2023~2024学年河北部分学校高三第二学期高考演练数学试题{一模}带解析

这是一份2023~2024学年河北部分学校高三第二学期高考演练数学试题{一模}带解析，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】D
【分析】根据一元二次不等式以及指数不等式化简集合,由集合的并运算即可求解.
【详解】由于
所以，，所以.
故选：D.
2．已知复数，，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【正确答案】D
【分析】根据充分条件和必要条件的定义求解.
【详解】若，可得复数，都为实数，当时，，充分性不成立；
反之，若取复数，，满足，但此时复数，均为虚数，不能比较大小，必要性不成立，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件；
故选：D.
3．若函数，则（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】C
【分析】根据自变量的取值，即可代入到分段函数中，计算即可.
【详解】由于，所以，故，
故选C.
4．2021年5月22日上午10点40分，祝融号火星车安全驶离着陆平台，到达火星表面，开始巡视探测.为了帮助同学们深入了解祝融号的相关知识，某学校进行了一次航天知识讲座，讲座结束之后，学校进行了一次相关知识测试（满分100分），学生得分都在内，其频率分布直方图如下，若各组分数用该组的中间值代替，估计这些学生得分的平均数为（ ）

A．70.2B．72.6C．75.4D．82.2
【正确答案】C
【分析】根据题意，由频率之和为1，可得的值，然后结合平均数的计算公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】由条件可得，则，故得分的平均数为.
故选：C
5．中国国家大剧院的外观被设计成了半椭球面的形状.如图，若以椭球的中心为原点建立空间直角坐标系，半椭球面的方程为（，，且a，b，c不全相等）.若该建筑的室内地面是面积为的圆，给出下列结论：①；②；③；④若，则，其中正确命题的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【正确答案】B
【分析】根据已知得，结合题设判断各项正误即可.
【详解】在中，令可得该建筑室内地面对应的曲线方程为，
由室内地面是面积为的圆，故，①对；
且，则，又不全相等，故，②错；
若，则，可得，与不全相等矛盾，③错；
若，则，故，④对.
故选：B.
6．已知是第三象限角，，则（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】A
【分析】根据是第三象限角，，利用二倍角公式整理得，求得，再利用基本关系求解.
【详解】∵是第三象限角，，
∴，
∴，
解得或(舍去)，
∴，
∴，
故选：A.
7．直线与圆相切，则的最大值为（ ）
A．16B．25C．49D．81
【正确答案】C
【分析】利用圆与直线的位置关系得出的方程，根据方程分析利用表示的几何意义求解即可.
【详解】由直线与圆相切可得：
圆心到直线的距离等于圆的半径，
即，
故，即点在圆O上，
的几何意义为圆上的点与点之间距离的平方，
由圆心为，
因为，
所以点在圆外，
所以点到点的距离的最大值为圆心到的距离与圆半径之和，
即，
所以的最大值为.
故选：C.
8．为了提高同学们对数学的学习兴趣，某高中数学老师把《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《海岛算经》这4本数学著作推荐给学生进行课外阅读，若该班A，B，C三名同学有2名同学阅读其中的2本，另外一名同学阅读其中的1本，若4本图书都有同学阅读（不同的同学可以阅读相同的图书），则这三名同学选取图书的不同情况有（ ）
A．144种B．162种C．216种D．288种
【正确答案】A
【分析】利用排列组合公式进行合理分类讨论即可.
【详解】分两种情况：第一种情况，先从4本里选其中2本，作为一组，有种，
第二组从第一组所选书籍中选1本，再从另外2本中选取1本作为一组，
剩余一本作为一组，再分给3名同学，共有方法；
第二种情况：从4本里任选2本作为一组，剩余的两本作为一组，有种分法，
分给3名同学中的2名同学，有种分法，剩余1名同学，
从这4本中任选一本阅读，有种分法，共有种方法.
故这三名同学选取图书的不同情况有种.
故选：A.
二、多选题
9．已知函数的最小正周期为，若，则（ ）
A．关于直线对称B．关于点对称
C．的最大值为D．的最小值为
【正确答案】AD
【分析】根据辅助角公式化简，利用周期的公式求解，进而根据可判断为的对称轴，即可判断AB,利用对称中心可求解DC.
【详解】由的最小正周期为可得，即，故，
由可得，分别为的最大值和最小值，故关于直线对称，不关于点对称，故A正确，B错误；
由可得，故的对称中心，则，当时，取得最小值，没有最大值，故C错误，D正确.
故选：AD
10．已知双曲线的虚轴长为2，过C上点P的直线l与C的渐近线分别交于点A，B，且点P为AB的中点，则下列正确的是（ ）
A．若且直线l的斜率存在，直线l的方程为
B．若，直线l的斜率为1
C．若离心率，
D．若直线l的斜率不存在，
【正确答案】BCD
【分析】根据点差法可得直线的斜率，进而可判断A，利用A选项的求解可判断B，利用离心率可得渐近线方程，进而联立直线AB与渐近线方程得交点坐标，利用三角形面积公式以及双曲线方程可判断C，根据顶点和渐近线方程可求解D.
【详解】由题意，双曲线.
对于A，若，则，即.
设，，则，，
利用点差法可得，
所以直线l的方程为，即，
所以，即，故A错误；
对于B，若，可得,则，由前面解答过程可知直线l的斜率为，即B正确；
对于C，若离心率，可得.则双曲线，其渐近线方程为，
设，，
直线，令，
则，由A知方程为，
联立方程可得，同理可得，
所以，故C正确；
对于D，若直线l的斜率不存在，则直线l过双曲线的顶点，所以，
双曲线的渐近线方程为，当时，代入渐近线方程易得A，B两点的纵坐标为，
所以，故D正确；
故选：BCD.
11．如图，在直四棱柱中，底面是菱形，点P，Q，M分别为，，的中点，下列结论正确的有（ ）

A．平面B．该四棱柱有外接球，则四边形为正方形
C．与平面不可能垂直D．
【正确答案】ABC
【分析】根据线线平行即可判断A，利用外接圆的对角互补，则可判断B，利用反证法，结合线面垂直的性质定理可判断C, D.
【详解】对A，连接，由点P，Q，分别为，可得，
，所以四边形为平行四边形，
则，故，平面,平面,则平面，即A正确；
对B，若四棱柱有外接球，则四边形有外接圆，则对角互补，则为正方形，即B正确；
对C，若平面，平面,则，由可得，与条件矛盾，故与平面不可能垂直，即C正确；
对D，取的中点N，连接，，则，,
平面，平面，平面，，
，则，故与不垂直，即D错误.
故选：ABC.

12．设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，当时，，若方程在上恰有个实数解，则（ ）
A．的周期为4B．在上单调递减
C．的值域为D．
【正确答案】AD
【分析】由对称性与奇偶性得到函数的周期性，即可判断A、B，结合所给函数解析式求出函数的值域，即可判断C，画出函数与的图象，数形结合，即可判断D.
【详解】由的图象关于对称可得，
再由为偶函数可得，故，即的周期为4，即A正确；
当时，由，可得在上单调递增，故在上单调递增，即B错误；
又，，故的值域为，即C错误；
在同一坐标系下画出函数与的图象如图所示.

由图可知，要使与在上恰有个不同交点，
只需，即，解得，即的取值范围为，故D正确.
故选：AD
三、填空题
13．已知O为的外心，若，且，则__________.
【正确答案】
【分析】由平面向量数量积公式进行求解.
【详解】由圆的性质可得，，
故.
故
14．若函数的图象关于原点对称，则实数m的值为__________.
【正确答案】
【分析】根据奇函数的性质根据，即可求解.
【详解】依题意，，即,所以，解得，当时，，定义域不关于原点对称，故舍去，
当时，，定义域为，符合要求，故，
故
15．函数的最小值为__________.
【正确答案】/
【分析】根据二倍角公式化简，即可求解最值.
【详解】因为，所以当时，，此时的最小值为.
故
四、双空题
16．如图，在三棱锥中，，，且，点E，F分别为，的中点，则异面直线与所成角的大小为__________，与所成角的余弦值为__________.
【正确答案】
【分析】根据异面直线夹角的定义作辅助线，构造三角形.
【详解】
取的中点G，连接，，则，，故或其补角为异面直线与所成的角，
过A作平面于点O，连接，，，则，
又，且，故平面，故，同理可得，
即为的垂心，故，又，，平面，
平面，故平面，故，即与所成角为；
所以，由可得，故，
即异面直线与所成角的余弦值为；
故①，②.
五、解答题
17．已知是公差不为0的等差数列的前n项和，是，的等比中项，.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，求数列的前n项和.
【正确答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意列式求解，即可得结果；
（2）由（1）可得：，利用错位相减法求和.
【详解】（1）设数列的公差为d，
因为是，的等比中项，则，
即，且，
整理得①，
又因为，整理得②
由①②解得，，，
所以.
（2）由（1）知，，
则，
可得，
两式相减得
，
所以.
18．为了了解大家对养宠物的看法，某单位对本单位450名员工（其中女职工有150人）进行了调查，发现女职工中支持养宠物的职工占，若从男职工与女职工中各随机选取一名，至少有1名职工支持养宠物的概率为.
(1)求该单位男职工支持养宠物的人数，并填写下列列联表；
(2)依据小概率值的独立性检验，能否认为该单位职工是否支持养宠物与性别有关？
附：，.
【正确答案】(1)表格见解析
(2)不能认为该单位职工是否支持养宠物与性别有关
【分析】（1）运用对立事件列方程求出男职工支持养宠物的概率p，再求出男职工中支持养宠物的人数；
（2）根据卡方公式求解.
【详解】（1）从男职工中随机选取1人，设支持养宠物的概率为，则2人中至少有一名支持养宠物是都不支持养宠物的对立事件，
，解得，则男职工中支持养宠物的人数为，
列联表如下：
（2）零假设为：：性别与态度无关联；由于，
∴不能认为该单位职工是否支持养宠物与性别有关；
综上，男职工中支持养宠物的人数为75；不能认为该单位职工是否支持养宠物与性别有关.
19．在中，，，点D为的中点，连接并延长到点E，使.
(1)若，求的余弦值；
(2)若，求线段的长.
【正确答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，由结合余弦定理求解即可求出，在中，由余弦定理即可求出答案.
（2）在中，由余弦定理求出，在中，由余弦定理求出，连接，在中，由余弦定理即可求出线段的长.
【详解】（1）因为，，所以，
因为，所以，
设，则，即，
解得，所以，
在中，由余弦定理知，.
（2）在中，由余弦定理知，，
所以，化简得，解得，
因为是的中点，所以，
在中，由余弦定理知，，
所以，
因为，所以，
在中，由余弦定理知，
，
连接，在中，由余弦定理知，
，
所以.

20．如图，在三棱锥中，平面平面，若为等边三角形，为等腰直角三角形，且，点E为的中点，点D在线段上，且.

(1)证明：⊥平面；
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）作出辅助线，得到，由三线合一得到，从而得到线面垂直，面面垂直，从而证明出结论；
（2）建立空间直角坐标线，利用空间向量求解二面角的余弦值.
【详解】（1）如图，取的中点G，由可得，
由可得D为的中点，由E为的中点可得为的中位线，
∴，
∴，
∵E为的中点，，
∴，
∵平面平面，且平面平面，PE在面PAC内，
∴平面，而平面，
∴，又，且平面，
∴⊥平面.
（2）以C为原点，CA、CB为x、y轴，过C垂直于面ABC的直线为z轴，
设.则，，，，则，，
∴，，，

设平面的一个法向量为，由，解得，
令可得，故，
由（1）可知为平面的一个法向量，
∴，
又平面与平面所成二面角为锐角，故所成二面角的余弦值为.
21．已知抛物线的焦点为F，直线与C交于A，B两点，当时，.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线与抛物线C交于M，N两点，证明：由直线，直线及y轴围成的三角形为等腰三角形.
【正确答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据直线抛物线方程的联立以及抛物线的定义即可求解；（2）根据直线与抛物线方程的联立以及坐标关系即可求解.
【详解】（1）
当时，直线，
与联立消去y，
整理可得，
由得，
即.
设，，
可得，
所以，
由题意可得，准线方程为，
根据抛物线的定义可得，，
所以，
解得，满足，
所以抛物线C的方程为.
（2）
直线与联立可得
，由得，即或（舍）
设，，则；
直线与联立消去y，
整理可得，
由得，
即或（舍），
故，
设，，
则；
因为，
同理，
所以，
所以由直线，直线及y轴围成的三角形为等腰三角形.
22．已知函数.
(1)若，求的极值；
(2)若函数有两个零点，，且，求证.
【正确答案】(1)极大值为，无极小值
(2)证明见解析
【分析】（1）对求导，判断的单调性，即可求出的极值；
（2）根据极值点的概念整理原不等式可得即，构建新函数，求导，利用导数证明即可.
【详解】（1）的定义域为，当时，，
设，则，
由可得，当时，，当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴的极大值为，无极小值；
（2）由可得，即.
设，则.
由可得，当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减.
∴有极大值，当时，，当时，.
要使有两个零点，，需有，即.
∵，由比例的性质可得，
即，故，
设，由可得，
设函数，则，
设，则，
∴在上单调递增，故，故，
∴在上单调递增，故，
∴，故，故，即.
关键点点睛：本题（2）的关键点在于由题意得出，建立关系，再结合题意化简整理，再利用导数证明不等式.
支持养宠物
不支持养宠物
合计
男职工
女职工
合计
450
0.10
0.05
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
支持养宠物
不支持养宠物
合计
男职工
75
225
300
女职工
50
100
150
合计
125
325
450