湖北省宜昌市部分示范高中2024-2025学年高二下学期期中联合考试数学试卷（解析版）

这是一份湖北省宜昌市部分示范高中2024-2025学年高二下学期期中联合考试数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交，
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1. 已知直线，点和点，若，则实数的值为（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】B
【解析】，由于，则直线的斜率为
即，
故选：B
2. 二项式的展开式中，的系数等于（ ）
A. 60B. C. 240D.
【答案】A
【解析】展开式通项为，
令，解得：，所以的系数等于,
故选：A
3. 在数列中，，若为等差数列，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由为等差数列得，解得.
故选：A
4. 曲线在处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以，
则当时，，，
故曲线在处的切线方程为，
即．
故选：D
5. 现要用种不同颜色对如图所示的五个区域进行涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方法共有（ ）

A. 180种B. 192种C. 300种D. 420种
【答案】D
【解析】先涂区域有种选择，再涂区域有种选择，然后涂区域有种选择，
若区域与区域同色，此时区域有种选择，
若区域与区域不同色，则区域有种选择，区域有种选择，
故有种涂色方法.
故选：D
6. 设等比数列中，，使函数在时取得极值，则的值是（ ）
A. 或B. 或
C. D.
【答案】D
【解析】由题意，
因为在时取得极值，
所以，
解得或，
当，时，
，
所以在上单调递增，不合题意，
当，时，
，
所以时，，
时，，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
所以当时取得极小值，满足题意，
所以，又，，同号，所以.
故选：.
7. 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，双曲线的两条渐近线分别交椭圆于A、C和B、D四点，若多边形为正六边形，则椭圆与双曲线的离心率之和为（ ）

A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】∵多边形为正六边形，设边长为，
∴，
，
故选：C．
8. 如图，已知在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，是以为斜边的等腰直角三角形，平面，点是线段上的动点（不含端点），若线段上存在点（不含端点），使得异面直线与成的角，则线段长度的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】如图，取中点，连接，因平面，平面，
故平面平面，
因是以为斜边的等腰直角三角形，
故，又平面，且平面平面，
所以平面，
如图分别以和过点与平行的直线为轴建立空间直角坐标系.
则，
设，设，
故，得
又因为，且异面直线与成的角，
故，即
即因则有，
则故得.故选：B.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 如图所示，在长方体中，若，E、F分别是、的中点，则下列结论中一定成立的是（ ）

A. EF与垂直
B. EF与所成的角大小为
C. EF与平面所成角大小为
D. 直线EF与平面平行
【答案】ACD
【解析】如图所示：

A. 连接，则，由 平面，平面，则 ，所以，故A正确；
B. 由选项A知：EF与所成的角为，因为长度不定，
所以EF与所成的角不确定，故错误；
C. 易知平面，则平面，
所以EF与平面所成角大小为，故正确；
D.由选项A知：，且平面，平面，
所以直线EF与平面平行，故正确，
故选：ACD
10. 关于多项式的展开式，下列结论正确的是（ ）
A. 各项系数之和为1
B. 各项系数的绝对值之和为
C. 常数项为140
D. 的系数为40
【答案】BD
【解析】对于A，令，可得各项系数之和为，故A错误；
对于B，多项式的展开式各项系数的绝对值之和与多项式的展开式各项系数之和相等，
在多项式中，
令，可得各项系数之和为，故B正确；
对于C，的展开式的通项公式为，
的展开式的通项公式为
，
令，则有4种情况：
当时，该项为；
当时，该项为；
当时，该项为；
当时，该项为.
故常数项，故C错误；
对于D，令，结合，则有，
解得或，
当时，该项为；当时，该项为，
所以，系数为，故D正确.
故选：BD.
11.已知数列和满足，，，.则（ ）
A. B. 数列是等比数列
C. 数列是等差数列D.
【答案】BCD
【解析】对A选项，令，则，，
则，则，则，则A错误，
对B选项，由题意中两式相加得，故B正确，
对C选项，由题意中两式作差得，
即，则C正确，
对D选项，由B得，，
两式相加得，
则，
则
若，显然，则成立,
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 将5名同学安排到3个小区参加创建文明城市宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有______种．（用数字作答）
【答案】150
【解析】将5名同学安排到3个小区参加创建文明城市宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，分组方法有（113），（122）两种分法，
当分成（113）时，有种安排方法；
当分成（122）时，有种安排方法；
综上，共有150种安排方法.
故答案为：150
13.若圆与直线相交于点A，B,且，则k的值为______．
【答案】
【解析】由得，，
圆心，半径，
所以，又，
所以圆心到直线的距离为，解得，
故答案为：．
14. 已知函数，若关于的方程恰有四个不同的解，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】设，
则在是偶函数，
当时，，
由得，
记，
，，
故函数在增，而，
所以在减，在增，，
当时，，当时，，
因此的图象为
因此实数的取值范围是.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 某市场上供应的气球中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂生产的气球合格率为90%，乙厂生产的气球合格率为80%．
（1）从该市场上随便购买一个气球，求它是合格产品的概率；
（2）如果小李购买了一个气球是次品，求该气球是甲厂生产的概率．
解：（1）设“气球合格”为事件，“气球是甲厂生产”为事件，“气球是乙厂生产的为事件，
由题可知，，
则．
（2）．
16. 已知数列满足，，为数列的前项和．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）求数列的前项和．
解：（1）对整理有：，等式两边同时除以可得,等式两边再同时减得,即，
又由，可得，故，
则数列是首项为，公比为的等比数列．
（2）由（1）得的通项公式为,得,所以.
（3）由（2）知，
所以
．
17. 如图，在以A、B、C、D、E、F为顶点的六面体中（其中平面），四边形是正方形，平面，且平面平面．
（1）求证：直线平面；
（2）若，求二面角所成角的正弦值．
解：（1）设AB和CD交于点，取BE中点，连接，
，
∵平面平面BDE，平面平面，平面，
平面BDE，
为正方形，，
平面，平面，，
平面平面BDE，故，
又平面平面平面BEF．
（2）、为中点，，，
平面平面，
平面，
四点共面，
平面平面，
，，
为平行四边形，故，
以为原点，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
所以，，
设平面法向量，则，
令，故，
设平面法向量，则，
令，故，
设平面与平面的所成的二面角为，
所以，
所以二面角所成角的正弦值．
18. 已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，求证：．
解：（1）定义域为，
，
令得和-1
①若，则在上恒成立，则在单调递增；
②若，则由解得，解得，
则在上单调递减，在单调递增，
综上所述，时，在单调递增；
时，在上单调递减，在单调递增.
（2）当时，，
欲证，只需证，
即证，
令，
则
又，则，
设，则，则在上单调递增，
又，
所以，使得，即，即，
所以当时，，即，
当时，，即，
所以在单调递减，在上单调递增，
所以
所以，故命题得证.
19. 已知椭圆的右焦点为，右顶点为，离心率为，且点在椭圆上．
（1）求出椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆交于两点，直线分别与轴交于两点，且，试探究直线是否恒过一个定点，若是，求出该定点，若不是，说明理由．
解：（1）因为离心率为，所以，
因为点在椭圆上，所以，
因为，所以解得，
则椭圆C的标准方程为.
（2）①若直线斜率不存在，根据对称性可知为等腰直角三角形，
得到，此时，
则直线，与椭圆方程联立，
解得，故直线过椭圆左焦点，即，
②若直线斜率存，如图，设，
联立方程组，消去得，
由韦达定理可知，
由已知得，且设，
可以求出直线方程为，
令，得到，，
故，又因为，
故，
代入韦达定理得，
求得，即，得到或，
当时，直线过，此时三点重合，不符合题意；
当时，直线方程为，此时直线AB过定点
综上所述：直线过定点．