2024-2025学年浙江省北斗星盟高二下学期阶段性联考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年浙江省北斗星盟高二下学期阶段性联考数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设i为虚数单位，若复数z=(a2−5a+6)+(a−2)i是纯虚数，则实数a的值为( )
A. 2B. 3C. 5D. 2或3
2.定义集合A、B的“对称差集”：A△B={x|x∈A∪B且x∉A∩B}.已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，C={4,5}，下列结论正确的是( )
A. A△B={1,4}B. A△⌀=⌀
C. (A△B)△C≠A△(B△C)D. 若A△B=A，则B≠⌀
3.命题p：函数f(x)=sin(2x+φ)的图象关于直线x=π3对称；命题q：φ=5π6+2kπ，k∈Z.则p是q的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知m，n为空间中不重合的直线，α、β、γ为不重合的平面，下列命题正确的是( )
A. 若m//β，α∩β=n，则m//n B. 若α//β，m⊂α，则m//β
C. 若α⊥γ，β⊥γ，则α//β D. 若α∩γ=a，β∩γ=b，a//b，则α//β
5.已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2=30°，PF1= 3PF2，则C的离心率为( )
A. 1+ 3B. 1+ 32C. 12+ 3D. 1+ 32
6.在空间四边形ABCD中，M、N分别是AB、CD的中点，且AB⊥AD，CB⊥CD.设AB=a，AC=b，AD=c，则下列结论正确的是( )
A. MN=12(a+c−b) B. MN=12(b+a−c) C. c⋅(b+a)=c2 D. b⋅(c+a)=b2
7.杭州“六小龙”企业(宇树科技、深度求索、游戏科学、群核科技、强脑科技、云深处科技)在科技领域大放异彩．现从这6家企业中选出4家，分别派往A、B、C、D四个不同的科技交流活动进行成果展示，且必须同时满足条件：①宇树科技和深度求索中至少有一家被选中；②若宇树科技被选中，则必须去A活动，若深度求索被选中，则不能去D活动．则不同的安排方式种数是( )
A. 96B. 120C. 240D. 336
8.已知连续型随机变量ξ服从正态分布N(1,4)，记函数f(x)=P(ξ≥x)，则f(x)的图象( )
A. 关于直线x=1对称B. 关于直线x=2对称
C. 关于点1,12成中心对称D. 关于点2,12成中心对称
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列an=2n−1的前n项和为Sn，数列bn=2an+1的前n项和为Tn，则下列说法正确的是( )
A. S2+S4=S6 B. 3S4−S2=S6 C. T2⋅T6=T42 D. T22+T42=T2T4+T6
10.已知P1x1,y1，P2x2,y2是曲线C：xy(xy−1)=2上的两个动点，则( )
A. 曲线C是中心对称图形
B. 曲线C有且只有两条渐近线
C. 若P1，P2分别在第二象限和第四象限，则|P1P2|的最小值为2
D. 曲线C和圆E：x2+y2=4恰好有6个公共点
11.甲、乙两人进行象棋比赛，赛前每人发3枚筹码．一局后负的一方，需将自己的一枚筹码给对方；若平局，双方的筹码不动，当一方无筹码时，比赛结束，另一方最终获胜．由以往两人的比赛结果可知，在一局中甲胜的概率为0.3，乙胜的概率为0.2.用Pi(i=0,1,…,6)表示“在甲所得筹码为i枚时，最终甲获胜的概率”，则( )
A. 第一局比赛后甲的筹码个数记为X，则期望E(X)=3.1 B. 四局比赛后，比赛结束的概率为0.0405
C. P0+P6=1 D. P6−P1=23(P5−P0)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若3sinπ2−β−sinβ= 10，则tanβ=__________．
13.(x2+2x−3)4的展开式中x3的系数为__________．
14.已知不等式ex−csx+ax2−ax≥0对任意实数x都成立，则实数a的值为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某社区卫生服务中心为分析居民的健康状况，对辖区内200位居民进行了抽样调查．
表1
表2
表3
(1)从200位居民中随机抽取5名，记录其每周运动时间x(小时)与健康指数y，数据见表1.求运动时间与健康指数的一元线性回归方程y=bx+a，并计算运动时间为7小时的居民健康指数的残差．
(2)为研究性别与是否患有慢性病的关系，统计得到200位居民的数据如表2所示．根据小概率值α=0.05(表3)的独立性检验，推断性别与是否患有慢性病是否有关联．
附：b=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2，a=y−bx；χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d．
16.(本小题15分)
在△ABC中，AC=AD=CD=3，BD=5，将△ACD绕着CD旋转得到三棱锥A1−BCD．
(1)求三棱锥A1−BCD体积的最大值．
(2)若面A1CD⊥面BCD，求平面A1BD与平面BCD夹角的余弦值．
17.(本小题15分)
已知Px0,y0是函数f(x)=2xlnx+ax(a>0)图象上的点．
(1)当a=1时，求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程．
(2)若x0=1，点P处的切线l与曲线y=f(x)有且仅有一个公共点，求实数a的取值范围．
18.(本小题17分)
设A，B两点的坐标分别为(−2,0)，(2,0)，直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积为−34，设点P的轨迹为曲线E．
(1)求曲线E的标准方程；
(2)若直线l过点Q(1,0)，与曲线E交于C，D两点，C在x轴上方，直线AC，BD交于点M，直线AD，BC交于点N.记A，B到直线l的距离分别为d1，d2．
(ⅰ)证明：9d1+1d2≥4. (ⅱ)求△AMN的面积最小值．
19.(本小题17分)
已知n行n列(n≥2)的数表A=a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮ ⋮an1an2⋯ann 中，对任意的i∈{1,2,…,n}，j∈{1,2,…,n}，都有aij∈{0,1}.若当ast=0时，总有i=1nait+j=1nasj⩾n，则称数表A为典型表，此时记Sn=i=1nj=1naij．
(1)若数表B=001100110，C=1100110000110011，请判断B，C是否为典型表，并说明理由；
(2)当n≥6时，是否存在典型表A使得S6=17，若存在，请写出一个A；若不存在，请说明理由；
(3)记Sn的最小值为Sminn，求i=12n[(−1)iSmini]．
参考答案
1.B
2.A
3.B
4.B
5.D
6.D
7.B
8.C
9.BD
10.ABD
11.ACD
12.−13
13.120
14.1
15.解：(1)由表知x=5，y=80，b=i=1n(xi−x)(yi−y)i=1n(xi−x)2=8.5，a=37.5
所以线性回归方程为y=8.5x+37.5，
运动时间为7小时的居民健康指数的残差y(7)−y(7)=90−97=−7;
(2)零假设H0:居民性别与是否患有慢性病无关联，根据列联表数据，
计算得χ2=200⋅(30⋅80−70⋅20)250⋅150⋅100⋅100=830，
1∘当a≥2时，当0