黑龙江省绥化市肇东市第四中学校2024−2025学年高二下学期第一次月考 数学试题（含解析）

这是一份黑龙江省绥化市肇东市第四中学校2024−2025学年高二下学期第一次月考 数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知数列的首项，且，则这个数列的第4项是（ ）
A．B．C．D．6
2．记等比数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．24B．28C．48D．84
3．已知数列的前n项和，则是（ ）
A．公差为4的等差数列B．公差为2的等差数列
C．公比为2的等比数列D．公比为3的等比数列
4．若数列满足，且，则数列的前4项和等于（ ）
A．B．C．14D．
5．设等差数列的公差为，则“”是“为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6．广丰永和塔塔高九层，每至夜色降临，金灯齐明，塔身晶莹剔透，远望犹如仙境．某游客从塔底层（一层）进入塔身，即沿石阶逐级攀登，一步一阶，此后每上一层均沿塔走廊绕塔一周以便浏览美景，现知底层共二十六级台阶，此后每往上一层减少两级台阶，顶层绕塔一周需十二步，每往下一层绕塔一周需多三步，则这位游客从底层进入塔身开始到顶层绕塔一周停止共需（ ）
A．352步B．387步C．332步D．368步
7．若等比数列的前项和，则（ ）
A．B．0C．1D．2
8．已知正项等比数列的前项积为，且，则（ ）
A．2024B．2025C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．记为等差数列的前项和，已知，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．数列中有且仅有一个最小项
10．已知数列的通项公式为，的前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．B．数列是公差为4的等差数列
C．D．数列的最大项为2
11．已知等比数列的公比为，前项和为，若，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．，D．，
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知等差数列的前5项和，，则 ．
13．已知数列中，，，则 ．
14．已知为等比数列，且，则 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．记等差数列的前项和为，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)记数列的前项和为，求.
16．已知数列满足且成等比数列，
(1)求的通项公式：
(2)设数列的前n项和为，求的最小值及此时n的值．
17．已知数列满足，
(1)请证明是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)令，求数列前项的和．
18．已知数列 是公差为 2 的等差数列，其前 8 项的和为 72 . 数列 是公比大于 0 的等比数列， .
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)将 和 中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列 ，求数列 的前 200 项和 .
19．已知数列的前项和为，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和；
(3)若，求使取得最大值时的值.
参考答案
1．【答案】B
【详解】由，得，，，．
故选B．
2．【答案】D
【详解】由等比数列的性质，得成等比数列，
所以，
又因为，，
即，
解得．
故选D.
3．【答案】A
【详解】当时，，
当时，，作差得，
显然时，也满足上式，故，
显然，由等差数列与等比数列的定义知A正确，B、C、D错误.
故选A.
4．【答案】D
【详解】由于数列满足，即
故数列为公比为2的等比数列，
又，则，
故，
故选D.
5．【答案】A
【分析】利用等差数列通项公式求出，再利用单调数列的定义，结合充分条件、必要条件的意义判断即得.
【详解】由等差数列的公差为，得，则，
当时，，而，则，
因此，所以为递增数列；
当为递增数列时，，即有，整理得，不能推出，
所以“”是“为递增数列”的充分不必要条件.
故选A.
6．【答案】C
【详解】设从第层到第层所走的台阶数为，绕第层一周所走的步数为，
由已知可得，，，，，，
所以数列是首项为26，公差为的等差数列，故，，
数列为公差为的等差数列，故，，
设数列，的前项和分别为，，所以，
，，
故这位游客从底层进入塔身开始到顶层绕塔一周停止共需332步．
故选C.
7．【答案】A
【详解】因为等比数列的前项和，
所以当时，，
所以该等比数列的公比,
所以，解得.
故选A.
8．【答案】D
【详解】由题意得，，
则，
，
，
，
.
故选D.
9．【答案】BC
【详解】设数列的公差为，
由题意可知，解得错误；
由上得正确；
由得，，C正确；
，由二次函数的性质可知，当或时，和的值均最小，D错误.
故选BC.
10．【答案】BC
【详解】对于A，数列的通项公式为，故，
，即，A错误；
对于B，，则，
故数列是公差为4的等差数列，B正确；
对于C，数列的通项公式为，为首项是，公差为2的等差数列，
故，
则，C正确；
对于D，，而，
当n增大时，的值随着增大，故随着n增大而减小，
故当时，数列取最大项为，D错误，
故选BC.
11．【答案】AC
【详解】设公比为，因为，所以，
又因为，所以，故A正确，故B错误；
对于选项C：，故C正确，选项D错误；
故选AC.
12．【答案】
【详解】因为等差数列的前5项和，，
则，所以，
所以，解得等差数列的公差，
则.
13．【答案】
【详解】由，
可得：，
所以是首项为，公比为3的等比数列，
所以，
所以.
14．【答案】
【详解】因为为等比数列，所以
.
15．【答案】(1)
(2)8872
【详解】（1）由
则
设的公差为
则
则
所以数列的通项公式为.
（2）由题可知
，
.
16．【答案】(1)
(2)最小值为,此时.
【详解】（1）由知为等差数列，设的公差为，则，
成等比数列，所以，即，
解得，又，所以的通项公式为；
（2）由（1）得，
所以当时，取得最小值，最小值为
17．【答案】(1)证明见解析，
(2)
【详解】（1）因为，则，
又，因此是以为首项，为公比的等比数列，
由，得到．
（2）由（1）知，，
所以①，
则②，
由①②得到，
所以，
故．
18．【答案】(1)；
(2)38583
【详解】（1）因为数列 是公差为 2 的等差数列，其前 8 项的和为 72，
所以，即，
所以；
因为数列 是公比大于 0 的等比数列， ，
所以，解得（舍去），
所以.
（2）因为，
所以前200项中中有5项，其和为，
中有前有195项，和为，
所以.
19．【答案】(1)；
(2)；
(3)或.
【详解】（1）因为且，所以，
由，可得，
两式相减得，
因为，所以，，
又，综上，，，
所以是首项和公比均为的等比数列.
所以.
（2）由题意，，
①，
②，
①-②得
（3）由（1）可得，所以，
时，由，可得；
当时，，当时，，
当时，，
当时，，
所以，
所以，
综上，或时，取得最大值.