数幂；特殊角的三角函数值；实数的运算．
【专题】实数；分式；运算能力．
【答案】（1）1；（2）x+3，5．
【分析】（1）先去绝对值符号、代入三角函数值、计算零指数幂，再计算乘法，最后计算加减即可；
（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再代入计算即可．
【解答】解：（1）原式＝2−3+2×32−1
＝2−3+3−1
＝1；
（2）原式=4+x2−4x+2•(x+2)(x−2)x(x−2)+3
=x2x+2•x+2x+3
＝x+3，
当x＝2时，原式＝5．
【点评】本题主要考查实数混合运算和分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
20．（10分）2024年5月28日，神舟十八号航天员叶光富、李聪、李广苏密切协同，完成出舱活动，活动时长达8.5小时，刷新了中国航天员单次出舱活动时间纪录，进一步激发了青少年热爱科学的热情．某校为了普及“航空航天”知识，从该校1200名学生中随机抽取了200名学生参加“航空航天”知识测试，将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表：
成绩统计表
根据所给信息，解答下列问题：
（1）本次调查的成绩统计表中a＝ 20 %，并补全条形统计图；
（2）这200名学生成绩的中位数会落在 D 组（填A、B、C、D或E）；
（3）试估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数．
【考点】条形统计图；中位数；用样本估计总体；频数（率）分布表．
【专题】数据的收集与整理；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）用200分别减去A，B，D，E组的人数，可得C组的人数，用C组的人数除以200再乘以100%可得a的值，最后补全条形统计图即可．
（2）根据中位数的定义可得答案．
（3）根据用样本估计总体，用1200乘以统计表中E组的百分比，即可得出答案．
【解答】解：（1）由题意得，C组的人数为200﹣10﹣30﹣70﹣50＝40（人），
∴a＝40÷200×100%＝20%．
故答案为：20．
补全条形统计图如图所示．
（2）将这200名学生成绩按照从小到大的顺序排列，排在第100和101名的学生成绩均在D组，
∴这200名学生成绩的中位数会落在D组．
故答案为：D．
（3）1200×25%＝300（人）．
∴估计该校1200名学生中成绩在9（0分）以上（包括90分）的人数约300人．
【点评】本题考查条形统计图、统计表、用样本估计总体、中位数，能够读懂统计图表，掌握用样本估计总体、中位数的定义是解答本题的关键．
21．（12分）已知反比例函数y=kx(x＞0)的图象与正比例函数y＝3x（x≥0）的图象交于点A（2，a），点B是线段OA上（不与点A重合）的一点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）如图1，过点B作y轴的垂线l，l与y=kx(x＞0)的图象交于点D，当线段BD＝3时，求点B的坐标．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；待定系数法求反比例函数解析式．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）y=12x；
（2）B（1，3）．
【分析】（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）设点B（m，3m），那么点D（m+3，3m），利用反比例函数图象上点的坐标特征解出点B的坐标即可．
【解答】解（1）将A（2，a）代入y＝3x得a＝3×2＝6，
∴A（2，6），
将A（2，6）代入y=kx得6=k2，
解得k＝12，
∴反比例函数表达式为y=12x；
（2）如图1，设点B（m，3m），则点D（m+3，3m），
∵点D在反比例函数y=kx(x＞0)的图象上，
∴3m（m+3）＝12，
解得m1＝1，m2＝﹣4（舍），
∴B（1，3）．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，交点坐标满足两个函数关系式是关键．
22．（12分）如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB，CE交于点F，DF＝FB，AF∥DC．
（1）求证：四边形AFCD为平行四边形；
（2）若∠EFB＝90°，tan∠FEB＝3，EF＝1，求BC的长．
【考点】平行四边形的判定与性质；解直角三角形；勾股定理；三角形中位线定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据三角形中位线定理得到EF∥AD，根据平行四边形的判定定理得到结论；
（2）根据三角形中位线定理求得AD＝2EF＝2，根据三角函数的定义得到BF＝3EF＝3，求得DF＝BF＝3，根据勾股定理得到AF=AD2+DF2=13，根据平行四边形的性质得到CD＝AF=13，根据线段垂直平分线的性质得到结论．
【解答】（1）证明：∵E是AB的中点，
∴AE＝BE，
∵DF＝BF，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF∥AD，
∴CF∥AD，
∵AF∥CD，
∴四边形AFCD为平行四边形；
（2）解：由（1）知，EF是△ABD的中位线，
∴AD＝2EF＝2，
∵∠EFB＝90°，tan∠FEB＝3，
∴BF＝3EF＝3，
∵DF＝FB，
∴DF＝BF＝3，
∵AD∥CE，
∴∠ADF＝∠EFB＝90°，
∴AF=AD2+DF2=13，
∵四边形AFCD为平行四边形，
∴CD＝AF=13，
∵DF＝BF，CE⊥BD，
∴BC＝CD=13．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，解直角三角形，三角形中位线定理，勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．
23．（13分）某超市从某水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种水果的进价和售价如下表所示：
该超市购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元；购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705元．
（1）求a，b的值；
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种水果共150千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于50千克，且不大于120千克．实际销售时，若甲种水果超过80千克，则超过部分按每千克降价5元销售．求超市当天销售完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系式（写出自变量x的取值范围），并求出在获得最大利润时，超市的进货方案以及最大利润．
【考点】二元一次方程组的应用；一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据“甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元；购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705元”列方程组求解；
（2）根据“y＝甲乙两种水果的利润和”列出函数关系式，再根据一次函数的性质求解．
【解答】解：（1）由题意得：18a+6b=36630a+15b=705，
解得：a=14b=19，
∴a＝14，b＝19；
（2）当50≤x≤80时，y＝（22﹣14）x+（25﹣19）（150﹣x）＝2x+900，
∵2＞0，∴y随x的增大而增大，
∴当x＝80时，y取最大值，为：2×80+900＝1060（元），
当80＜x≤120时，y＝（22﹣14）×80+（22﹣14﹣5）（x﹣80）+（25﹣19）（150﹣x）＝﹣3x+1300，
∵﹣3＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝80时，y有极大值，为：﹣3×80+1300＝1060（元），
综上所述：当购进价水果80千克，乙水果70千克时，利润最大，为1060元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，找到相等关系和掌握一次函数的性质是解题的关键．
24．（14分）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．⊙O的两条弦FB，FD相交于点F，∠DAE＝∠BFD．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠C＝30°，CD＝23，求扇形OBD的面积．
【考点】切线的判定与性质；扇形面积的计算；垂径定理；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解答；
（2）扇形OBD的面积为4π3．
【分析】（1）连接OD，则∠ODB＝∠ABC，由∠DAE＝∠BFD，∠DAB＝∠BFD，得∠DAE＝∠DAB，由AB是⊙O的直径，得∠ADC＝∠ADB＝90°，则ADAC=cs∠DAE＝cs∠DAB=ADAB，所以AC＝AB，则∠C＝∠ABC，所以∠ODB＝∠C，则OD∥AC，所以∠ODE＝∠DEC＝90°，即可证明DE是⊙O的切线；
（2）由AC＝AB，AD⊥BC，得BD＝CD＝23，可求得∠BAD＝60°，则∠BOD＝2∠BAD＝120°，由BDAB=23AB=sin60°=3 2，求得AB＝4，则OB=12AB＝2，即可根据扇形的面积公式求得S扇形OBD=4π3．
【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OB，
∴∠ODB＝∠ABC，
∵∠DAE＝∠BFD，∠DAB＝∠BFD，
∴∠DAE＝∠DAB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
∴ADAC=cs∠DAE＝cs∠DAB=ADAB，
∴AC＝AB，
∴∠C＝∠ABC，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC于点E，
∴∠ODE＝∠DEC＝90°，
∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：∵AC＝AB，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝23，
∵∠ADB＝90°，∠ABD＝∠C＝30°，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝60°，
∴∠BOD＝2∠BAD＝120°，
∵BDAB=23AB=sinBAD＝sin60°=3 2，
∴AB＝4，
∴OB=12AB＝2，
∴S扇形OBD=120π×22360=4π3，
∴扇形OBD的面积为4π3．
【点评】此题重点考查圆周角定理、锐角三角函数与解直角三角形、等腰三角形的判定与性质、切线的判定定理、扇形的面积公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
25．（15分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点和点A（4，0）．经过点A的直线与该二次函数图象交于点B（1，3），与y轴交于点C．
（1）求二次函数的解析式及点C的坐标；
（2）点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线AB上方时，过点P作PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为m．
①m为何值时线段PD的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点P，使得△BPD与△AOC相似．若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；运算能力．
【答案】（1）y＝﹣x2+4x，（0，4）；（2）①当m=52时，PD=94是最大值．②存在点P使△BPD与△AOC相似，此时P的坐标为（3，3）或（2，4），理由见解析．
【分析】（1）先求直线解析式，再求出点C坐标，利用待定系数法即可求出解析式；
（2）将P、D坐标用m表示出来，用P的纵坐标减去D的纵坐标即可得出PD的关系式，从而求最值；
（3）由∠AOC＝90°得到△AOC是直角三角形，要使△BPD与△AOC相似，则△BPD也是直角三角形，分类讨论，画出草图．利用相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：（1）∵抛二次函数经过O（0，0），A（4，0），B（1，3），
∴将三点坐标代入解析式得0=c0=16a+4b+c3=a+b+c，
解得：a＝﹣1，b＝4，c＝0，
∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+4x；
∵直线经过A、B两点，设直线AB解析式为：y＝kx+n，
∴将A、B两点代入得0=4k+n3=k+n，
解得：k＝﹣1，n＝4，
∴直线AB解析式为：y＝﹣x+4，
∵点C是直线与y轴交点，
∴令x＝0，则y＝4，
∴C（0，4）．
（2）①∵点P在直线AB上方，
∴1＜m＜4，
由题知P（m，﹣m2+4m），D（m，﹣m+4），
∴PD＝yP﹣yD＝﹣m2+4m+m﹣4＝﹣m2+5m﹣4＝﹣（m−52）2+94，
∵﹣1＜0，
∴当m=52时，PD=94是最大值．
②存在，理由如下：
∵∠PDB＝∠ADE，∠ADE＝∠ACO，
∴∠BDP＝∠ACO，
∵△AOC是直角三角形，
∴要使△BPD与△AOC相似，只有保证△BPD是直角三角形就可以．
（Ⅰ）当△BPD∽△AOC时，
∵∠AOC＝90°，
∴∠BPD＝90°，
此时BP∥x轴，B、P关于对称轴对称，
∴P（3，3）；
（Ⅱ）法一：当△PBD∽△AOC时，
∴∠PBD＝∠AOC＝90°，
∵OC＝OA＝4，
∴∠BDP＝∠ADE＝∠OAC＝45°，
∴△BDP为等腰直角三角形，
∴PD=2BD，
由①知PD＝﹣m2+5m﹣4，
∵B（1，3），D（m，﹣m+4），
∴BD=(m−1)2+(−m+4−3)2=2（m﹣1），
∵PD=2BD，
∴﹣m2+5m﹣4＝2（m﹣1），
解得m1＝2，m2＝1（舍），
∴P（2，4）．
法二：当△PBD∽△AOC时，
∴∠PBD＝∠AOC＝90°，
过B作GH∥y轴，作PG⊥GH，作DH⊥GH，
则易证△PGB∽△BHD，
∴PGBH=BGDH，
∵PG＝m﹣1，BG＝﹣m2+4m﹣3，BH＝m﹣1，DH＝m﹣1，
∴m−1m−1=−m2+4m−3m−1，
解得m1＝2，m2＝1（舍），
∴P（2，4）．
法三：当△PBD∽△AOC时，
∴∠PBD＝∠AOC＝90°，
∴AB⊥PB，
∵kAC＝﹣1，
∴kBP＝1，
∴直线BP的解析式为：y＝x+2，
联立方程组得y=−x2+4xy=x+2，
解得：x=1y=3或x=2y=4，
∴P（2，4）
综上，存在点P使△BPD与△AOC相似，此时P的坐标为（3，3）或（2，4）．
【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．
考点卡片
1．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为a．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
2．无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4＝4.0，13=0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2=1.414213562．
②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π2是无理数，因为π是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如2，3，35等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如16是有理数，而不是无理数．
3．实数大小比较
实数大小比较
（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．
（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
4．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
5．合并同类项
（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．
（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
（3）合并同类项时要注意以下三点：
①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；
②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；
③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．
6．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am•an＝a m+n（m，n是正整数）
（2）推广：am•an•ap＝a m+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
7．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
8．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
9．提公因式法与公式法的综合运用
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可．
10．分式的加减法
（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
说明：
①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘．
②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的．
11．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
12．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
13．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
14．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
15．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（−bk，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
16．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
17．待定系数法求反比例函数解析式
用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：
（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y=kx（k为常数，k≠0）；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；
（3）解方程，求出待定系数；
（4）写出解析式．
18．反比例函数与一次函数的交点问题
反比例函数与一次函数的交点问题
（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y=k2x在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：
①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y=k2x在同一直角坐标系中有2个交点；
②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y=k2x在同一直角坐标系中有0个交点．
19．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（−b2a，4ac−b24a），对称轴直线x=−b2a，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜−b2a时，y随x的增大而减小；x＞−b2a时，y随x的增大而增大；x=−b2a时，y取得最小值4ac−b24a，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜−b2a时，y随x的增大而增大；x＞−b2a时，y随x的增大而减小；x=−b2a时，y取得最大值4ac−b24a，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|−b2a|个单位，再向上或向下平移|4ac−b24a|个单位得到的．
20．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（−b2a，4ac−b24a）．
①抛物线是关于对称轴x=−b2a成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x=x1+x22．
21．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
22．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
23．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
24．对顶角、邻补角
（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
（3）对顶角的性质：对顶角相等．
（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
25．垂线
（1）垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
26．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=c2−b2，b=c2−a2及c=a2+b2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
27．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R=2+1，所以r：R＝1：2+1．
28．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DE=12BC．
29．平行四边形的判定与性质
平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．
凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
30．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
31．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
32．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
33．切线的判定与性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（3）常见的辅助线的：
①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；
②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
34．扇形面积的计算
（1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形=n360πR2或S扇形=12lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
35．圆锥的计算
（1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高．
（2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
（3）圆锥的侧面积：S侧=12•2πr•l＝πrl．
（4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl
（5）圆锥的体积=13×底面积×高
注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等．
②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．
36．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
37．位似变换
（1）位似图形的定义：
如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
注意：①两个图形必须是相似形；
②对应点的连线都经过同一点；
③对应边平行．
（2）位似图形与坐标
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
38．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°=12； cs30°=32；tan30°=33；
sin45°=22；cs45°=22；tan45°＝1；
sin60°=32；cs60°=12； tan60°=3；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
39．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA=∠A的对边斜边=ac，csA=∠A的邻边斜边=bc，tanA=∠A的对边∠A的邻边=ab．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
40．解直角三角形的应用-仰角俯角问题
（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
41．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
42．频数（率）分布表
1、在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表．
2、列频率分布表的步骤：
（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．
（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．
（3）将数据分组．
（4）列频率分布表．
43．条形统计图
（1）定义：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．
（2）特点：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．
（3）制作条形图的一般步骤：
①根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线．
②在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔．
③在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少．
④按照数据大小，画出长短不同的直条，并注明数量．
44．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
45．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
46．概率公式
（1）随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．
47．列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
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组别
成绩x（分）
百分比
A组
x＜60
5%
B组
60≤x＜70
15%
C组
70≤x＜80
a
D组
80≤x＜90
35%
E组
90≤x≤100
25%
水果种类
进价（元/千克）
售价（元/千克）
甲
a
22
乙
b
25
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
D
D
B
D
A
A
D
B
B
C
A
题号
12
答案
C
A
B
C
A
（A，A）
（A，B）
（A，C）
B
（B，A）
（B，B）
（B，C）
C
（C，A）
（C，B）
（C，C）
组别
成绩x（分）
百分比
A组
x＜60
5%
B组
60≤x＜70
15%
C组
70≤x＜80
a
D组
80≤x＜90
35%
E组
90≤x≤100
25%
水果种类
进价（元/千克）
售价（元/千克）
甲
a
22
乙
b
25