2023~2024学年安徽亳州高三第二学期高考数学试题{一模}带解析

这是一份2023~2024学年安徽亳州高三第二学期高考数学试题{一模}带解析，共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】D
【分析】先解对数不等式求出集合，再求即可.
【详解】由，得，所以，即，
所以.
故选：D
2．若正四棱台的上、下底面边长分别为1，2，高为3，则该正四棱台的体积为（ ）
A．5B．7C．D．
【正确答案】B
【分析】根据棱台的体积公式即可求解.
【详解】.
故选：B
3．已知，若，则（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】C
【分析】由已知条件算出即可求解.
【详解】因为，所以，
因为，
所以，
所以.
故选：C.
4．如图，小明从街道的出发，选择一条最短路径到达处，但处正在维修不通，则不同的路线有（ ）种

A．66B．86C．106D．126
【正确答案】B
【分析】求出从A到C不同的路线总数，减去从A到C的过程中途经B处的路线数，即可得出答案.
【详解】要使A到C的路径最短，则小明到达每个网格点后只能选择向右或向上走到下一个网格点，且选择向右的次数为5，选择向上的次数为4，总共9次选择，所以从A到C总共有种不同的路线，
同样，从A到B相当于在4次选择中3次向右，1次向上，所以A到B总共有种不同的路线，
从B到C相当于在5次选择中2次向右，3次向上，所以B到C总共有种不同的路线，
故从A到C的过程中途经B处的路线数为4×10＝40种，
但B处正在维修不通，则不同的路线有126－40＝86种．
故选：B.
5．在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1可能被错误的接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号为1时，接收为1和0的概率分别为和.假设发送信号0和1是等可能的.已知接收到1的概率为0.525，则的值为（ ）
A．0.8B．0.85C．0.9D．0.95
【正确答案】D
【分析】分发送信号0或1两类情况，利用全概率事件的概率求解.
【详解】解：由题意得：，
解得，
故选：D.
6．元代数学家朱世杰所创立的“招差术”是我国古代数学领域的一项重要成就，曾被科学家牛顿加以利用，在世界上产生了深远的影响.已知利用“招差术”得到以下公式：，具体原理如下：，，类比上述方法，的值是（ ）
A．90B．210C．420D．756
【正确答案】C
【分析】由类比把通项化为
，相加即可求和.
【详解】.
故选：C
7．已知平面向量、、满足，，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【正确答案】A
【分析】由已知可得，利用平面向量数量积的运算可得，设，可得出，结合正弦型函数的值域可得出的取值范围.
【详解】因为平面向量、、满足，，，
则，
所以，
，
即，即，
即，
令，则，
上述两个等式相加可得，
则.
故选：A.
8．狄利克雷（1805～1859）Dirichlet，PeterGustavLejeune德国数学家.对数论、数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一.他提出了著名的狄利克雷函数，狄利克雷函数是数学分析中典型的病态函数.则关于有以下结论中不正确的是（ ）
A．
B．
C．存在使得以点为顶点的三角形是等腰直角三角形
D．设函数，则
【正确答案】C
【分析】结合定义，根据选项，讨论的情况，即可判断选项.
【详解】A.若为有理数，则都是有理数，则，
若是无理数，则都是无理数，则，故A正确；
B.若为有理数，，则都是有理数，则，若为无理数，，则都是无理数，则，故B正确；
.设①当在轴上，则为无理数，且，则为无理数，矛盾②当不在轴上，则和为有理数，则为无理数，矛盾，均不存在，故C错误；

.，故，故D正确.
故选：C
二、多选题
9．已知且，若，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．的最大值是4
D．若，则在复平面内对应的点在第一象限
【正确答案】ABC
【分析】设复数，，，根据复数代数形式的乘法运算判断A，根据共轭复数的定义判断B，求出，再表示出，即可求出的最大值，从而判断C，若则，即可求出，根据复数的几何意义判断D.
【详解】设复数，，，
，①，
所以，故A正确；
，，
又，即，所以，
所以，则，，，
所以，故B正确；
因为，
当时，取到最大值，故C正确；
若，则，即，，
所以，则，则在复平面内对应的点为，位于在第四象限，故D错误.
故选：ABC．
10．已知为抛物线的焦点，为其准线与轴的交点，为坐标原点.直线与该抛物线交于、两点.则以下描述正确的是（ ）
A．线段的长为4B．的面积为
C．D．抛物线在、两点处的切线交于点
【正确答案】BC
【分析】联立直线与抛物线方程求出交点坐标，根据焦半径公式判断A、B，利用数量积的坐标表示判断C，利用导数求出切线方程，即可判断D.
【详解】抛物线的焦点为，准线为，所以，
由，消去整理得， 解得，，
此时，，则，，，
即，，或，，
所以或，故A错误；
因此，
因此原点到直线的距离等于，
所以，故B正确；
，故C正确；
对于D：不妨取，，由，，则，
则过的切线方程为，即，
显然曲线在点处的切线不过，故D错误；
故选：BC
11．已知三个内角、、的对应边分别为、、，且，.则下列结论正确的是（ ）
A．面积的最大值为
B．
C．的最大值为
D．的取值范围为
【正确答案】ACD
【分析】利用基本不等式、余弦定理可求得的最大值，结合三角形的面积公式可判断A选项；利用余弦定理可判断B选项；利用正弦定理、平面向量数量积的定义、三角恒等变换化简，结合正弦函数的基本性质可判断C选项；利用三角恒等变换可得出，结合正切函数的基本性质可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为，，由余弦定理和基本不等式可得
，即，
当且仅当时，等号成立，
故，
所以，的面积的最大值为，A对；
对于B选项，，B错；
对于C选项，由正弦定理可得，则，
因为，则，所以，，
由平面向量数量积的定义可得
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最大值为，C对；
对于D选项，因为，则，
由题意可知，，所以，，
，
当时，，则；
当时，，则.
综上所述，的取值范围为，D对.
故选：ACD.
12．正方体棱长为是直线上的一个动点，则下列结论中正确的是（ ）
A．的最小值为
B．的最小值为
C．若为直线上一动点，则线段的最小值为
D．当时，过点作三棱锥的外接球的截面，则所得截面面积的最小值为
【正确答案】AC
【分析】的最小值为等边三角形的高，可求解A；将与矩形沿着翻折到一个平面内，可知的最小值为，进而利用余弦定理求解B；转化问题为求异面直线和之间的距离，进而建立空间直角坐标系利用向量求解C；结合可得的坐标，进而得到，根据过点的外接球的截面时，所得截面面积最小，进而求解D.
【详解】对于A，在中，，
所以为边长为的等边三角形，
所以的最小值为的高，此时为中点，
即，故A正确；
对于B，将与矩形沿着翻折到一个平面内，
如图所示，所以的最小值为，此时三点共线，
又，，，即，
由余弦定理得，，
即，
即，故B错误；

对于C，根据题意，即求异面直线和之间的距离，
分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
则，，，
设直线与的共垂线向量为，
则，即，
即，可取，
所以异面直线和之间的距离为，
所以线段的最小值为，故C正确；
对于D，设三棱锥的外接球心为，当过点的外接球的截面时，所得截面面积最小，
因为，由选项C知，，
则，
而三棱锥的外接球即为正方体的外接球，
所以三棱锥的外接球直径为正方体的体对角线，
即，即三棱锥的外接球半径为，
所以所在圆的直径，
所以所得截面面积为，故D错误.
故选：AC.

三、填空题
13．展开式中的系数为__________.
【正确答案】56
【分析】根据多项式乘法法则，求得中的系数，应用乘法法则计算可得．
【详解】展开式中含的项为：．
故56．
14．已知两定点，如果动点满足，点是圆上的动点，则的最大值为__________.
【正确答案】12
【分析】首先求点的轨迹方程，再利用数形结合求的最大值.
【详解】设点，则，
整理为：，
设圆的圆心为，圆的圆心为，

如图，可知，的最大值是圆心距加两个圆的半径，即.
故12
15．椭圆的左、右焦点分别为，过点作的角平分线交椭圆的长轴于点，则点的坐标为__________.
【正确答案】
【分析】根据角平分线定理可得，利用坐标运算即可得答案.
【详解】
椭圆的左、右焦点分别为，又
由角平分线知，则，解得，所以点坐标为.
故答案为.
四、双空题
16．将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，余下的区间段长度为；再将余下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，余下的区间段长度为．以此类推，不断地将余下各个区间均分为三段，并各自去掉中间的区间段．重复这一过程．记数列表示第n次操作后余下的区间段长度．
（1）______；
（2）若，都有恒成立，则实数的取值范围是______．
【正确答案】
【分析】（1）根据题目条件，可以分别求出的取值；
（2）结合（1）以及题目条件，先求出，，恒成立，转化为，再利用函数的单调性，即可求得本题答案.
【详解】（1）由题意可知，，，，所以；
（2）结合（1）以及题目条件，可知数列是一个等比数列，且首项，公比，所以，
因为，都有恒成立，且，
所以恒成立，只需，
记，，显然，
所以，令，即，
化简得，，解得，又，
所以当且时，，即单调递减，
又，，，
，，
所以，
综上，当时，取最大值，
所以，即实数的取值范围是．
故；
五、解答题
17．已知四棱锥中，侧面为等边三角形，底面为直角梯形，，，，.

(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由题意，利用勾股定理逆定理证明，由已知，证明平面，从而证明平面平面；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）四棱锥中，，，
则，，，
，
，
又，且，平面，
平面，又平面，
平面平面，即平面平面；
（2）如图建立空间直角坐标系，则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.

18．已知函数的部分图象如图所示.

(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若方程在上有解，求实数的取值范围.
【正确答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数的图象求得A和，再将代入求解；
（2）由（1）得到，再令，转化为二次方程求解.
【详解】（1）解：由函数的图象知：，则，
所以，，
因为，
所以，则，
又因为，则，
所以；
（2）由题意得：，
令，
则化为：，
即在上有解，
由对勾函数的性质得：，
所以.
19．数列中，
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明.
【正确答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用累加法计算可得；
（2）由（1）可得，再利用裂项相消法求和即可得证.
【详解】（1）因为，即，
所以当时，，
将以上各式相加，得，则，
当时也符合上式，故.
（2）由题意.
所以
20．某中学对学生钻研理工课程的情况进行调查，将每周独立钻研理工课程超过6小时的学生称为“理工迷”，否则称为“非理工迷”，从调查结果中随机抽取100人进行分析，得到数据如表所示：
(1)根据的独立性检验，能否认为“理工迷”与性别有关联？
(2)在人工智能中常用表示在事件发生的条件下事件发生的优势，在统计中称为似然比.现从该校学生中任选一人，表示“选到的学生是非理工迷”，表示“选到的学生是男生”请利用样本数据，估计的值.
(3)现从“理工迷”的样本中，按分层抽样的方法选出6人组成一个小组，从抽取的6人里再随机抽取3人参加理工科知识竞赛，求这3人中，男生人数的概率分布列及数学期望.
参考数据与公式：
，其中.
【正确答案】(1)认为理工迷与性别无关
(2)
(3)分布列见解析，数学期望为2
【分析】（1）计算出卡方，即可判断；
（2）根据条件概率公式计算可得；
（3）首先利用分层抽样求出男生、女生抽取的人数，则的所有可能取值为，，，求出所对应的概率，从而得到分布列与数学期望.
【详解】（1）提出假设：“理工迷”与性别无关.
则，而，
根据的独立性检验，可以推断成立，所以认为理工迷与性别无关.
（2）因为，
所以估计的值为.
（3）按照分层抽样，男生抽取人，女生抽取人，
随机变量的所有可能取值为，，，
所以，，，
所以的分布列为：
则.
21．双曲线的光学性质如下：如图1，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为分别为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后（在同一直线上），满足.

(1)当时，求双曲线的标准方程；
(2)过且斜率为2的直线与双曲线的两条渐近线交于两点，点是线段的中点，试探究是否为定值，若不是定值，说明理由，若是定值，求出定值.
【正确答案】(1)
(2)是定值，定值为
【分析】（1）延长与交于，根据，得到，再设，利用双曲线的定义求解；
（2）设，利用双曲线的定义得到两渐近线所在直线方程，设直线方程为，联立求得即可.
【详解】（1）解：如图所示：

延长与交于，
因为，
所以，
设，则，即，
，
故方程为；
（2）设，
则，
，
两渐近线所在直线方程为：，
设直线方程为，将渐近线两侧平方与直线联立，
则可得，则，
则，
故.
22．已知函数.
(1)讨论函数的极值点个数；
(2)当，方程有两个不同的实根时，且恒成立，求正数的取值范围.
【正确答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）首先求函数的导数，讨论，并结合零点存在性定理，判断极值点的个数；
（2）首先利用零点，将等式转化为，再构造函数，再利用导数，讨论的取值，结合端点取值，即可求的取值范围.
【详解】（1）由题可得设，，
①当时，递增，且，所以有一个变号零点，
②当时，在上递增，在上递减，且，
[1]当时，即时，所以无变号零点；
[2]当，即时，，
由取，则，所以有两个变号零点；
综上：当时，有1个极小值点，无极大值点；
当时，有1个极小值点和1个极大值点；
当时，无极值点.
（2）时，即即有两个不同的根，
，，
，
即，即，
.
下证对恒成立，
设，
①当时，，
；
②当时，，
使得时，，所以在上，，在上，，不存在使不等式成立；
综上.
关键点点睛：本题考查利用导数结合函数性质，零点，不等式恒成立的综合应用问题，本题第二问的关键首先利用零点，变形，并构造函数为，利用导数，尤其是和端点值比较大小，求参数的取值范围.
理工迷
非理工迷
总计
男
24
36
60
女
12
28
40
总计
36
64
100
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
1
2
3