天津市红桥区2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份天津市红桥区2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（解析版），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：每小题四个选项中只有一个是正确的，请将答案的代号涂在答题卡上．
1. 不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵不等式可化为，解得，
∴不等式的解集是.
故选：C
2. 设全集，集合，，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为，，所以，而，
所以.
故选：C.
3. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为任意，都有，故，则B正确，A错误；但，故C，D错误.
故选：B
4. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】因为存在量词命题的否定为全称量词命题，
所以命题“，”的否定为“，”.
故选：D.
5. “”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由，得，因为，所以由 “”可以推出“”，
但由 “”不能推出“”，即“”是“”的充分不必要条件.
故选：C.
6. 实数满足：，则下列不等式不成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】对A：因为，，所以，故A成立；
对B：因为，，所以，故B成立；
对C：令，，，，则满足，但，，所以不成立，即C不成立；
对D：因为，，所以，故D成立.
故选：C
7. 已知集合，，若，则实数a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意可知：集合，，
由，可知，
若，则，解得；
若，则，解得；
综上所述：实数的取值范围为.
故选：A.
8. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为定义域为，且，所以为偶函数，其图象关于轴对称，故排除选项B、D；
又时，，排除选项C，故选项A正确.
故选：A.
9. 下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为函数为非奇非偶函数，为奇函数，故AC不满足题意；
因为为常数函数，在不是增函数，故B不满足题意；
设，则，则为偶函数，
当时，，则在上为增函数，故D满足题意.
故选：D
10. 甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程与时间的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 甲比乙先出发B. 乙比甲跑的路程多
C. 甲比乙先到达终点D. 甲、乙两人的速度相同
【答案】C
【解析】结合已知条件可知，甲乙同时出发且跑的路程都为，故A，B错误；且当甲乙两人跑的路程为时，甲所用时间比乙少，故甲先到达终点且甲的速度较大，故C正确，D错误.
故选：C.
二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分．请将答案填在答题卡上．
11. 设集合，，则______
【答案】
【解析】因为，，故.
故答案为：
12. 已知集合，，则______．
【答案】
【解析】因为，
所以.
故答案为：
13. 函数的定义域为______．
【答案】
【解析】由或.
所以函数的定义域为：.
故答案为：.
14. 若是偶函数，则________.
【答案】
【解析】由于为偶函数，所以恒成立，
即，整理得恒成立，
所以，即，
所以.
故答案为：.
15. 已知，，且，则的最小值______.
【答案】5
【解析】因为，，且，
所以
，
当且仅当，即时取等号.
故答案为：5.
16. 已知函数，则的单调递增区间为__________.
【答案】
【解析】当时，单调递减；
当时，，在上单调递增，在单调递减；
故答案为：
17. 建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计，而清洁能源的广泛使用将为生态文明建设提供更有力的支撑，沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源，在保护绿水青山方面具有独特功效，通过办沼气带来的农村“厕所革命”，对改善农村人居环境等方面，起到立竿见影的效果，为了积极响应国家推行的“厕所革命”，某农户准备建造一个深为米，容积为立方米的长方体沼气池，如果池底每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为元，沼气池盖子的造价为元，沼气池最低总造价是______元．
【答案】
【解析】因为长方体的体积为立方米，深为米，所以长方体的底面面积为，
设长方体底面长方形较长边为，，则底面长方形的较短的边长为，
所以长方体的池壁的面积为，
设沼气池的总造价为，则
，
由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，
所以当底面为边长为的正方形时，沼气池总造价最低，其值为.
故答案为：.
18. 下列命题中正确的是______．（填写序号）
①“”是“”的充分不必要条件
②若函数在上单调递增，则的取值范围是
③已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则的解析式为
④已知，且，则有最小值
【答案】①④
【解析】对于①，由可以推出，但由推不出，如，满足，但，所以“”是“”的充分不必要条件，故正确；
对于②，因为在上单调递增，所以，解得或，故错误；
对于③，因为函数是定义在上的奇函数，且当时，，
所以当时，，所以，即，
所以，所以，故错误；
对于④，因为，且，所以，
当且仅当时，等号成立；令，则有，解得，即，所以，当且仅当时，等号成立，故正确.
故答案为：①④
三、解答题：本大题共5小题，共46分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案直接答在答题卡上．
19. 求下列不等式的解集.
（1）；
（2）；
（3）.
解：（1）原不等式，解之得，
即不等式的解集为；
（2）原不等式，显然不等式无解，
即不等式的解集为；
（3）原不等式，显然不等式在时恒成立，
即不等式的解集为.
20. 已知函数，且．
（1）写出函数的解析式；
（2）求的值；
（3）若，求实数的值．
解：（1）由于，故，解得，
所以.
（2）， .
（3）当时，，解得，舍去.
当时，，解得或，其中不符合题意，舍去.
综上：
21. 设命题，不等式恒成立；命题，使得不等式成立.
（1）若为真命题，求实数的取值范围；
（2）若命题有且只有一个是真命题，求实数的取值范围.
解：（1），由题意可知，解得；
（2）当为真命题时，对于二次函数，其图象对称轴为，在区间上有，则，
故，成立等价于，
即，
若命题真假，结合（1）可知且，故，
若命题真假，结合（1）可知且，故，
综上，.
22. 某公司生产一类电子芯片，该芯片的年产量不低于10万件又不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元．已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产万件电子芯片需要投入的流动成本为（单位：万元），．假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完．
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润年销售收入固定成本流动成本）
（2）如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？最大年利润是多少？
解：（1）
，.
（2）因为，所以
当且仅当，即时，等号成立
故
答：为使公司获得的年利润最大，每年应生产20万件该芯片，最大年利润是10万元．
23. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．
（1）已知函数的部分图象如图所示，请根据条件将图象补充完整，并写出函数的单调递增区间；
（2）写出函数的解析式；
（3）若关于的方程有4个不相等的实数根，求实数的取值范围；（只需写出结论）
（4）求函数在时的值域．
解：（1）函数的图象如图：
单调递增区间为
（2）因为是定义在上的偶函数，所以.
设，则 ，所以
所以当 时，.
的解析式为.
（3）关于的方程有个不相等的实数根，等价于与的图象有个交点
结合图象可知，当时，与的图象有个交点，所以.
（4）当时，在单调递减，而，最小值为
∴的值域为
当时，在单调上递减，在上单调递增
所以最小值为，
∴的值域为
当时，在单调上递减，在上单调递增
所以最小值为，最大值为
∴的值域为
综上可得的值域为：
当时，值域为；
当，值域为
当时，值域为.