福建省龙岩市一级校联盟2024-2025学年高一上学期11月期中联考数学试题（解析版）

这是一份福建省龙岩市一级校联盟2024-2025学年高一上学期11月期中联考数学试题（解析版），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由可得，
故，
故选：B
2. 命题“，”的否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】因为命题“，”，
所以其否定为，，
故选：A
3. 若，则的一个充分不必要条件为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为，，，
因此，的一个充分不必要条件为.
因此，的一个充分不必要条件为.
故选：C.
4. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由于
所以为偶函数，图象关于轴对称，故排除AC，
当，此时排除B，
故选；D
5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由条件可知，，解得，所以的定义域为，
故选：B.
6. 已知是上的减函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分段函数在R上单调递减，需满足每一段上单调递减，且分段处左端点值大于等于右端点值，得到不等式，求出答案.由题意得，解得，
故实数的取值范围是.
故选：A
7. 已知正数、满足，则的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为正数、满足，即，可得，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，的最小值为.
故选：B.
8. 已知是上的偶函数，对于任意的，都有成立，且，当且时，都有成立.现给出下列命题：①；②函数图象的一条对称轴为；③函数在上为严格增函数；④方程在上有4个根.其中正确的命题个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】对于任意，都有成立，
令，则，即，
又因为是上的偶函数，所以，
则，即函数是周期为4的周期函数．
①，正确；
②的周期为4，又是上的偶函数，所以，
故直线是函数的图象的一条对称轴，即②正确；
③：且时，都有成立则函数在上为增函数，
是上的偶函数，函数在上为单调递减函数
而的周期为4，函数在上为减函数，故③不正确；
④，的周期为4，函数在上为增函数，在上为减函数，
在上只有一个零点2，
则，
所以，函数在上有4个零点，故④正确．
故选：C
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】A. 是偶函数，又在上单调递减，故正确；
B. 是偶函数，又在上单调递增，故错误；
C. 是偶函数，又在上单调递减，故正确；
D. 是奇函数，又在上单调递减，故错误；
故选：AC
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 函数（且）的图象恒过定点
B. 函数的单调递增区间为
C. 若满足，则的图象关于点中心对称
D. 若直线11与函数的图象有两个公共点，则实数的取值范围是
【答案】ABD
【解析】对于A，当时，，
所以函数的图象恒过定点，故A正确；
对于B，设，则，
由，得或，
因为在单调递增，
在单调递减，在单调递增，
所以的单调递增区间为，故B正确；
对于C，因为满足，
当取时，，即，
所以的图象关于点中心对称，故C错误；
对于D，当时，函数的图象下图所示，
当时，函数的图象下图所示，
则当时，直线与函数的图象有两个公共点，
所以，故D正确.
故选：ABD.
11. 已知函数，若存在实数，使得对任意的实数恒成立，称为“函数”.下列说法正确的是（ ）
A. 若为“函数”，且，则
B. 若，则是“函数”
C. 若为“函数”，则
D. 若是“函数”，且当时，，则当时，
【答案】ACD
【解析】对于A，若为“函数”，则，当时，，
因为，所以，故A正确；
对于B，若，假设是“函数”，则，即，
不存在对任意的实数恒成立，所以假设不成立，故B错误；
对于C，为“函数”，
即，
因为，，所以，即，则，故C正确；
对于D，若是“函数”，则，得，
当时，，因为当时，，
所以，则，
所以，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知是幂函数，则______.
【答案】27
【解析】因为是幂函数，所以，解得，
所以，所以，
故答案为：.
13. 已知定义在上的函数在上单调递增，若，且函数为奇函数，则不等式的解集为______.
【答案】
【解析】因为函数在上单调递增，且函数为奇函数，
所以函数在上单调递增，
由于，所以，
不等式等价为或，
由图象可知：或.
故答案为：
14. 已知函数，若，都有成立，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】，
令，则，
因为，所以，当且仅当时，等号成立，
因为，所以，则函数在上单调递减，
则，
所以当时，，，
因为，都有成立，即恒成立，
所以，解得，
所以，故的取值范围为，
故答案为：.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
解：（1）当时，.
，，
.
（2），.
当时，符合题意，此时有，解得；
当时，要使，只需，解得.
综上，.
故实数的取值范围为.
16. 已知函数.
（1）若不等式的解集是，求，的值；
（2）若对于任意的，不等式恒成立，求的取值范围.
解：（1）不等式的解集是，
，2为方程的两根，且，，
，
解得，.
（2）当时，符合题意.
当时，要使恒成立，
只需满足，解得.
综上所述，
故实数的取值范围为.
17. 已知函数，定义域为.
（1）判断函数在上单调性，并用定义加以证明；
（2）解不等式.
解：（1）在上单调递增.
证明如下：
，不妨令，
，，，
又，，，，即，
在上单调递增.
（2）的定义域为且关于原点对称，
又，
为定义在上奇函数，
不等式可化为，
又在上单调递增，
，解得，
原不等式的解集为.
18. 由于我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持着持续增长的趋势.某医疗器械公司为了进一步加强市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为100万元，最大产能为80台.每生产台该产品，需另投入成本万元，且当年产量为10台时，需另投入成本500万元.由市场调研知，每台该产品的售价为100万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
（1）求的值；
（2）写出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：台）的函数解析式（利润销售收入成本）；
（3）当该产品的年产量为多少时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？
解：（1）将，代入，
得，解得.
（2）由题意可得，当时，；
当时，
故年利润关于年产量的函数关系式为
（3）由（2）得当时，；
当时，；
当时，，
当且仅当，即时，等号成立，.
而，故当时，年利润最大，最大年利润是900万元.
综上所述，当年产量为50台时，该公司所获年利润最大，最大年利润是900万元.
19. 已知二次函数的图象经过点，且函数是偶函数.
（1）求的解析式；
（2）已知，且函数，求在上的最大值；
（3）函数的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个正整数的完全平方数？如果存在，求出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由.
解：（1）函数是偶函数，
二次函数的对称轴方程为，即，
.
又二次函数的图象经过点，
，即，
函数的解析式为.
（2）
作出的图象如下：

当时，；
当时，；
当时，.
综上所述，
（3）假设函数的图象上存在满足条件的点，其中，，
则有，即，
，
.
，，
，
，，
或
解得或
函数的图象上存在满足条件的点，.