黑龙江省哈尔滨市第六中学2025届高三下学期第二次模拟检测数学试题（Word版附解析）

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时间：120 分钟 满分：150 分
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选
项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 设集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别解分式不等式与一元二次不等式得集合 ，再根据集合的交集运算即可.
【详解】由 可得 ，所以 ，
由 可得 ，所以 ，
则 .
故选：C.
2. 若复数 满足 （其中 i 是虚数单位），则 的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用复数的除法运算法则，计算出 ，可得 ，所以 的虚部为 .
【详解】 ， ，
，
所以 的虚部为 .
故选：A.
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3. 设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据等差数列的前 项和公式可得 ，再结合等差数列的性质判断 的符号，即可得出答案.
【详解】由 ，得 ，
又 ，则 ，
所以公差 ，
故当 时， ，当 时， ，
所以当 时， 最大.
故选：B.
4 已知 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】运用两角和与差 正弦公式，结合已知条件即可求解.
【详解】
，即
故选：D.
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5. 已知非零向量 在向量 上的投影向量为 ， ，则 （ ）
A. B. 2 C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】由投影向量的定义代入计算可得 ，再由数量积的运算律代入计算，即可得到结果.
【详解】由向量 在向量 上的投影向量为 可得 ，
即 ，又 ，所以 ，
所以 .
故选：C
6. 定义双曲余弦函数表达式为 ，定义双曲正弦函数的表达式为 .设函数
，若实数 满足不等式 ，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件分析函数 的单调性和奇偶性，不等式等价变形可得 ，解不等式可得结
果.
【详解】由题意得， 的定义域为 ，
∵ ，∴ 为奇函数，
∵ ，且 在 上为减函数，
∴ 在 上为增函数.
∵ ，∴ ，
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∴ ，解得 ，即 的取值范围为 .
故选：B.
7. 已 知 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， ， ， 动 点 满 足 ， 点 为 抛 物 线
上一动点，且点 在直线 上的投影为 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题干的条件即可求得 满足的轨迹方程为圆，再利用距离最小即 四
点共线时，即可求得最小值.
【详解】
因为 ，动点 满足 ，
设 ，则 ，两边同时平方整理得： ，
即点 P 的轨迹是以 为圆心，以 为半径的圆；
因为点 在直线 上的投影为 ，
又抛物线上的点到焦点 的距离与到准线 的距离相等，故 ,
故
当且仅当 四点共线时， 取得最小值，
最小值为 ,
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故
.
故选：D
8. 如图所示，将绘有函数 部分图象的纸片沿 轴折成钝二面角，
此二面角的平面角为 ，此时 ， 之间的距离为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，作出二面角的平面角，结合等腰三角形性质求出 ，利用周期求出 ，
再由勾股定理求出 ，根据图象过点 即可得解.
【详解】过 分别作 轴的垂线，垂足分别为 ，在平面 内作 轴， 轴交于点
，
连接 ，则 是二面角 平面角，即 ，
则 ，由 轴垂直于 ， 平面 ，
得 轴垂直于平面 ，又 轴，则 平面 ，而 平面 ，因此 ，
又函数 的周期 ，即 ，
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由勾股定理得 ，即 ，解得 ，
而函数 的图象过点 ，则 ，即 ，
又 ，且 0 在 的递减区间内，所以 .
故选：B
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列说法中正确的是（ ）
A. 已知随机变量 ， ，则
B. 根据小概率值 的独立性检验推断两个分类变量 与 是否有关联，经计算
，可以推断两个变量有关联，该推断犯错误的概率不超过 0.05
C. 一个袋子中有大小和质地完全相同的 6 个球（标号为 1，2，3，4，5，6），从袋中不放回地依次随机摸
出 2 个球.设事件 “第一次摸到标号小于 4 的球”，事件 “第二次摸到标号小于 4 的球”，则 与 相
互独立
D. 甲、乙两组数据，甲组有 8 个数据，平均数为 210，方差为 1，乙组有 12 个数据，平均数为 200，方差
为 1，则甲乙两组数据组成的总样本的方差为 25
【答案】BD
【解析】
【分析】利用二项分布及正态分布求出概率判断 A；利用独立性检验判断 B；利用相互独立事件的概率公式
判断 C；利用分层抽样的方差公式计算判断 D.
【详解】对于 A，由随机变量 ，得 ，由 ，得
，A 错误；
对于 B，由独立性检验知，B 正确；
对于 C， ，C 错误；
对于 D，甲乙两组数据组成的总样本的平均数为 ，
因此甲乙两组数据组成的总样本的方差为 ，D 正确.
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故选：BD
10. 已知平行四边形 中， 为边 上的一列点，连接 交 于 ，点
满足 ，其中数列 的首项为 1，数列 满足 ，数列 的前
项和为 ，实数 满足 对 恒成立（ ）
A. 是等比数列 B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由向量的三点共线可得 ，再由递推公式即可判断 AB，结合裂项相消法代入计算，即
可求得 ，从而判断 CD.
详解】
由 可得
因为 三点共线，所以 ，即 ，
即 ，又 ，
所以数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，
则 ，所以 ，故 AB 正确；
又 ，
所以
，故 C 错误；
由实数 满足 对 恒成立，即 ，
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且 ， ，所以 ，
则 ，所以 ，故 D 正确；
故选：ABD
11. 平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度.曲率半
径主要是用来描述曲线上某处曲线弯曲变化的程度.如：圆越小，曲率越大；圆越大，曲率越小.定义函数
的曲率函数 （其中 是 的导数， 是 的导数），函数 在
处的曲率半径为此处曲率 的倒数，以下结论正确的是（ ）
A. 函数 在无数个点处的曲率为 1
B. 函数 ，则曲线在点 与点 处的弯曲程度不相同
C. 函数 的曲率恒为 1
D. 若函数 在 与 处的曲率半径相同，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据新定义结合导函数二次求导可得 A 正确；根据新定义结合导函数二次求导以及偶函数的性质
可得 B 错误；根据新定义结合导函数二次求导可得 C 正确；根据新定义结合导函数二次求导，再利用换元
法结合基本不等式可得 D 正确.
【详解】对于 A，已知 ，则 ， ，
根据曲率函数 ，可得
当 ， 时， ， ，此时 ，
所以函数 在无数个点处的曲率为 1，故 A 正确；
对于 B，对于 ， ， ，
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则 ，因为 ，所以 为偶函数，
所以曲线在点 与点 处的弯曲程度相同，故 B 错误；
对于 C， ， ，
则函数 的曲率 ，故 C 正确；
对于 D， ， ，
则函数 的曲率半径 ， ，
依题意， ，则 ，即 ，
设 ， ，则 ，
则 ，则 ，
整理得 ，
而 ，则 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，故 D 正确.
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故选：ACD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 若 展开式的二项式系数之和为 64，则展开式中的常数项是______.
【答案】240
【解析】
【分析】根据二项式系数和为 ，求出 ，即可求出二项式展开式中常数项.
【详解】因 二项式系数和 ，
因此 ，
又 ，
令 ，常数项为 .
故答案为：240.
13. 已知椭圆 的上顶点为 ，点 ， 均在 上，且关于 轴对称.若直线 ，
的斜率之积为 ，则椭圆 的离心率为______.
【答案】
【解析】
【分析】设 ，则 ，根据斜率公式结合题意可得： ，再结合椭圆方程，整
理可得离心率．
【详解】根据题意可得 ，
设 ，则 ，
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所以 ， ，
因为直线 ， 的斜率之积为 ，
所以 ，
因为点 在椭圆上，
所以 ，即 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，即
所以离心率 ，
故答案为： ．
14. 已知四棱柱 中，底面 是边长为 的菱形且 ， 底面
， ，点 是四棱柱 表面上的一个动点，且直线 与 所成的角为 ，则
点 的轨迹长度为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据四棱柱的性质可得点 的轨迹是以 为轴的圆锥的侧面与四棱柱 的表面
的交线，分析点 在各平面的轨迹，计算轨迹长度可得结果.
【详解】∵ ，直线 与 所成的角为 ，
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∴直线 与 所成的角为 ，
∴点 的轨迹是以 为轴（其中 为顶点），母线与轴所成角为 的圆锥的侧面与四棱柱
的表面的交线．
如图，在线段 和 上分别取点 ，使得 ，连接 ，
∵在四棱柱 中， 底面 ，
∴ 平面 ，
∵ 平面 ，∴ ，
∴ ，故 ，
∴点 在四边形 与四边形 上的运动轨迹为线段 和 ，且
.
当 在四边形 上运动时，其轨迹是以 为圆心， 为半径，圆心角为 的圆弧，
故点 在四边形 上运动的轨迹长度为 ，
综上得，点 的轨迹长度为 ．
故答案为： .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 .
（1）求 ；
（2）已知 是边 上的点， ， ，求 的最小值.
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【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先应用正弦定理角化边，再结合余弦定理求解即可；
（2）先根据面积公式列式得出 ，最后应用基本不等式计算求解最小值即可.
【小问 1 详解】
在 中，由 及正弦定理，得 ，
整理得 ，由余弦定理得 ，
而 ，所以 .
【小问 2 详解】
如图：
由 ，得 ，则 ，即 ，
所以 ，
当且仅当 时取等号，
所以 的最小值为 .
16. 如图，在五面体 中，四边形 是矩形， ， ，
， .
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（1）证明：平面 平面 ；
（2）求五面体 的体积；
（3）求平面 与平面 夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由勾股定理与矩形可得线线垂直，利用线面垂直的判定与面面垂直的判定，可得答案；
（2）将图形分割为三棱柱与四棱锥，利用三棱柱与四棱锥的体积公式，可得答案；
（3）由题意建立坐标系，求得平面的法向量，根据面面角的向量公式，可得答案.
【小问 1 详解】
证明：取棱 的中点 G，连接 ，
易证四边形 为平行四边形，则 ，
因为 ，所以 ，所以 ．
因为四边形 是矩形，所以 ．
因为 ， 平面 ，且 ，所以 平面 ．
因为 平面 ，所以平面 平面 ．
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【小问 2 详解】
取棱 的中点 O，连接 ．
因为 ，所以 ， ．
因为平面 平面 ，平面 平面 ，所以 平面 ．
取棱 的中点 H，连接 ，
则 ．
【小问 3 详解】
取棱 的中点 M，连接 ，易证 两两垂直，
以 O 为坐标原点， ， ， 的方向分别为 x，y，z 轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ，则 ， ．
设平面 的法向量为 ，则
令 ，得 ．
平面 的一个法向量为 ．
设平面 与平面 所成的角为 ，则 ．
17. 已知函数 ， ，其中 为自然对数的底数.
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（1）若 为 的极值点，求 的单调区间和最大值；
（2）是否存在实数 ，使得 的最大值为 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1） 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ；最大值为
（2）存在 使得 的最大值为
【解析】
【分析】（1）利用 为的极值点求得 的值，进而可得函数的单调区间和最大值；
（2）对导函数 ，分 与进行讨论，得函数的单调性进而求得最值，再由最大值是 求
出 的值．
【小问 1 详解】
， ，
，
若 为 的极值点，
则 ，得 ．
，
当 时， ，当 时， ，
的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ；
的极大值为 ，也即 的最大值为 ．
【小问 2 详解】
， ，
①当 时， 在 上单调递增，
的最大值是 ，
解得 ，舍去；
②当 时，由 ，得 ，
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当 ，即 时，
时， ，函数 在 上单调递增，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
又 在 上的最大值为 ，
，
；
当 ，即 时， 在 上单调递增，
，
解得 ，舍去．
综上，存在 使得 的最大值为 ．
18. 已知直线 与双曲线 及其渐近线分别交于点 ， 和点 ， .
（1）求实数 的取值范围；
（2）证明： ；
（3）若 ，过双曲线 上一点 向双曲线 作切线 ， ，其斜率分别为 ， ，问
是否存在这样的 ，使得 为定值？若存在，求出 的值及定值 ；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） 或
（2）证明见解析 （3）不存在，使得 为定值
【解析】
【分析】（1）联立方程组，利用判别式即可求解；
（2）根据韦达定理和中点坐标公式得点 ，进而联立直线方程可得点 ， 坐标，即可得 与 的中
点重合，即可求解；
（3）根据相切可利用判别式为 0 得 ， 为方程 的两个
根，进而根据韦达定理化简，结合假设法即可求解．
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【小问 1 详解】
联立 ，得 ，
由题意可得， ，解得 或 ；
【小问 2 详解】
证明：设 ， ，
由（1）可得 ，
设 的中点为 ，则 ，
从而 ，即 ，
又双曲线的渐近线方程为 ，
联立 ，解得 ，
同理可得 ，
则 的中点为 ，故 与 的中点重合，
则 ， ，即 ；
【小问 3 详解】
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设过 且与双曲线 相切的直线方程为 ，
即 ，联立 ，
得 ，
由题意可知，
化简可得 ，
由题意可知，为方程 的两个根，
则 ， ，
故 ，
若 为定值，则有 ，化简得 ，此时 ，
但此时 ，
故不存在 ，使得 为定值．
19. 云南花卉产业作为云南全力打造世界一流“绿色食品牌”的重点产业之一．从起步发展至今仅四十多年
的时间，取得了令人瞩目的成绩．目前云南已成为全球公认的三大最适宜鲜切花种植的区域之一，鲜切花
种植面积和产量位居全球第一，全省花卉种植面积稳定在 190 万亩左右．近 8 年云南省花卉种植面积统计
数据及散点图如图．
（1）经计算得下表中数据，根据散点图，在模型①： 与模型②： ，（ ， ， ，
均为常数）中，选择一个更适合作为云南省花卉种植面积 关于年份代码 的回归方程类型，求出 关于
的回归方程；
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1.5 165 204 16 42 4 6448.3 2060
其中 ， ．
（2）运输过程中，为保证鲜切花质量，需对其存活天数进行研究．一品种鲜切花存活天数为随机变量
，且最多只能存活 天，研究人员发现，存活天数为 的样本在存活天数超过 的
样本里占 25% ，存活天数为 1 的样本在全体样本中占 20%．
①求 ；
②用 表示该品种鲜切花存活天数的数学期望 ．
附： ，
【答案】（1）
（2）① ；②
【解析】
【分析】（1）根据散点图，确定 更适合，再利用换元法，以及题中的数据，代入公式求回归方
程；
（2）①根据条件概率，以及地推关系，可证明数列 是以 首项， 为公比的等比数列，
再根据分段函数的形式列出解析式；②根据①的结果，列式 ，再利用错位相减法，即可求解．
【小问 1 详解】
由散点图可知， 更适合作为云南省花卉种植面积 关于年份代码 的回归方程类型，
令 ，所以 ，
因为 ， ， ， ，
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所以 ，
所以 ，
所以 ；
【小问 2 详解】
①由题可得， ，
当 时， ，
又 ，即 ，
同理可得，当 时， ，
两式相减得 ，
即 ， ，
因为 ，
所以当 时， 是以 为首项， 为公比的等比数列，
当 时， ，
所以 ；
②
，
令 ，
则 ，
两式相减得，
，
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所以 ，
则 ．
第 22页/共 22页