2024-2025学年上海市宝山区世外学校高二下学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年上海市宝山区世外学校高二下学期期中考试数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设随机变量X∼N1,σ2,P(0b>0)的左､右焦点分别为F1､F2．
(1)以F2为圆心的圆经过椭圆的左焦点F1和上顶点B，求椭圆Γ的离心率；
(2)已知a=5,b=4，设点P是椭圆Γ上一点，且位于x轴的上方，若▵PF1F2是等腰三角形，求点P的坐标；
(3)已知a=2,b= 3，过点F2且倾斜角为π2的直线与椭圆Γ在x轴上方的交点记作A，若动直线l也过点F2且与椭圆Γ交于M､N两点(均不同于A)，是否存在定直线l0:x=x0，使得动直线l与l0的交点C满足直线AM､AC､AN的斜率总是成等差数列？若存在，求常数x0的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.B
2.D
3.B
4.D
5. 1
6.{2,3}
7.12/0.5
8.y=1
9.2
10.1
11.−2
12.4 3
13.101100
14.12/0.5
15.−14,15
16.3−2n+1−2n+2
17.(1)设公差为d，则2a6−a3=2a1+10d−a1−2d=a1+8d=9，
S5=5a1+10d=15，
解得a1=d=1，故an=1+n−1=n；
Sn=n+n(n−1)2=n2+n2；
(2)bn=(n+1)⋅2n，
故Tn=2×2+3×22+4×23+⋯+(n+1)⋅2n①，
则2Tn=2×22+3×23+4×24+⋯+(n+1)⋅2n+1②，
式子①−②得−Tn=4+22+23+⋯+2n−(n+1)⋅2n+1=4+4−2n+11−2−(n+1)⋅2n+1
=−n⋅2n+1，
所以Tn=n⋅2n+1．

18.(1)∵AC⊥BC,DE//BC,∴DE⊥AC，CD⊥DE，A1D⊥DE，
又CD,A1D⊂平面A1CD，CD∩A1D=D，∴DE⊥平面A1CD，
又A1C⊂平面A1CD，∴A1C⊥DE，
又∵A1C⊥CD，CD∩DE=D，CD,DE⊂平面BCDE，
∴A1C⊥平面BCDE．
(2)如图：

以C为坐标原点，建立空间直角坐标系C−xyz，
在▵ABC中，因BC=3,AC=6，DE//BC,DE=2，则ADAC=DEBC，即AD6=23，得AD=4，CD=2，
则在Rt▵A1DC中，A1C= 16−4=2 3，
则A10,0,2 3,C(0,0,0),D(−2,0,0)，B(0,3,0),E(−2,2,0)，
∴A1B=0,3,−2 3,A1E=−2,2,−2 3，
设平面A1BE法向量为n=(x,y,z)，
则A1B⋅n=0A1E⋅n=0，可得：3y−2 3z=0−2x+2y−2 3z=0,
取y=2，可得z= 3,x=−1，∴n=−1,2, 3，
∵M−1,0, 3,∴MB=1,3,− 3，
则MB⋅nn=22 2= 22，
即点M到平面A1BE的距离 22．

19.(1)设M事件为“抽取出来混放在一起的零件来自甲工厂”，
事件N为“抽取出来混放在一起的零件来自乙工厂”，
事件C为“混放在一起的某一个零件为合格品”，
则P(M)=mm+n,P(N)=nm+n，
P(C)=P(C|M)P(M)+P(C|N)P(N)=94％×mm+n+98％×nm+n=97％．
即0.94×mm+n+0.98×nm+n=0.97．
得0.94m+0.98n=0.97(m+n).即0.01n=0.03m，
所以3m=n
(2)由n=3m可知，零件来自甲工厂的概率为mm+n=mm+3m=14，来自乙工厂的概率为1−14=34．
X表示这3个零件中来自甲工厂的个数，则X服从参数为n=3，p=14的二项分布，即X～B(3,14)．
则P(X=k)=C3k(14)k(1−14)3−k，k=0,1,2,3．
当k=0时，P(X=0)=C30(14)0(1−14)3−0=1×1×(34)3=2764；
当k=1时，P(X=1)=C31(14)1(1−14)3−1=3×14×(34)2=2764；
当k=2时，P(X=2)=C32(14)2(1−14)3−2=3×(14)2×34=964；
当k=3时，P(X=3)=C33(14)3(1−14)3−3=1×(14)3×1=164．
所以X的分布列为：
则E(X)=np，所以期望为E(X)=3×14=34，
方差为D(X)=3×14×(1−14)=3×14×34=916．

20.(1)x>0，f′(x)=(x−1)exx2
当x∈(0,1)，f′(x)0，f(x)单调递增，
f(x)min=f(1)=e；
(2)方程f(x)=x+1x2可化简为ex−1x−1=0，
方程ex−1x−1=0的根就是函数g(x)=ex−1x−1的零点，
由解析式易知g(x)=ex−1x−1在(−∞,0)，(0,+∞)上单调递增，
因为g−32=e−32−130,
所以函数g(x)在(−∞,0)有唯一零点x1，且x1∈−32,−1，
因为g12= e−30，所以函数g(x)在(0,+∞)有唯一零点x2，所以有且仅有一正一负根．
(3)设ℎ(x)=f(x)−ax+alnx−(e−1)，
则当x>0时ℎ(x)≥0恒成立，
ℎ′(x)=(x−1)exx2−a+ax=(x−1)(ex−ax)x2
①由(1)得exx≥e，ex≥ex
当a≤e时，ex−ax≥ex−ex≥0
x∈(0,1)，ℎ′(x)0，f(x)单调递增，
ℎ(x)≥ℎ(1)=e−a−(e−1)=1−a≥0.∴a≤1
②当a>e时，ℎ(1)=1−a