2024-2025学年天津市滨海新区北京师范大学天津生态城附属学校高二下学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年天津市滨海新区北京师范大学天津生态城附属学校高二下学期期中考试数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列求导运算中正确的是( )
A. (cs2x)′=−2sin2xB. 3x′=x3x−1
C. x+1x′=1+1x2D. (ln2)′=12
2.在研究成对数据的统计相关性时下列说法错误的是( )
A. 样本相关系数为r，则|r|越大，成对样本数据的线性相关程度越强
B. 用最小二乘法得到的经验回归方程y=bx+a一定经过样本点中心(x,y)
C. 用相关指数R2来刻画模型的拟合效果时，若R2越小，则相应模型的拟合效果越好
D. 用残差平方和来刻画模型的拟合效果时，若残差平方和越小，则相应模型的拟合效果越好
3.如图是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象，给出下列命题：
①−2是函数y=f(x)的极值点；
②1是函数y=f(x)的极值点；
③y=f(x)的图象在x=0处切线的斜率小于零；
④函数y=f(x)在区间(−2,2)上单调递增．
则正确命题的序号是
A. ①③B. ②④C. ②③D. ①④
4.设随机变量X的分布列为P(X=i)=ia(i=1,2,3,4)，则P123)=0.3，则P(ξ≥−1)= ．
11.袋子中装有8球，其中6个黑球，2个白球，若依次随机取出2个球，则在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的概率为 ；若随机取出3个球，记取出的球中白球的个数为X，则X的数学期望E(X)= ．
12.二项式x−1xn展开式的各二项式系数之和为128,n= ；该展开式中x3项的系数为 ．
13.甲、乙两射手每次射击击中目标的概率为23和12，且各次射击的结果互不影响．则甲射击3次，击中目标次数的数学期望为 ；甲、乙两射手各射击2次，至少有1人击中目标的概率为 ．
14.某儿童乐园有甲、乙两个游乐场，小王同学第一天去甲、乙两家游乐场游玩的概率分别为0.4和0.6.如果他第一天去甲游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.6；如果第一天去乙游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.5，则小王同学第二天去甲游乐场的概率为 ；若第二天去了乙游乐场，则第一天去甲游乐场的概率为 ；
15.已知函数f(x)=x2−3x+3+aex有且仅有1个零点，则实数a的取值范围为 ．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.电影《志愿军雄兵出击》讲述了在极其简陋的装备和极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神取得入朝作战第一阶段战役的胜利，著名的“松骨峰战斗”.现有3名男生(甲、乙、丙)和4名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．(列出算式，并计算出结果)
(1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？
(2)男生甲坐第一个，女生都不坐最后一个的坐法有多少种？
(3)甲不坐第一个，乙不坐第三个的坐法有多少种？
(4)男生有两人相邻且都不与第三位男生相邻的坐法有多少种？
17.已知函数f(x)=xlnx+ax+2，满足f′(1)=−2．
(1)求实数a的值；
(2)求f(x)的单调区间和极值．
18.如图，正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=2，AA1=3，E，F分别是棱AA1，BB1上的点，A1E=BF=13AA1．

(1)证明：平面CEF⊥平面ACC1A1；
(2)求B1到平面ECF距离；
(3)求直线AC1与平面CFC1夹角余弦值．
19.当前新能源汽车已经走进我们的生活，主要部件是电池，一般地电池的生产工艺和过程条件要去较高，一般一块电池充满电后可连续正常工作的时间(小时)X～N(20,16)，若检测到X≥18则视为产品合格，否则进行维护，维护费用为3万元/块，近一年来由于受极端天气影响，某汽车制造公司技术部门加急对生产的一大批汽车电池随机抽取10个进行抽样检测，结果发现P(X≥22)=0.3．
(1)求出10个样品中有几个不合格产品；
(2)若从10个样品中随机抽取3件，记抽到的不合格产品个数为ξ，求其分布列；
(3)若以样本频率估计总体，从本批次的产品中再抽取200块进行检测，记不合格品的个数为Y，预计会支出多少维护费η元？
20.已知函数f(x)=x(lnx−1),g(x)=ax+b(a,b∈R)．
(1)若a=1时，直线y=g(x)是曲线f(x)的一条切线，求b的值；
(2)b=−3，且f(x)≥g(x)恒成立，求a的取值范围；
(3)令φ(x)=f(x)−g(x)，且φ(x)在区间e,e2上有零点，求a2+4b的最小值．
参考答案
1.A
2.C
3.D
4.C
5.D
6.D
7.B
8.C
9.B
10.0.7
11.27 ； 34
12.7；21
13.2；3536
；823
15.−∞,−3e−3∪−e−2,0
16.【详解】(1)先将4名女生排在一起，有A44种排法，
将排好的女生视为一个整体，再与3名男生进行排列，共有A44种排法，
由分步乘法计数原理，共有A44×A44=24×24=576种排法；
(2)从剩下的2名男生中选一位坐在最后一个座位，有2种排法，
因为男生甲坐第一个，则剩下的5人进行全排列，共有A55种排法，
由分步乘法计数原理，共有2×A55=2×120=240种排法；
(3)7个人全排列，有A77种排法，
甲坐第一个有A66种排法，乙坐第三个有A66种排法，甲坐第一个且乙坐第三个有A55种排法，
所以甲不坐第一个，乙不坐第三个的坐法有A77−2A66+A55=5040−1440+120=3720种排法；
(4)先排4名女生，有A44种排法，
从3名男生中选出2名男生相邻并看成一个整体，有A32种选法，
4名女生排好后产生5个空位，把男生整体和另一名男生插入5个空位中，有A52种插法，
根据分步乘法计数原理，共有A44×A32×A52=24×6×20=2880种坐法．
17.【详解】(1)由题意，f′(x)=lnx+1+a，又f′(1)=ln1+1+a=−2，解得a=−3
(2)由(1)f(x)=xlnx−3x+2，且f′(x)=lnx−2为增函数．
令f′(x)=0可得x=e2，故当0