北师大版2024-2025学年六年级数学下册(单元讲义)第二单元比例(知识梳理+典例精讲+培优必刷)特训(学生版+解析)

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（知识梳理+典例精讲+培优必刷）
【知识点一】比例的认识
1、表示两个比相等的式子叫作比例。组成比例的四个数，叫作比例的项。两端的两项叫作比
例的外项，中间的两项叫作比例的内项。
2、在比例里，两个内项的积等于两个外项的积，这叫做比例的基本性质。
【知识点二】比例的应用
1、求比例中的未知项的过程，叫作解比例。
2、解比例的方法：根据比例的基本性质，先把比例转化成外项的积与内项的积相等的形式（即方程），再通过解方程求出未知项的值。
3、当已知两个量的比或两个量的比不变时，可以设要求的一个量为x，然后根据比例的意义列出比例，再求出x的值。
4、对于一些具体的实际问题可以列算式求解，也可以根据比例的意义，列出比例（方程），然后解比例，求出实际问题的答案，其关键是理解题意，正确地列出比例。
【知识点三】比例尺
1、意义。
将实际图形画在纸上，为了让图形的形状不变，画在纸上的距离和对应的实际距离的比要组成比例，即按统一的比进行绘图。
图上距离和实际距离的比，叫作这幅图的比例尺，即：=比例尺。
比例尺是一个简单的整数比，它表示图上距离和实际距离的倍比关系，因此不能带有计量单位。
2、比例尺的应用。
（1）应用比例尺画图时，要先根据比例尺求出图上距离，再根据图上距离画图；
（2）图上距离：实际距离=比例尺。
（3）实际距离=图上距离÷比例尺。
（4）图上距离=实际距离×比例尺。
3、两种常见的比例尺。
（1）数值比例尺：一幅图的比例尺是1：1000，像这样用数字形式表示的比例尺叫数值比例尺。
（2）线段比例尺：比例尺1：1000还可以这样表示：，这种用线段表示的比例尺叫线段比例尺。
拓展：比例尺的分类。
【知识点四】图形的放大和缩小
1、图形的放大。
（1）保持物体的图形或图象原来的形状不变而使物体的图形或图象变大，叫作放大。
（2）图形（或图象）放大后得到的图形（或图象）与原图形（或图象）相比，形状相同图形（或图象）变大。
2、图形的缩小。
（1）保持物体的图形或图象原来的形状不变而使物体的图形或图象变小，叫作缩小。
（2）图形（或图象）缩小后得到的图形（或图象）与原图形（或图象）相比，形状相同图形（或图象）变小。
3、图形放大或缩小的方格。
在方格纸上按一定的比将图形放大或缩小，分为三步；
一看：看原图形每边各占几格；
二算：计算按给定的比将图形的各边长放大或缩小后得到的新图形每边各占几格；
三画：按计算出的边长画出原图形的放大图或缩小图。
【考点一】比例的认识
【典例一】下面（ ）组中四个数不能组成比例。
A．15∶18和30∶36B．4∶8和5∶20
C．3、4、8和6D． ∶和4∶3
【典例二】从18的因数中选出四个数组成一个比例是( )。
【典例三】丽丽为了布置教室墙报，剪了两张大小不同的长方形剪纸。经测量第一张剪纸长与宽的比是21∶14，第二张剪纸长与宽的比是9∶6，丽丽认为21∶14和9∶6能组成比例，你觉得呢？请写出理由。
理由1：
理由2：
理由1：21∶14和9∶6的比值相等；
理由2：两个内项的积等于两个外项的积。
【考点二】比例的应用
【典例一】解方程。

【典例二】相同质量的水和冰的体积比约是9∶10。若一块冰融化成水后是81立方分米，则这块冰的体积是多少立方分米？（用比例知识解决）
【典例三】一个人的血液与体重比约为2∶25，肌肉与体重比约为2∶3，骨头与体重比约为1∶4。
（1）体重是7千克的幼儿，他体内的血液约有多少千克？（列方程解答）
（2）体重是多少千克的人，他体内的肌肉约有28千克？（列方程解答）
【考点三】比例尺
【典例一】线段比例尺 化成数值比例尺是（ ）。
A．1∶30B．30∶1C．1∶3000000D．3000000∶1
【典例二】青白江区城市森林和谐广场位于青白江区华金大道二段，是青白江百姓休闲、娱乐的重要场所。把它绘制在比例尺为1∶5000的地图上，该广场平面图是一个长约是5厘米，宽约是3厘米的长方形。请问该广场实际面积约是多少平方米？
【典例三】如图是小英家附近几个建筑物的位置。
(1)小英家到学校的实际距离书店是900米，则这幅图的比例尺是( )。（测量时取整厘米）
(2)书店距离小英家的实际距离是( )米。
(3)体育场在小英家的( )偏( )30°方向，距小英家的实际距离是( )米。
【考点四】图形的放大和缩小
【典例一】把一个图形按4∶1扩大后，周长的变化是（ ）
A．扩大到原来的4倍。B．扩大到原来的16倍。
C．缩小到原来的。D．周长不变。
【典例二】把一个正方形按4∶1的比放大，放大后的正方形与原来正方形的面积比是( )；把一个长方形按1∶6的比缩小，缩小后的长方形与原来长方形的周长比是( )。
【典例三】想一想，画一画。
点A、B、C、D的数对是A（6，2），B（6，0），C（12，0），D（12，2）。
（1）将图形①各顶点数对的第一个数乘，第二个数不变，得到图形③。
（2）将图形②按2∶1放大，得到图形④。
一、填空题（满分20分）
1．（2分）在一个比例中，两个外项的积是最小的质数，其中一个内项是，另一个内项是（ ）。
2．（2分）电脑上有一张长3cm、宽2.4cm的图片，拖动鼠标后，图片的长变为15cm，宽变为12cm，相当于把这张图片按（ ）放大了。
3．（2分）把一个长6厘米、宽4厘米的长方形按2∶1放大，得到的图形的面积是（ ）平方厘米。
4．（2分）从雷州到广州的实际距离大约是480千米，在一幅地图上量得这两地间的距离是12厘米。这幅地图的比例尺是（ ）。
5．（2分）在一幅比例尺是1∶3000000的地图上量得甲、乙两地之间的距离是2厘米，甲、乙两地之间的实际距离是（ ）千米。
6．（2分）去年6月17日我国第三艘航空母舰“福建号”成功下水，据悉它的长是320米，宽是78米，排水量8万余吨。如果按照的比例尺制作“福建号”模型，长应是（ ）厘米，宽应是（ ）厘米。
7．（2分）学校制作宣传栏表彰“阅读小达人”，如图是一位同学的二寸照片的尺寸，老师想按比例放大装进宣传栏，放大后照片的宽是22cm，长是（ ）cm。
8．（2分）甲乙两个学校图书本数比是4∶3，两所学校同时捐给山区小学300本图书，这时甲乙两校图书本书比是7∶5，那么甲乙两校原来共有（ ）本图书。
9．（2分）三个数15、6、9与a能组成一个比例，a＝（ ）。组成的比例是（ ）。
10．（2分）甲乙两堆水泥，已知甲堆水泥比乙堆多50袋，当甲堆运走80%，乙堆运走后，甲乙两堆剩下的水泥袋的比是6∶5，甲堆水泥原来有（ ）袋，乙堆水泥原来有（ ）袋。
二、判断题（满分10分）
11．（2分）如果11a＝6b，（a、b均不为0），则a∶b＝6∶11。（ ）
12．（2分）王师傅8天完成了10天的工作任务，他的工作效率提高了25%。（ ）
13．（2分）比例尺1∶100000表示图上1厘米代表实际距离100000厘米。（ ）
14．（2分）比例尺一定，实际距离扩大到原来的5倍，图上距离也扩大到原来的5倍。（ ）
15．（2分）一个圆形放大或缩小后，其形状和大小都发生了变化。（ ）
三、选择题（满分10分）
16．（2分）一幅地图的比例尺是1∶5000000，地图上的1厘米表示实际距离（ ）。
A．50千米B．500千米C．5000千米D．5000000千米
17．（2分）市政府要建一个长600m，宽400m的长方形广场，将广场设计图画在一张长20cm、宽16cm的长方形纸上，选用下列比例尺（ ）比较合适。
A．1∶2500B．1∶3000C．1∶4000D．1∶4000000
18．（2分）下列说法错误的是（ ）。
A．图形平移后，位置、形状都不改变B．图形旋转后，位置变了，大小不变
C．图形放大后，大小变了，形状相似D．图形缩小后，对应线段长的比相等
19．（2分）一列火车从甲地开往乙地，6小时行驶了，距离乙地还有，照这样的速度计算，行驶完全程还需要几小时？若设行驶完全程还需要小时，则下面所列比例错误的是（ ）。
A．B．C．D．
20．（2分），那么a与b化简后的比是（ ）。
A．B．C．6∶5D．5∶6
四、计算题（满分6分）
21．（6分）解方程。
（1）0.3x－0.6＝1.8 （2）40%x＋26＝84 （3）
五、作图题（满分6分）
22．（6分）已知小刚家正东方向800米是电影院，电影院东偏北65°方向600米是学校，学校南偏东40°方向500米是图书馆，在图中标出电影院、学校、图书馆的位置。
六、解答题（满分48分）
23．（6分）甲乙两地的实际距离是1600千米，在地图上，量得甲乙两地的直线距离是20厘米。“十四五”期间，宁夏至太原高铁项目列入计划，全长约600千米。画在这幅地图上，应画多少厘米？
24．（6分）在比例尺是1∶4000000的地图上量得A、B两个城市间的公路长9cm。一辆汽车从A城到B城用了7.2小时，这辆汽车平均每小时行驶多少千米？
25．（6分）同学们在某一天同一时刻分成三组进行测量活动，并记录下一些数据（见表格）。学校旗杆的实际高度是多少米？（用比例知识进行解答）
26．（6分）兰兰家距离外婆家460千米，汽车每100千米耗油8升，按这个耗油量，出发时加满40升汽油，能到外婆家吗？（用比例知识解答）
27．（12分）智能物流是把先进的物联网技术通过信息处理和网络通信技术平台广泛应用于物流业运输、仓储、配送、包装、装卸等基本活动环节，实现货物运输过程的自动化运作和高效率优化管理。某物流公司用机器人给某街道配送快递，下图是机器人配送快递的示意图。
（1）已知出发点到A户的实际距离是300米，则这幅图的比例尺是多少？
（2）B户在出发点的东偏北60°方向，距离出发点的实际距离是多少米？
（3）机器人现在要给D户配送快递，D户位于出发点东偏南45°方向400米处，请在上图中画出D户的位置。
28．（12分）操作。

（1）用数对表示三角形三个顶点的位置。
A（ ），B（ ），C（ ）。
（2）画出三角形按2∶1放大后的图形。
（3）如果原来直角三角形的斜边长是a，那么放大后的直角三角形的斜边长是（ ）。
实际高度（米）
影子长度（米）
木棍
1
0.25
小明同学
1.6
0.4
学校旗杆
？
4.22