北京市海淀区2023_2024学年高一数学下学期7月期末考试含解析

这是一份北京市海淀区2023_2024学年高一数学下学期7月期末考试含解析，共20页。试卷主要包含了考试结束，请将本试卷交回等内容，欢迎下载使用。
2．在试卷上准确填写学校名称、班级名称、姓名．
3．答案一律填涂或书写在试卷上，用黑色字迹签字笔作答．
4．考试结束，请将本试卷交回．
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 若复数满足，则的虚部为（）
A. B. 2C. D.
2. 已知向量，则（）
A. 0B. C. D.
3. 函数的部分图象如图所示，则其解析式为（）
A. B.
C. D.
4. 若，且，则（）
AB. C. D. 7
5. 在中，点D满足，若，则（）
A. B. C. 3D.
6. 已知，则下列直线中，是函数对称轴为（）
A. B. C. D.
7. 在平面直角坐标系xOy中，点，点，其中．若，则（）
A. B. C. D.
8. 在中，已知．则下列说法正确的是（）
A. 当时，是锐角三角形B. 当时，是直角三角形
C. 当时，是钝角三角形D. 当时，是等腰三角形
9. 已知是非零向量，则“”是“对于任意的，都有成立”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
10. 定义域为函数的图象的两个端点分别为．点是的图象上的任意一点，其中，点N满足向量，点O为坐标原点．若不等式恒成立，则称函数在上为k函数．已知函数在上为k函数，则实数k的取值范围是（）
A. B. C. D.
二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．
11. 知复数z满足，则__________，__________．
12. 在中，，P满足，则____________．
13. 在中，若，则k的一个取值为__________；当时，__________．
14. 一名学生想测算某风景区山顶上古塔的塔尖距离地面的高度，由于山崖下河流的阻碍，他只能在河岸边制定如下测算方案：他在河岸边设置了共线的三个观测点A，B，C（如图），相邻两观测点之间的距离为200m，并用测角仪器测得各观测点与塔尖的仰角分别为,,,根据以上数据，该学生得到塔尖距离地面的高度为__________m．
15已知函数，给出下列四个结论：
①对任意的，函数是周期函数；
②存在，使得函数在上单调递减；
③存在，使得函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形；
④对任意的，记函数的最大值为，则．
其中所有正确结论的序号是__________．
三、解答题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 已知函数．
（1）求的值和的零点；
（2）求的单调递增区间．
17. 已知．
（1）求；
（2）若，求的最小值．
18. 在中，．
（1）求A的大小；
（2）若，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求最长边上高线长．
条件①：；
条件②：的面积为；
条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
19. 已知n维向量，给定，定义变换；选取，再选取一个实数x，对的坐标进行如下改变：若此时，则将同时加上x．其余坐标不变；若此时，则将及同时加上x，其余坐标不变．若a经过有限次变换（每次变换所取的i，x的值可能不同）后，最终得到的向量满足，则称a为k阶可等向量．例如，向量经过两次变换可得：，所以是2阶可等向量．
（1）判断是否是2阶可等向量？说明理由；
（2）若取1，2，3，4的一个排序得到的向量是2阶可等向量，求；
（3）若任取的一个排序得到的n维向量均为k阶可等向量．则称为k阶强可等向量．求证：向量是5阶强可等向量．
海淀区高一年级练习
数学
2024.07
学校__________班级__________姓名__________
考生须知1．本试卷共6页，共三道大题，19道小题．满分100分．考试时间90分钟．
2．在试卷上准确填写学校名称、班级名称、姓名．
3．答案一律填涂或书写在试卷上，用黑色字迹签字笔作答．
4．考试结束，请将本试卷交回．
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 若复数满足，则的虚部为（）
A. B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再判断其虚部.
【详解】因为，所以，
所以的虚部为.
故选：A
2. 已知向量，则（）
A. 0B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量的数量积的坐标表示计算．
【详解】由题意，
故选：B．
3. 函数的部分图象如图所示，则其解析式为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由最小值求得，由求得，再结合最小值点和周期求得．
【详解】由图象知，
所以，
则或，
又，所以，
，，，，
又，，已知，所以，所以，
故选：D．
4. 若，且，则（）
A. B. C. D. 7
【答案】D
【解析】
分析】根据正弦得到正切值，利用正切差角公式计算出答案.
【详解】因为，所以，
又，所以，
故，
所以.
故选：D
5. 在中，点D满足，若，则（）
A. B. C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平面向量的三角形法则即可得解
【详解】如图，因为在中，，
所以，
又，所以,
所以，
故选：B.
6. 已知，则下列直线中，是函数对称轴的为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】举例说明判断ABD；利用轴对称的意义判断C.
【详解】依题意，，解得，
对于A，，，则函数的图象关于不对称，A不是；
对于B，，，则函数的图象关于不对称，B不是；
对于C，，即，
，则函数的图象关于对称，C是；
对于D，，，则函数的图象关于不对称，D不是.
故选：C
7. 在平面直角坐标系xOy中，点，点，其中．若，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先的坐标，然后求出模长，然后结合辅助角公式化简，建立关于的方程，解方程即可得解.
【详解】因平面直角坐标系xOy中，点，点
所以
所以
又
所以，即
所以，又因为
所以，即，
故选：A.
8. 在中，已知．则下列说法正确的是（）
A. 当时，是锐角三角形B. 当时，是直角三角形
C. 当时，是钝角三角形D. 当时，是等腰三角形
【答案】B
【解析】
【分析】根据边长应用正弦定理计算分别判断各个选项.
【详解】对于A:因为由正弦定理,
当时，是钝角三角形,
当时，是钝角三角形,A选项错误；
对于B:因为,由,
所以是直角三角形,B选项正确；
对于C:因为,由
当时，,是锐角三角形,C选项错误；
对于D:因为,由,,,
因为，所以不是等腰三角形,D选项错误；
故选：B.
9. 已知是非零向量，则“”是“对于任意的，都有成立”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据充分条件、必要条件的定义及数量积的运算律判断即可.
【详解】因为是非零向量，
若，则，
所以
，
所以对于任意的，都有成立，故充分性成立；
若对于任意的，都有成立，
则，即，
所以，所以，所以，故必要性成立；
所以“”是“对于任意的，都有成立”的充要条件.
故选：C
10. 定义域为的函数的图象的两个端点分别为．点是的图象上的任意一点，其中，点N满足向量，点O为坐标原点．若不等式恒成立，则称函数在上为k函数．已知函数在上为k函数，则实数k的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出两个端点，设的横坐标为，纵坐标为，进一步确定，从而求出，求出，得到答案.
【详解】在上的两个端点分别为，
设的横坐标为，纵坐标为，则，
故，
，
故，，
所以，
当时，等号成立，
故实数k的取值范围为.
故选：B
二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．
11. 知复数z满足，则__________，__________．
【答案】 ①. ； ②. .
【解析】
【分析】根据复数的运算法则，及共轭复数的定义即可求解
【详解】因为，所以；所以的共轭复数，
故答案为：，
12. 在中，，P满足，则____________．
【答案】0
【解析】
【分析】根据已知及数量积运算律，即可求解.
【详解】由题意可知，.
故答案为：
13. 在中，若，则k的一个取值为__________；当时，__________．
【答案】 ①. （答案不唯一） ②. 1
【解析】
【分析】根据正弦定理，可以进行边化角，然后得到，根据，可得k的取值，又，即可得到的具体值.
【详解】因为，由正弦定理可得，
，又，所以，
所以，又，取，所以，
所以当时，，
故答案为：，1.
14. 一名学生想测算某风景区山顶上古塔的塔尖距离地面的高度，由于山崖下河流的阻碍，他只能在河岸边制定如下测算方案：他在河岸边设置了共线的三个观测点A，B，C（如图），相邻两观测点之间的距离为200m，并用测角仪器测得各观测点与塔尖的仰角分别为,,,根据以上数据，该学生得到塔尖距离地面的高度为__________m．
【答案】
【解析】
【分析】首先根据几何关系表示边长，再根据余弦定理求解.
【详解】由题意可知，，，，，
设，则，，，
根据，
则，解得：
所以塔尖距离底面的高度为米.
故答案为：
15. 已知函数，给出下列四个结论：
①对任意的，函数是周期函数；
②存在，使得函数在上单调递减；
③存在，使得函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形；
④对任意的，记函数的最大值为，则．
其中所有正确结论的序号是__________．
【答案】①②③
【解析】
【分析】根据周期函数的定义可以证明①，取时可以判断②，取时可以判断③、④.
【详解】对于①，令，则
，
所以对任意的，函数是周期函数，故①正确；
对于②，当时，，所以
所以，
当时，
即，
因为，所以，易知在上单调递减，
即存在，使得函数在上单调递减，故②正确；
对于③，当时，令，即，易知定义域为R.
因为
所以图象关于轴对称；
又因为，
所以为奇函数，图象关于原点中心对称，
所以存在，使得函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形；故③正确；
对于④，假设④为假命题，则它的否定：
“存在，记函数的最大值为，则”为真命题，
由③知，当时，
所以，所以，存在，函数的最大值为，则，所以假设成立，即④为假命题，
故答案为：①②③.
三、解答题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 已知函数．
（1）求的值和的零点；
（2）求的单调递增区间．
【答案】（1），的零点为；
（2）的单调递增区间为.
【解析】
【分析】（1）先应用诱导公式及两角和差化简，再根据正弦函数的对称中心求出零点即可；
（2）应用正弦函数的单调区间求解即可.
【小问1详解】
令，所以．
所以的零点为
【小问2详解】
因为的单调递增区间为
所以．
所以
所以函数的单调递增区间为
17. 已知．
（1）求；
（2）若，求的最小值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）先求，然后直接求的平方即可得解；
（2）利用向量的运算律，将转化为关于的二次函数，然后求出最值即可.
小问1详解】
因为，
，
因为
所以，
【小问2详解】
由（1）知，，
因为
所以当时，的最小值为
18. 在中，．
（1）求A的大小；
（2）若，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求最长边上高线的长．
条件①：；
条件②：面积为；
条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）；
（2）答案见解析，最长边上高线长.
【解析】
【分析】（1）利用二倍角的余弦公式，化简求值；
（2）若选择条件①，方法一，根据正弦定理和余弦定理求三边，判断最长边，再根据几何关系求高，方法二，根据边长和角，根据大角对大边，直接判断最长边，再求高；
若选择条件②，根据面积求，再根据余弦定理求边长，再求最长边的高；
如选择条件③，根据正弦定理，判断是否存在.
【小问1详解】
因为，所以
所以，
所以，因为，所以舍
所以，则；
【小问2详解】
选择①
因为，由正弦定理
代入，得
法一：
由余弦定理
代入得
所以
所以或（舍），所以边最长，
边上的高线
法二：
因为，所以，
所以，所以，所以为最长边
边上的高线
选择②
因为
所以
因为，由余弦定理
所以
所以或
所以最长边上的高线，
若选择③，，
根据正弦定理，，则，不成立，
此时不存在.
19. 已知n维向量，给定，定义变换；选取，再选取一个实数x，对的坐标进行如下改变：若此时，则将同时加上x．其余坐标不变；若此时，则将及同时加上x，其余坐标不变．若a经过有限次变换（每次变换所取的i，x的值可能不同）后，最终得到的向量满足，则称a为k阶可等向量．例如，向量经过两次变换可得：，所以是2阶可等向量．
（1）判断是否是2阶可等向量？说明理由；
（2）若取1，2，3，4的一个排序得到的向量是2阶可等向量，求；
（3）若任取的一个排序得到的n维向量均为k阶可等向量．则称为k阶强可等向量．求证：向量是5阶强可等向量．
【答案】（1）是2阶可等向量，理由见解析；
（2）5； （3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据的定义即可求解，
（2）根据的定义即可求解，，即可结合是2阶可等向量求解，
（3）根据是阶可等向量，等价于是阶可等向量，即可根据变换求证.
【小问1详解】
是2阶可等向量．
例如经过两次变换可得：
【小问2详解】
设进行一次变换后得，
当时，
当时，
当时，
当时，
综上，我们得到
．
因为是2阶可等向量，即
所以．
所以
【小问3详解】
任取的一个排序，记为．
注意到，是阶可等向量，等价于是阶可等向量．
变换即对连续五个维度坐标（首尾也看成连续）同时加上，
相当于对剩余两个连续维度的坐标同时加上．
对依次加上，相当于对单独加上；
对依次加上，相当于对单独加上；
……
基于上述分析，相当于可以对分别单独加上．
所以为5阶可等向量，为5阶强可等向量．
【点睛】方法点睛：对于新型定义，首先要了解定义的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.