四川省广安中学2024−2025学年高二下学期第一次月考 数学试题（含解析）

这是一份四川省广安中学2024−2025学年高二下学期第一次月考 数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．数列1，，4，，的一个通项公式（ ）
A．B．C．D．
2．已知数列为等比数列，若，，则（ ）
A．9B．12C．15D．18
3．已知数列满足，则数列中的最小项为（ ）
A．B．C．D．
4．已知数列的项满足，而，则＝（ ）
A．B．C．D．
5．公元前1650年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？”在上述问题中，前五人得到的玉米总量为（ ）
A．斗B．斗
C．斗D．斗
6．数列的第2024项为（ ）
A．B．C．D．
7．在数列中，，，则等于（ ）
A．B．0C．D．4
8．分形的数学之美，是以简单的基本图形，凝聚扩散，重复累加，以迭代的方式而形成的美丽的图案．自然界中存在着许多令人震撼的天然分形图案，如鹦鹉螺的壳、蕨类植物的叶子、孔雀的羽毛、菠萝等．如图所示，为正方形经过多次自相似迭代形成的分形图形，且相邻的两个正方形的对应边所成的角为．若从外往里最大的正方形边长为9，则第5个正方形的边长为（ ）
A．B．C．4D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知等差数列的前n项和为，若，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．当取得最大值时，
C．数列是递减数列D．
10．已知数列的前项和为，点在函数的图象上，等比数列满足，其前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
11．将个数排成行列的数阵，如图所示：该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中0）.已知，记这个数的和为，下面叙述正确的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．若正项等比数列满足，当取最小值时，数列的公比是 .
13．已知数列的通项公式为（），数列满足，将这两个数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列，则 .
14．已知数列中，，且满足，若对于任意，都有成立，则实数的最小值是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．设数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）求数列 的前项和．
16．已知等差数列的前项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，令，求数列的前项和．
17．已知数列中，它的前n项和满足．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求．
18．小楠是一位收藏爱好者，在第1年初购买了价值20万元的收藏品，受收藏品市场行情的影响，第2年、第3年的每年初的价值为上年初价值的；从第4年开始，每年初的价值比上年初价值增加4万元.
(1)求第几年初开始的价值超过原购买的价值；
(2)记（）表示收藏品前年初的价值的平均值，求的最小值.
19．已知数列的前n项和为，且是公差为的等差数列．
(1)求证：是等差数列；
(2)用表示中的最大值，若，，求数列的前n项和．
参考答案
1．【答案】C
【详解】数列1，，4，，中，
，
，
，
，
，
……，
故选.
2．【答案】B
【详解】设等比数列公比为，，而，，则，解得，
所以.
故选B.
3．【答案】B
【详解】由可知为等差数列，且公差为2，首项为，
所以，
因为且，
故中的最小项为.
故选B.
4．【答案】B
【分析】由，可得，然后利用累乘法可求得结果
【详解】由，得，
所以，，，……，，，（），
所以，
所以，
因为，所以，
因为满足上式，所以.
故选B.
5．【答案】A
【详解】由题意记10人每人所得玉米时依次为，则时，，，即是等比数列，
由已知，，
（斗）．
故选A．
6．【答案】B
【详解】观察可知数列的构成规律为个，个，个，，个，
因为，而，
所以数列的第项为，
故选B.
7．【答案】B
【详解】因为，所以，所以，所以是周期为6的周期数列，
所以
，
又因为，
所以，
所以原式.
故选B.
8．【答案】C
【详解】设第n个正方形的边长为，则由已知可得
∴，
∴{}是以9为首项，为公比的等比数列，
∴.
故选C．
9．【答案】AC
【详解】解析：，故，选项A正确；
，即，故且，选项D错误；
又因为是等差数列，故数列是递减数列，选项C正确；
当取得最大值时，，故B错误．
故选AC.
10．【答案】BD
【详解】根据题意，对于数列，点在函数的图象上，
则有 ，即①﹔
由①可得∶，②,
①-②可得：,③
时，,
验证可得∶时，符合③式,
则，
对于等比数列，设其公比为q，
等比数列满足，时，有④，
时，有⑤，
联立④⑤，解可得，则 ，
则有;
据此分析选项：
对于A、,则有，故A错误；
对于B、，，故，故B正确；
对于C、时，不成立，故C错误；
对于D、，，则有，D正确；
故选BD.
11．【答案】ACD
【详解】对于A，由题意，，，
由，则，整理可得，
由，解得，故A正确；
对于B，，，故B错误；
对于C，，，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选ACD.
12．【答案】
【解析】根据等比数列的性质，得到，由基本不等式求出的最小值，由等号成立的条件，即可求出公比.
【详解】设正项等比数列的公比为，
因为，所以由等比数列的性质可得，；
因此，
当且仅当，即，即（负值舍去）时，等号成立.
所以数列的公比是.
13．【答案】110
【详解】由题意有，
所以数列，
数列，
可得两数列的公共项依次为，构成公差为12的等差数列，
所以.
14．【答案】2
【解析】将已知等式化为，根据数列是首项为3公差为1的等差数列，可求得通项公式，将不等式化为恒成立，求出的最大值即可得解.
【详解】因为时，，所以，而，
所以数列是首项为3公差为1的等差数列，故，从而.
又因为恒成立，即恒成立，所以.
由得，得，
所以，所以，即实数的最小值是2.
15．【答案】(1) ；(2).
【解析】（1）利用递推公式,作差后即可求得的通项公式.
（2）将的通项公式代入,可得数列的表达式.利用裂项相消法即可求得前项和.
【详解】（1）数列满足
时,
∴
∴
当时,,上式也成立
∴
（2）
∴数列的前n项和
.
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由，可得，可得①，
由可得，整理可得②，
联立①②可得，，所以，.
（2）因为，则，
所以，，
，
上式下式得
，
因此，.
17．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由①，得②，
由①－②，得，
得，
又当时，由①得，
所以对任意的，都有，
故是以为首项，为公比的等比数列．
（2）由（1）知，
所以，代入①，得，
所以
．
18．【答案】(1)7
(2)
【详解】（1）设第n（）年初M的价值为万元，
依题意，当时，数列是首项为20，公比为的等比数列，
所以.
故，，所以.
当时，数列是以为首项，4为公差的等差数列.
因为，所以.
令，得，又，所以.
因此第7年初的价值超过原购买的价值.
（2）设表示前n年初的价值的和，则.
由（1），知当时，，.
当时，由于，
故，
.
当时，由①得，，，所以；
当时，由对勾函数性质可知单调递增的，故.
由于，故在第4年初的值最小，最小值为11.
19．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为是以为公差的等差数列，其首项为，
所以，
整理得 ① 当时， ②
①②得，即，
，，所以是以1为公差的等差数列．
（2），又的公差为1，所以，所以，
当时，
令，，
所以，
所以，
所以当时，，
当时，，
当时，，
综上，．