湖北省咸宁市2024年中考二模数学试卷（解析版）

这是一份湖北省咸宁市2024年中考二模数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中．如果把收入50元记作元，那么支出50元记作（ ）
A. 元B. 元
C. 0元D. 元
【答案】A
【解析】∵收入50元记作元，∴支出50元记作元，
故选：A．
2. 环保全称环境保护，是指人类为解决现实的或潜在的环境问题，协调人类与环境的关系，保障经济、社会的持续发展而采取的各种行动的总称．下列环保标志中，既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A．轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A、原计算错误，不符合题意；
B、正确，符合题意；
C、原计算错误，不符合题意；
D、原计算错误，不符合题意；
故选：B．
4. 若是方程的两个根，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】方程中的，
是方程的两个根，
，，
故选：A．
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 抽样调查的样本容量越小，对总体的估计就越准确
B. 调查全国中学生的视力情况，适合采用普查的方式
C. “任意画一个三角形，其内角和为”是必然事件
D. 天气预报明天下雨的概率为，则明天一定会下雨
【答案】C
【解析】A．抽样调查的样本容量越大，对总体的估计就越准确，不符合题意；
B．调查全国中学生的视力情况，适合采用抽样调查的方式，不符合题意；
C．“任意画一个三角形，其内角和为”是必然事件，符合题意；
D．天气预报明天下雨的概率为，该事件不是必然事件，说明明天不一定会下雨，不符合题意．
故选：C．
6. 将一把直尺和一块含和角的三角板按如图所示的位置放置，如果，那么的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意知，
∴，
∵，
∴，
故选A．
7. 如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于为长的半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点，若，为上一动点，则的最小值为（ ）
A. 无法确定B. C. 1D. 2
【答案】C
【解析】由题意可知，当GP⊥AB时，GP的值最小，
根据尺规作图的方法可知，GB是∠ABC的角平分线，
∵∠C=90°，∴当GP⊥AB时，GP=CG=1，
故答案为：C．
8. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，根据图象可知，下列说法正确的是（ ）
A. 与的函数关系式是
B. 当时，
C. 当时，
D. 当电阻越大时，蓄电池的电流也越大
【答案】A
【解析】设反比例函数的解析式为：，其中，将点代入，
得：，解得：，即该反比例函数的解析式为：，故A正确；
当时，则，故B错误；
由图像可知，当时，，故C错误；
因为电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，
所以当电阻越大时，蓄电池的电流越小，故D错误；
故选：A．
9. 图（1）是一个长为2a，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小完全相同的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是（ ）

A. abB. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可得，正方形的边长为（a+b），故正方形的面积为（a+b）2．
又∵原矩形的面积为4ab，
∴中间空的部分的面积=（a+b）2-4ab=（a-b）2．
故选C．
10. 二次函数的图象如图所示，有下列结论：①，②，③，④ ，⑤ 其中正确的个数有（ ）
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个
【答案】C
【解析】①由抛物线开口向下，可得a＜0，故正确；
②根据a、b的符合与对称轴的位置关系：左同右异，对称轴在y轴右侧故a、b符合相反，可得b＞0，故错误；
③由抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上，可得c＞0，故正确；
④将x=1代入函数关系式中得：，由图像可知，当x=1时，y＞0即故错误；
⑤有图像可知抛物线的对称轴为直线，所以，整理得：，故正确.
故选C.
二、填空题（共5题，每题3分，共15分）
11. 函数中，自变量的取值范围是_____．
【答案】
【解析】依题意，得，
解得：，
故答案为．
12. 在一次函数中，y随x的增大而减小，则k的值可以是____（任写一个符合条件的数即可）．
【答案】1
【解析】∵在一次函数中，随的增大而减小，
，解得：．∴值可以为1．
故答案为：1(答案不唯一)．
13. 一只昆虫在如图所示的树枝上寻觅食物，假定昆虫在每个岔路口都会随机选择一条路径，则它获取食物的概率是___．
【答案】
【解析】根据树状图，蚂蚁获取食物的概率是=．
14. 如图，已知菱形的顶点，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转，则第秒时，菱形的对角线交点D的坐标为____．
【答案】
【解析】∵菱形的顶点，
∴D点坐标为.
∵每秒旋转，则第100秒时，得周，
∴旋转了周，即旋转12周后，又逆时针旋转了，
即此时的点D和起始位置的点D关于原点中心对称，
∴第100秒时菱形的对角线交点D的坐标为：，
故答案为：.
15. 在中，，D是的中点，，沿折叠，使点B落在同一平面内的点E处，交于点F，连接，，若，则____．
【答案】
【解析】连接交于点，
由折叠的性质知垂直平分，即G是的中点，又D是的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
设，则，，
∵，∴，
∵，∴，
又，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，，∴，
∴，即，∴，
整理得，即，
∴，∴．
三、解答题（共9题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 化简：.
解：原式．
17. 如图，，点E，F在上，．判断四边形的形状，并证明你的结论．
解：四边形为平行四边形，
证明：连接，与相交于点O，
∵，，
∴四边形为平行四边形．
∴，，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形．
18. 数学兴趣小组到风景名胜区测量一座塑像的高度．如图所示，塑像在高的小山上，在A处测得塑像底部E的仰角为，再沿方向前进到达B处，测得塑像顶部D的仰角为，求塑像的高度．（精确到，参考数据：，，）
解：，，，
，，
，，
在中，，，
，
答：塑像的高度约为．
19. 为了了解学生寒假期间居家劳动的情况，某中学对该校名七年级学生和名八年级学生的寒假期间平均每天居家劳动时间进行了调查，现从中各随机抽取名学生的平均每天居家劳动时间进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
[收集数据]七年级名学生的平均每天居家劳动时间为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
[整理数据]八年级20名学生平均每天居家劳动时间的统计图如下：
[分析数据]两组数据的平均数、众数、中位数、方差如下表：
[应用数据]根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查属于_______调查(填“全面”或“抽样”)；
（2）统计表中，______，_____；
（3）补全条形统计图(只补全图形，不需要计算过程)；
（4）在这次调查过程中，学生平均每天居家劳动时间波动较大的是______年级(填“七”或“八”)；
（5）估计该校七八年级学生寒假期间每天劳动时间不低于的学生共有_____人．
解：（1）根据题意可知，本次调查属于抽样调查；
（2）八年级劳动时间为的人数为（人），
所以中位数
七年级劳动时间的众数；
故答案为：，；
（3）补全条形统计图如下：
（4），
在这次调查过程中，学生平均每天居家劳动时间波动较大的是七年级；
故答案为：七；
（5）估计该校七八年级学生寒假期间每天劳动时间不低于的学生共有（人）；
20. 如图，一次函数图像与反比例函数图像交于点，，与轴交于点，与轴交于点．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）点在轴上，若，求点的坐标．
解：（1）设反比例函数解析式为，
将代入，可得，解得，
∴反比例函数的解析式为，
把代入，可得，
解得，经检验，是方程的解，
∴，
设一次函数的解析式为，
将，代入，
可得，解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）对于直线，
当时，可得，解得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴点的坐标为或．
21. 已知为的直径，与相切于点A，弦于点M，．
（1）求证：为的切线；
（2）若，，求图中阴影部分面积．
（1）证明：连接，．
与相切于点A，
，
，，，
．
，
为半径，
为的切线．
（2）解：与相切于点A，
，
，，
，
，
，
在中，，
∴
于点M，，
在利中，
，，，
．
，
．
22. 甲、乙两名同学进行羽毛球比赛，羽毛球发出并飞行一段距离后，其飞行路线可以看作是抛物线的一部分．如图建立平面直角坐标系，羽毛球从点O的正上方发出，飞行过程中羽毛球与地面的垂直高度y(单位：)与水平距离x(单位：)之间近似满足二次函数关系．
比赛中，甲同学某次发球时如图1，羽毛球飞出一段距离后，抛物线部分的飞行高度y与此时水平距离x的对应七组数据如下：
根据以上数据，回答下列问题：
（1）①当羽毛球飞行到最高点时，距地面_______，此时水平距离是________；
②在水平距离处，放置一个高的球网，羽毛球______(填“是”或“否”)可以过网；
（2）求出y与x的函数解析式；
（3）若甲发球过网后，乙在羽毛球飞行的水平距离为的点Q处接住球(如图2)．此时如果乙选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系．如果乙选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系．上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到O点的距离更远，请通过计算判断乙应选择哪种击球方式更合适．
解：（1）根据表格可知：当水平距离和时，竖直高度相等，
∴对称轴为直线，
结合表格可知，当时，函数值y随着x的增大而增加；
当时，函数值y随着x的增大而减小，
∴当时，，
即当羽毛球飞行到最高点时，距地面，此时水平距离是；
∵当时，，，
∴羽毛球是可以过网；
故答案为：①4.2，4；②是；
（2）由（1）可知：当时，，
设y与x的函数解析式为：，
将代入得：，
解得：，
∴y与x的函数解析式为：；
（3）将代入得：，
∴击球点的高度为，乙击球后的轨迹都要经过点，
将点代入得：，
解得：，
∴选择扣球，则y与x的关系式为：，
令，解得：，
即球的落地点到O点的距离为；
将点代入得：，
解得：，
∴选择吊球，则y与x的关系式为：，
令，解得：，(舍去)
即球的落地点到O点的距离为；
∵，
∴要使球的落地点到O点的距离更远，请通过计算判断乙应选择吊球更合适．
23. 综合探究：在中，，把绕点逆时针旋转适当的角度得到，连接对应点，和，交于点．
（1）如图1，当点落在边上时，证明：；
（2）如图2，当点不落在边上时，，交于点，请探究是否还成立？写出探究过程；
（3）如图3，在（2）的条件下，当时，时，若，求的长．
（1）证明：根据题意，把绕点逆时针旋转适当的角度得到，
∴，，，
∴，，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如下图，过点作交的延长线于点，连接，
∴，
∵由旋转可知，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴；
（3）解：连接，如下图，
由旋转的性质可得，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴可设，，
则，，，，
∴，
∵
∴，∴，
由（2）知，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴在中，可有，
即，解得，
∴．
24. 在平面直角坐标系中，抛物线（b，c是常数）与x轴交于点和点B，与y轴交于点，P为直线下方抛物线上的动点（不与点C重合），与y轴交于点E，与交于点D．设点P的横坐标为m．

（1）求抛物线解析式及点B的坐标；
（2）若，求点P的坐标；
（3）设面积为，的面积为，是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
解：（1）将，代入得：，，
解得：，，
∴抛物线解析式为，
令，
解得，．
∴点B的坐标为．
（2）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
在中，，
∴，
解得，，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
代入，得，解得：，
∴直线解析式为，
联立，解得（舍），，
∴；

（3）设点，过点P作轴于点F．

∴，
∵，∴，即，
∴，∵，
∴
，
∵，∴当时，有最大值．年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
八年级
水平距离
2
3
3.5
4
4.5
5
6
…
竖直高度
3.4
4
4.15
4.2
4.15
4
3.4
…