初中数学浙教版（2024）八年级下册一元二次方程同步训练题

这是一份初中数学浙教版（2024）八年级下册一元二次方程同步训练题，共10页。
【学习目标】
1. 掌握直接开平方法解方程，会应用此判定方法解决有关问题；
2．理解解法中的降次思想，直接开平方法中的分类讨论与换元思想.
【要点梳理】
直接开平方法解一元二次方程
如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如的方程，根据平方根的定义可解得；
直接开平方法适用于解形如或形式的方程，可以利用直接开平方法；
用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根；
直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。
【典型例题】
类型一、解一元二次方程➽➼直接开平方法
1． 用开平方法解下列方程：
；(2) ；(3) ；(4) ．
【答案】(1) (2) (3)
【分析】（1）利用直接开平方法解一元二次方程；
（2）利用直接开平方法解一元二次方程；
（3）利用直接开平方法解一元二次方程；
（4）利用直接开平方法解一元二次方程即可求解．
（1）解：，
，
即；
（2）解：，
即，
∴，
即；
（3）解：，
即，
∴，
即；
（4）解：，
∴，
∴，
解得：．
【点拨】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
举一反三：
【变式1】解方程：
(2)
【答案】(1)，(2)，
【分析】（1）用开平方法解一元二次方程即可
（2）用开平方法解一元二次方程即可
解：（1）∵，
∴，
∴，
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
【点拨】此题考查了用开平方法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解决此题的关键．
【变式2】 求下列各式中的x：
；(2) ．
【答案】(1)(2)，
【分析】（1）首先把二次项系数化1，再方程两边开平方，计算即可；
（2）首先把二次项系数化1，再方程两边开平方，计算即可．
解：（1）∵，
∴二次项系数化1，可得：，
方程两边开平方，可得：；
（2）∵，
∴，
∴，
解得：，．
【点拨】本题主要考查了利用开平方法解一元二次方程，熟练掌握并学会灵活变形是解题关键．
2． 解方程：
(2) ．
【答案】(1) ，(2) ，
【分析】（1）先移项，写成的形式，然后利用数的开方解答．
（2）方程两边直接开方，再按解一元一次方程的方法求解．
（1）解：移项得，，
开方得，，
解得，．
（2）方程两边直接开方得：
，或，
∴，或，
解得：，．
【点拨】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“利用直接开平方法解一元二次方程”是解本题的关键．
举一反三：
【变式1】 解方程
(2)
【答案】(1)(2)，
【分析】（1）首先移项、方程两边同乘以，然后方程两边开立方，计算即可；
（2）首先去分母、移项，然后方程两边开平方，计算即可．
（1）解：
移项、可得：，
方程两边同乘以，可得：，
方程两边开立方，可得：，
∴；
（2）解：
去分母，可得：，
移项，可得：，
方程两边开平方，可得：，
于是得：或，
∴，．
【点拨】本题考查了解一元二次方程、立方根的定义、平方根的定义，根据方程的特点灵活运用合适的方法求解是解本题的关键．解一元二次方程的基本思路是：将二次方程转化为一次方程，即降次．
【变式2】 解下列方程：
(2x﹣3)2=9(2) (3x﹣1)2=(x+1)2．
【答案】(1)x1=3，x2=0；(2)x1=1，x2=0
【分析】（1）直接开方即可求解；（2）直接开方即可求解．
解：(1)直接开平方，得：2x-3=±3，
∴2x-3=3或2x-3=-3，
∴x1=3，x2=0；
(2)直接开平方，得：3x-1=x+1，或3x-1=-(x+1)，
∴2x=2，或4x=0，
解得：x1=1，x2=0．
【点拨】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，理解平方根的含义是解答本题的关键．
类型二、解一元二次方程➽➼直接开平方法➽➼应用
3． 我们把形如x2=a（其中a是常数且a≥0）这样的方程叫做x的完全平方方程．
如x2=9，（3x﹣2）2=25，…都是完全平方方程．
那么如何求解完全平方方程呢？
探究思路：
我们可以利用“乘方运算”把二次方程转化为一次方程进行求解．
如：解完全平方方程x2=9的思路是：由（+3）2=9，（﹣3）2=9可得x1=3，x2=﹣3．
解决问题：
（1）解方程：（3x﹣2）2=25．
解题思路：我们只要把 3x﹣2 看成一个整体就可以利用乘方运算进一步求解方程了．
解：根据乘方运算，得3x﹣2=5 或 3x﹣2= ．
分别解这两个一元一次方程，得x1=，x2=﹣1．
（2）解方程．
【答案】（1）﹣5； （2）x1=，x2=．
【分析】（1）根据乘方运算求解；
（2）根据题意给出的思路即可求出答案．
解：（1）3x﹣2=﹣5，
（2）根据乘方运算，
得
∴x1=，x2=．
【点拨】考查一元二次方程的解法，解题的关键是正理解题意.
举一反三：
【变式】 嘉嘉和琪琪用图中的、、、四张带有运算的卡片，做一个“我说你算”的数学游戏，规则如下：嘉嘉说一个数，并对这个数按这四张带有运算的卡片排列出一个运算顺序，然后琪琪根据这个运算顺序列式计算，并说出计算结果．例如，嘉嘉说2，对2按的顺序运算，则琪琪列式计算得：．
（1）嘉嘉说-2，对-2按的顺序运算，请列式并计算结果；
（2）嘉嘉说，对按的顺序运算后，琪琪得到的数恰好等于12，求．
【答案】（1），；（2）嘉嘉出的数是1或3．
【分析】（1）根据题意，可以写出相应的算式，然后计算即可；
（2）根据题意，可以得到关于x的方程，然后解方程即可．
解：（1）
.
（2）根据题意得
，
，
，
，.
为整数，嘉嘉出的数是1或3.
【点拨】本题考查有理数的混合运算、解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的算式，求出x的值．
4． 提出问题：
我们把形如（其中a是常数且）这样的方程叫做x的完全平方方程．
如：，，…都是完全平方方程．
那么如何求解完全平方方程呢？
探究思路：
我们可以利用“乘方运算”把二次方程转化为一次方程进行求解．
如：解完全平方方程的思路是：由，，可得，．
解决问题：
填空：解方程：．
解题思路：我们只要把看成一个整体就可以利用乘方运算进一步求解方程了．
解：根据乘方运算，得或_______．
分别解这两个一元一次方程，得_____，______．
解方程．
【答案】(1)－5，， (2)，
【分析】（1）根据乘方运算求解即可；
（2）根据题中给出的解题思路求解即可．
（1）解：∵，，又∵，解得，解得故答案为：－5，，．
（2）（2）解：两边同时除以3得：．根据乘方运算，得：或 分别解这两个一元一次方程，得，
【点拨】考查一元二次方程的解法，解题的关键是正确理解题意．
举一反三：
【变式】 （2022·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）解方程：
【答案】，
【分析】直接开方可得或，然后计算求解即可．
解：∵
∴或
解得，．
【点拨】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程．
类型三、解一元二次方程➽➼直接开平方法➽➼中考真题
5． （2019·安徽·统考中考真题）解方程：
【答案】x=-1或x=3
【分析】本题利用直接开平方法即可求出答案．
解：x-1=±2，
x-1= 2或x-1=-2，
解得：x=-1或x=3．
【点拨】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，能够根据方程特点选取不同的解法是解题关键．
举一反三：
【变式】 （2008·浙江温州·中考真题）我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法，开平方法，配方法和公式法．请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程．
①；②；③；④．
【答案】①；②；③，；④．
【分析】①利用公式法求解即可．②利用直接开平方法求解即可．③利用因式分解法求解即可；④利用配方法求解即可；
解：①；
∵a=1，b=-3，c=1，
∴△=（-3）2-4×1×1=5＞0，
∴,即；
②；
∴x-1=
∴，
③；
∴x（x-3）=0
∴x=0或x=3
∴，；
④
∴
∴；
∴
∴