辽宁省辽阳市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份辽宁省辽阳市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（解析版），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 命题“，”的否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】由特称命题的否定形式可知原命题的否定为：，.
故选：D.
2. 已知集合，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：C.
3. 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得，解得且，
所以定义域为，
故选：B.
4. 函数的一个零点所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】和都是增函数，所以函数为增函数，
且，，，
，所以函数在区间存在唯一零点，所以函数的一个零点所在区间为.
故选：B
5. 若，，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为，，所以，，
所以，所以取值范围为.
故选：A.
6. 已知函数，且，则（ ）
A. 3B. C. 17D.
【答案】A
【解析】在中取可得，所以，
故选：A
7. 已知函数是减函数，则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】函数是减函数，则有，
解得，则a的取值范围为.
故选：B.
8. 我们将集合S的子集为元素的集合称为S的一个子集族.例如集合有3个子集族：.若集合B中有3个元素，则B的不同子集族有（ ）
A. 128个B. 127个C. 256个D. 255个
【答案】D
【解析】我们定义全子集族为：子集族内的集合加上空集本身，
一般地，设集合中有个元素，则它有个子集，
我们对所有子集按元素个数分类为：，
则集合不同的全子集族个数为个，
从而集合不同的子集族个数为个，
若集合B中有3个元素，
从而B的不同子集族有个.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在四边形中，“四边形是梯形”的一个充分不必要条件可能是（ ）
A. 平行于，且等于
B. 平行于，且不等于
C. 平行于，且不平行于
D. 平行于或平行于
【答案】BC
【解析】对A：若平行于，且等于，则四边形是平行四边形，故A错误；
对B：若平行于，且不等于，则四边形是梯形，
若四边形是梯形，则可能有不平行于，但平行于，
故平行于，且不等于是四边形是梯形的一个充分不必要条件，故B正确；
对C：若平行于，且不平行于，则四边形是梯形，
若四边形是梯形，则可能有不平行于，但平行于，
故平行于，且不平行于是四边形是梯形的一个充分不必要条件，故C正确；
对D：平行于或平行于时，可能平行于且平行于，
此时四边形是平行四边形，故D错误.
故选：BC.
10. 已知集合与的关系如图所示，则与可能是（ ）

A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】ABD
【解析】由集合与的关系图，知，
对于A，由，，
则，且，故正确；
对于B，因为，,
则，且，故正确；
对于C，因为，则，
当且仅当，即时，等号成立，
即，
因为，则，所以，
当且仅当，即时，等号成立，即，
因为，所以集合真包含于集合，不满足，故错误；
对于D，因为，，
联立，解得或，
则，且，故正确.
故选：ABD.
11. 已知函数fx为定义在上的偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. fx在上单调递减
D. fx的值域为
【答案】ABD
【解析】对于A，因为是定义在上的偶函数，所以，
解得，故A正确；
对于B，由，，
，故B正确；
对于C，，，则，
所以函数在上不满足单调递减，故C错误；
对于D，由，，
令，则，且，
，，
，即，
由偶函数对称性可知，的值域为.故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知下列表格表示的是函数，则＝________．
【答案】0
【解析】依题意，有.
故答案为：0.
13. 若关于x的不等式恒成立，则a的取值范围为________．
【答案】
【解析】当时，原不等式恒成立，满足题意；
当时，只需，解得;
综上所述：，
故答案为：.
14. 已知奇函数的图像是一条连续不断的曲线，在上单调递减，则不等式的解集为________．
【答案】或，
【解析】因为是奇函数，
所以，由可得，
由于在上单调递减，且的图像是一条连续不断的曲线，故在上单调递减,故，则或，
解得或，
故解集为或，
故答案为：或，
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知非空集合.
（1）若，求；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值集合.
解：（1）当时，.
由,得,则
或，
所以或
（2）有题意得, 则得,
所以的取值集合为
16. 已知，，且．
（1）求的最大值；
（2）求的最小值．
解：（1）依题意，，，且，
所以，所以，
二次函数的开口向上，对称轴为，
所以当时，取得最大值为，此时.
所以的最大值为.
（2），
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为.
17. 辽阳大果榛子外形美观、果大皮薄，深受消费者欢迎.某辽阳大果榛子网店为回馈新老顾客，提供两种购买大果榛子优惠方案：第一种方案，每斤的售价为24元，顾客买x（）斤，每斤的售价降低x元；第二种方案，顾客买x（）斤，每斤的售价为元．已知每位顾客限购9斤大果榛子.设一名顾客按照第一种方案购买大果榛子的付款额为fx元，按照第二种方案购买大果榛子的付款额为元．
（1）分别求函数fx，的解析式；
（2）已知顾客甲、乙在这家网店均选择了更经济实惠的方案购买大果榛子，甲、乙的付款总额为135元，且甲购买了5斤大果榛子，试问乙购买了多少斤大果榛子？
解：（1）根据题意，，，
，.
（2）由（1），，，所以，则甲选择方案二购买，花费91元，
则乙花费元，
若乙按照方案一购买，则，解得或，又，
，即乙可以购买2斤大果榛子，
若乙按照方案二购买，则，解得，
所以乙应该按照方案一购买，乙购买2斤大果榛子.
18. 已知函数，的定义域均为0,4．

（1）请在所给图中画出的图像；
（2）若不等式的解集为0,4，求a的取值范围；
（3）讨论函数的零点个数．
解：（1）由题意知，
所以其函数图象如下所示：

（2）因为不等式的解集为0,4，所以在上恒成立，
函数图象的对称轴为：，函数和的图象如下：

所以，由图可知：，
故的取值范围为：.
（3）因为，所以函数和图象的交点个数即为函数hx的零点个数，
由（2）可知，①当，或时，
函数和图象的交点个数为0，此时函数hx的零点个数为0，
此时或，
②当，且时，
函数和图象的交点个数为2，此时函数hx的零点个数为2，
此时，
③当，即时，
函数和图象的交点个数为1，此时函数hx的零点个数为1，
综上所述：当或时，函数hx的零点个数为0；
当时，函数hx的零点个数为1；
当时，函数hx的零点个数为2.
19. 已知函数的定义域为D，若对任意（，），都有，则称为的一个“n倍区间”．
（1）判断是否是函数的一个“倍区间”，并说明理由；
（2）若是函数的“2倍区间”，求m的取值范围；
（3）已知函数满足对任意，且，都有，且，证明：（）是的一个“3倍区间”．
（1）解：由题意可得，当时，，此时倍区间为，
但，所以不是函数的一个“倍区间”，
（2）解：由题意可得当时，，
因为，
所以，即，
所以m的取值范围为，
（3）证明：当时，由，得，
当时，由，得，
所以在为单调递增函数，所以在上的值域为，
当时，，得，
即，
当时，，得，
即，
设，则当时，，当时，，
所以在上单调递减，
因为，所以，即，
得，
所以，所以（）是的一个“3倍区间”.
x
-2
-1
0
2
y
3
2
1
0