六年级下册数学期末复习体积公式推导专题小卷（含答案与解析）

这是一份六年级下册数学期末复习体积公式推导专题小卷（含答案与解析），共11页。试卷主要包含了圆柱体积的探究，探究与发现等内容，欢迎下载使用。
小亮：
每行摆4个小正方体，摆3行，每层就是12个，摆2层就是24个，列式为4×3×2＝24（个），得到一个长方体。长方体的体积是24个单位体积（小正方体体积）的数量，即长方体的体积等于长×宽×高。
小明：
长方体的体积也可以看作是底面的平移累加：底层的长×宽，再乘层数，即底面积乘高。
你能看懂谁的方法？请你选择自己喜欢的方法求出下面几种茶叶盒的体积。
（1）比一比哪种茶叶盒的体积更大。
列式： 。
号茶叶盒体积更大。
（2）下面几种茶叶盒都是柱体形状，高度都是20cm，你能算一算下面这几种茶叶盒的体积吗？
小明：③号茶叶盒是长方体，可以看作是无数个底面长方形的平移累加。
V＝S低×h、S低＝5×3＝15（cm2）、V＝15×20＝300（cm3）
④号茶叶盒的体积： 。
⑤号茶叶盒的体积： 。
我发现： 。
2．我们知道，圆面积的探究过程为研究圆柱体积提供了依据，是平面图形和立体图形紧密联系的“典范”，相信大家对当时课堂上的探究过程还历历在目，一起来回顾一下吧！
（1）请将如图圆柱体体积公式的探究过程补充完整。（可以用文字，也可以用字母）
（2）研究圆的面积和圆柱体积公式的推导过程，有哪些相同之处？
（3）通过学习我们知道，长方体、正方体和圆柱体都可以用“底面积×高”进行计算，这些立体图形有什么共同的特点？
（4）你觉得如图哪一个立体图形的体积可以用“底面积×高”的方法进行计算，在相应的括号里画”√”。
3．淘气和笑笑利用底面半径是5cm、高是10cm的圆柱来研究圆柱体积计算公式（如图），下面是他们的推导过程：
（1）淘气通过观察图形，认为它的体积可以分三步计算。
第一步：3.14×5＝15.7（cm）第二步：15.7×10＝157（cm2）
请你补充第三步：
（2）笑笑受到启发，换个思路来想，也是分三步计算。
第一步：3.14×5＝15.7（cm）第二步：5×10＝50（cm2）
请你补充第三步：
（3）在推导圆柱的体积公式时，淘气是将圆柱拼成熟悉的图形——长方体进行的，这种学习数学的方法叫“转化”。想一想，我们在学习 时也用到过这样的方法（举一例）。
4．圆柱体积的探究
（1）转化、类推、数形结合是研究数学问题经常用到的数学思想方法，在探索圆柱体积计算公式的过程中，我们就用到了 的数学思想方法。
（2）我们已经熟练掌握长方体和正方体的体积计算方法，这两种立体图形的体积都可以用 计算，我们猜想：圆柱的体积也可以用 来计算。
（3）用自己喜欢的方式开始小组探索，并记录探究过程。
我们小组发现：① ② ③ 。
（4）梳理探索过程发现：借助 体积计算公式可以得出圆柱体积的计算公式，推导过程如下：
5．“转化”是数学中的一种重要策略，运用此策略可以将一个新的图形转化成已经学过的图形。
（1）你能用转化的方法探索圆柱的体积计算公式吗？请你结合图形说一说你的理由。
（2）圆锥体积的计算公式是如何探索的？请说说你的探索过程。
（3）转化还可以把不规则的图形转化成规则的图形。请你用转化的方法求瓶子的容积。已知瓶子的内直径是6cm。说出你的思考过程。
古希腊的阿基米德是历史上杰出的数学家，在他众多的科学发现中，他自己最为满意的是“圆柱容球定理”。“圆柱容球”就是把一个球放入一个圆柱形容器中，盖上容器盖后，球恰好与圆柱的上底面、下底面及侧面紧密接触。这个球的直径与圆柱的高、底面直径相等。在圆柱容球中，球的体积是圆柱体积的23，球的表面积也是圆柱表面积的23。
（1）请你计算如图1所示圆柱容球中球的体积。
（2）明明由“圆柱容球”联想到“正方体容圆柱”。把圆柱体放入一个正方体容器中，盖好容器盖后，圆柱体的上下底面及侧面与正方体的上下底面及侧面紧密接触，这时圆柱的高、底面直径与正方体棱长 。假设正方体的棱长是1cm，请你求出如图2所示圆柱的体积。
7．探究与发现。（计算时圆周率用字母π表示）
有一个棱长为2a分米的正方体木块，它的表面积可表示为 dm2，体积可表示为 dm3，把它切削成一个最大的圆柱（正方体容圆柱），这个圆柱的底面半径是 dm，高是 dm，通过底面半径和高我可以分别求出它的表面积为是 dm2，体积是 dm3。
这时我可以求出这个圆柱体和正方体木块的表面积比为 ，体积比为 ，我发现这两个比的比值 。
如果再把这个圆柱体木块切削成一个最大的球，你知道它们之间的关系吗？其实，古希腊数学家阿基米德在很早以前就发现了“圆柱容球”定理，根据这个定理，这个球的表面积和体积分别都是这个圆柱体表面积和体积的23。根据这一定理和比的基本性质，我可以推导出“正方体容球”时，球的表面积和体积与正方体的表面积和体积之比都是 。
8．如图，研究圆柱体积公式的推导过程，我们用到的数学方法是 。小强把一个底面周长是12.56厘米的圆柱沿底面直径平均分成若干份，拼成一个近似的长方体，表面积比原来增加了20平方厘米，原来圆柱的体积是 立方厘米。
9.如图是一张长方形铁皮，剪下两端两个圆和中间那块长方形，正好能做成一个圆柱。这个圆柱的表面积是多少平方厘米？
10.如图所示是一个长方体的展开图，其尺寸如图所示，其中ABCD为正方形，求长方体的体积。
参考答案与试题解析
1．在一次数学课上，小明和小亮讲述了自己对长方体体积公式的推导过程，我们一起去听一听。
小亮：
每行摆4个小正方体，摆3行，每层就是12个，摆2层就是24个，列式为4×3×2＝24（个），得到一个长方体。长方体的体积是24个单位体积（小正方体体积）的数量，即长方体的体积等于长×宽×高。
小明：
长方体的体积也可以看作是底面的平移累加：底层的长×宽，再乘层数，即底面积乘高。
你能看懂谁的方法？请你选择自己喜欢的方法求出下面几种茶叶盒的体积。
（1）比一比哪种茶叶盒的体积更大。
列式： ①8×7×15＝840（立方厘米）②1×1×1＝1（立方分米） 。
② 号茶叶盒体积更大。
（2）下面几种茶叶盒都是柱体形状，高度都是20cm，你能算一算下面这几种茶叶盒的体积吗？
小明：③号茶叶盒是长方体，可以看作是无数个底面长方形的平移累加。
V＝S低×h、S低＝5×3＝15（cm2）、V＝15×20＝300（cm3）
④号茶叶盒的体积： 300立方厘米 。
⑤号茶叶盒的体积： 300立方厘米 。
我发现： 柱体形状物体体积都可以用底面积乘高来计算 。
【分析】（1）根据长方体体积＝长×宽×高、正方体体积＝棱长×棱长×棱长列式计算，然后比较即可；
（2）④号茶叶盒的体积可以看作是无数个底面三角形的平移累加；
⑤号茶叶盒的体积可以看作是无数个底面圆形的平移累加。
【解答】解：（1）8×7×15＝56×15＝840（立方厘米） 840立方厘米＝0.84立方分米
1×1×1＝1（立方分米） 1立方分米＞0.84立方分米 所以②号茶叶盒体积更大。
（2）6×5÷2×20＝30÷2×20＝15×20＝300（立方厘米） 15×20＝300（立方厘米）
故答案为：（1）①8×7×15＝840（立方厘米）②1×1×1＝1（立方分米）；②；（2）300立方厘米；300立方厘米；柱体形状物体体积都可以用底面积乘高来计算。
2．我们知道，圆面积的探究过程为研究圆柱体积提供了依据，是平面图形和立体图形紧密联系的“典范”，相信大家对当时课堂上的探究过程还历历在目，一起来回顾一下吧！
（1）请将如图圆柱体体积公式的探究过程补充完整。（可以用文字，也可以用字母）
（2）研究圆的面积和圆柱体积公式的推导过程，有哪些相同之处？
（3）通过学习我们知道，长方体、正方体和圆柱体都可以用“底面积×高”进行计算，这些立体图形有什么共同的特点？
（4）你觉得如图哪一个立体图形的体积可以用“底面积×高”的方法进行计算，在相应的括号里画”√”。
【分析】（1）长方体的长相当于底面圆周长的一半（πr），宽相当于底面圆的半径（r），高相当于圆柱的高（h）。所以圆柱的体积＝πr×r×h＝πr2h
（2）研究圆的面积是把圆转化成长方形，研究圆柱体积是把圆柱转化成长方体，都是应用了转化的思想，将未知转化为已知。
（3）通过学习我们知道，长方体、正方体和圆柱体都可以用“底面积×高”进行计算，这些立体图形的共同特点是都是上下两个底面完全一样，粗细相同，都是直直的。
（4）根据（3）用“底面积×高”进行计算立体图形的特点，选择出上下两个底面完全一样，粗细相同，都是直直的直棱柱的立方体即可。
【解答】解：（1）
（2）研究圆的面积是把圆转化成长方形，研究圆柱体积是把圆柱转化成长方体，都是应用了转化的思想，将未知转化为已知。
（3）这些立体图形的共同特点是都是上下两个底面完全一样，粗细相同，都是直直的。
（4）
故答案为：πr，r，h。
3．淘气和笑笑利用底面半径是5cm、高是10cm的圆柱来研究圆柱体积计算公式（如图），下面是他们的推导过程：
（1）淘气通过观察图形，认为它的体积可以分三步计算。
第一步：3.14×5＝15.7（cm）第二步：15.7×10＝157（cm2）
请你补充第三步： 157×5＝785（cm3）
（2）笑笑受到启发，换个思路来想，也是分三步计算。
第一步：3.14×5＝15.7（cm）第二步：5×10＝50（cm2）请你补充第三步： 50×15.7＝785（cm3）
（3）在推导圆柱的体积公式时，淘气是将圆柱拼成熟悉的图形——长方体进行的，这种学习数学的方法叫“转化”。想一想，我们在学习 平行四边形的面积（答案不唯一） 时也用到过这样的方法（举一例）。
【分析】（1）第一步计算结果是圆周长的一半相当于近似长方体的长，第二步计算过程是近似长方体的长×高（相当于圆柱体的高），第三步根据长方体的体积公式，在第二步的基础上再乘近似长方体的宽（相当于圆柱体的半径）即可；
（2）第一步计算结果是圆周长的一半相当于近似长方体的长，第二步计算过程是近似长方体的宽（相当于圆柱体的半径）×高（相当于圆柱体的高），第三步根据长方体的体积公式，在第二步的基础上再乘近似长方体的长即可；
（3）这种学习数学的方法叫“转化”。我们在学习平行四边形的面积时也用到过这样的方法。
【解答】解：（1）第一步：3.14×5＝15.7（cm）
第二步：15.7×10＝157（cm2）
第三步：157×5＝785（cm3）；
（2）第一步：3.14×5＝15.7（cm）
第二步：5×10＝50（cm2）
第三步：50×15.7＝785（cm3）；
（3）在推导圆柱的体积公式时，淘气是将圆柱拼成熟悉的图形——长方体进行的，这种学习数学的方法叫“转化”。我们在学习平行四边形的面积时也用到过这样的方法。（答案不唯一）
故答案为：（1）157×5＝785（cm3）；（2）50×15.7＝785（cm3）；（3）平行四边形的面积（答案不唯一）。
4．圆柱体积的探究
（1）转化、类推、数形结合是研究数学问题经常用到的数学思想方法，在探索圆柱体积计算公式的过程中，我们就用到了 转化 的数学思想方法。
（2）我们已经熟练掌握长方体和正方体的体积计算方法，这两种立体图形的体积都可以用 底面积×高 计算，我们猜想：圆柱的体积也可以用 底面积×高 来计算。
（3）用自己喜欢的方式开始小组探索，并记录探究过程。
我们小组发现：① 长方体体积等于圆柱体的体积 ② 长方体的底面积等于圆柱侧面积的一半 ③ 长方体的高等于圆柱的底面半径 。
（4）梳理探索过程发现：借助 长方体 体积计算公式可以得出圆柱体积的计算公式，推导过程如下：
【分析】运用转化的方法，把圆柱转化成长方体，根据圆柱和长方体的关系，以及长方体的体积公式，推导出圆柱的体积，由此求解。
【解答】解：根据分析可得：
（1）转化、类推、数形结合是研究数学问题经常用到的数学思想方法，在探索圆柱体积计算公式的过程中，我们就用到了转化的数学思想方法。
（2）我们已经熟练掌握长方体和正方体的体积计算方法，这两种立体图形的体积都可以用底面积×高计算，我们猜想：圆柱的体积也可以用底面积×高来计算。
（3）用自己喜欢的方式开始小组探索，并记录探究过程。
我们小组发现：①长方体体积等于圆柱体的体积②长方体的底面积等于圆柱侧面积的一半③长方体的高等于圆柱的底面半径。
（4）梳理探索过程发现：借助长方体体积计算公式可以得出圆柱体积的计算公式，推导过程如下：
故答案为：转化；底面积×高；底面积×高；长方体体积等于圆柱体的体积；长方体的底面积等于圆柱侧面积的一半；长方体的高等于圆柱的底面半径；长方体。
5．说理题。
“转化”是数学中的一种重要策略，运用此策略可以将一个新的图形转化成已经学过的图形。
（1）你能用转化的方法探索圆柱的体积计算公式吗？请你结合图形说一说你的理由。
（2）圆锥体积的计算公式是如何探索的？请说说你的探索过程。
（3）转化还可以把不规则的图形转化成规则的图形。请你用转化的方法求瓶子的容积。已知瓶子的内直径是6cm。说出你的思考过程。
【分析】（1）根据圆柱体积公式的推导过程，把圆柱转化成长方体，进行体积公式的推导，写出推导过程即可；
（2）根据圆锥体积公式的推导过程，写出自己的探索过程即可；
（3）利用圆柱的体积公式计算瓶子的容积。
【解答】解：（1）根据圆柱体积公式的推导过程可知，把一个圆柱切拼成一个近似长方体，这个长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高，长方体的体积等于底面积乘高，推出圆柱的体积公式：V＝πr2h。
（2）等底等高的圆柱与圆锥形容器。用圆锥形容器向圆柱形容器里装水，需要倒3次才能装满；反过来，把圆柱形容器中装满水，然后倒入圆锥形容器里，正好倒满3个圆锥形容器。这说明圆柱的体积等于和它等高的圆锥的体积的3倍。从而推出圆锥的体积公式：V＝πr2h÷3。
（3）3.14×（6÷2）2×（5+14）＝3.14×9×19＝536.94（立方厘米）
536.94立方厘米＝536.94毫升 答：这个瓶子的容积是536.94毫升。
6．古希腊的阿基米德是历史上杰出的数学家，在他众多的科学发现中，他自己最为满意的是“圆柱容球定理”。“圆柱容球”就是把一个球放入一个圆柱形容器中，盖上容器盖后，球恰好与圆柱的上底面、下底面及侧面紧密接触。这个球的直径与圆柱的高、底面直径相等。在圆柱容球中，球的体积是圆柱体积的23，球的表面积也是圆柱表面积的23。
（1）请你计算如图1所示圆柱容球中球的体积。
（2）明明由“圆柱容球”联想到“正方体容圆柱”。把圆柱体放入一个正方体容器中，盖好容器盖后，圆柱体的上下底面及侧面与正方体的上下底面及侧面紧密接触，这时圆柱的高、底面直径与正方体棱长 相等 。假设正方体的棱长是1cm，请你求出如图2所示圆柱的体积。
【分析】（1）圆柱容球中球的体积等于圆柱体积的23，利用圆柱的体积公式结合图中数据计算圆柱的体积，再计算圆柱容球中球的体积；
（2）圆柱的底面直径，高与正方体的棱长相等，利用圆柱的体积公式计算即可。
【解答】解：（1）圆柱的底面半径：6÷2＝3（厘米），
体积：3.14×3×3×6×23=113.04（立方厘米）
答：圆柱容球中球的体积是113.04立方厘米。
（2）圆柱的高、底面直径与正方体棱长相等，
底面半径：1÷2＝0.5（厘米）
3.14×0.5×0.5×1＝0.785（立方厘米）
答：圆柱的体积是0.785立方厘米。
故答案为：相等。
【点评】本题考查的是圆柱的体积公式的应用。
7．探究与发现。（计算时圆周率用字母π表示）
有一个棱长为2a分米的正方体木块，它的表面积可表示为 24a2 dm2，体积可表示为 8a3 dm3，把它切削成一个最大的圆柱（正方体容圆柱），这个圆柱的底面半径是 a dm，高是 2a dm，通过底面半径和高我可以分别求出它的表面积为是 6πa2 dm2，体积是 2πa3 dm3。
这时我可以求出这个圆柱体和正方体木块的表面积比为 π：4 ，体积比为 π：4 ，我发现这两个比的比值 相等 。
如果再把这个圆柱体木块切削成一个最大的球，你知道它们之间的关系吗？其实，古希腊数学家阿基米德在很早以前就发现了“圆柱容球”定理，根据这个定理，这个球的表面积和体积分别都是这个圆柱体表面积和体积的23。根据这一定理和比的基本性质，我可以推导出“正方体容球”时，球的表面积和体积与正方体的表面积和体积之比都是 π：6 。
【解答】解：2a×2a×6＝24a2（dm2）
2a×2a×2a＝8a3（dm3）
2a÷2＝a（dm）
π×a×a×2+π×2a×2a＝6πa2（dm2）
π×a×a×2a＝2πa3（dm3）
这个圆柱体和正方体木块的表面积比为：6π：24＝π：4
体积比：2π：8＝π：4
球的表面积=23×6πa2＝4πa2（dm2）
球的表面积与正方体的表面积比为：4πa2：24a2＝π：6。
有一个棱长为2a分米的正方体木块，它的表面积可表示为24a2dm2，体积可表示为8a3dm3，把它切削成一个最大的圆柱（正方体容圆柱），这个圆柱的底面半径是adm，高是2adm，通过底面半径和高我可以分别求出它的表面积为是6πa2dm2，体积是2πa3dm3。
这时我可以求出这个圆柱体和正方体木块的表面积比为π：4，体积比为π：4，我发现这两个比的比值相等。
如果再把这个圆柱体木块切削成一个最大的球，你知道它们之间的关系吗？其实，古希腊数学家阿基米德在很早以前就发现了“圆柱容球”定理，根据这个定理，这个球的表面积和体积分别都是这个圆柱体表面积和体积的23。根据这一定理和比的基本性质，我可以推导出“正方体容球”时，球的表面积和体积与正方体的表面积和体积之比都是π：6。
故答案为：24a2，8a3，a，2a，6πa2，2πa3，π：4，π：4，相等，π：6。
8．如图，研究圆柱体积公式的推导过程，我们用到的数学方法是 转化法 。小强把一个底面周长是12.56厘米的圆柱沿底面直径平均分成若干份，拼成一个近似的长方体，表面积比原来增加了20平方厘米，原来圆柱的体积是 62.8 立方厘米。
【解答】解：研究圆柱体积公式的推导过程，我们用到的数学方法是转化法。
12.56÷2÷3.14＝2（厘米）20÷（2×2）＝5（厘米）3.14×22×5＝62.8（立方厘米）
答：原来圆柱的体积是62.8立方厘米。故答案为：转化法；62.8。