重庆市部分区2024-2025学年高一上学期期末联考数学试题（解析版）

这是一份重庆市部分区2024-2025学年高一上学期期末联考数学试题（解析版），共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为集合，那么.
故选：B.
2. 已知幂函数的图象过点，则（ ）
A．2B．8C．D．16
【答案】A
【解析】设，则，解得：，所以.
故选：A.
3. 若，则有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由，得，解得，所以.
故选：D.
4. 如图，为全集，为的子集，则阴影部分所表示的集合可以为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由韦恩图知，阴影部分不在集合中，在集合中，其集合表示为.
故选：C.
5. 已知函数，则（ ）
A．B．C．D．5
【答案】C
【解析】函数中，，
所以.
故选：C.
6. 设，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】依题意，，
所以.
故选：A.
7. 若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】当时，恒成立，则；
当时，，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：D.
8. 若函数是奇函数，则满足的实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】是奇函数，又定义域为，
所以，得，经检验符合；
所以，
由在上单调递增，易知在上单调递减，
又，所以等价于，所以，
所以不等式的解集为.
故选：A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法中，正确的有（ ）
A．命题，则命题的否定为
B．“”是“”的充要条件
C．命题“对任意实数，二次函数的图象关于轴对称”是真命题
D．命题“若，则”是假命题
【答案】CD
【解析】命题，则命题的否定为，A选项错误；
当时，满足不满足，所以“”不是“”的充要条件，B选项错误；
对任意实数，二次函数的图象关于轴对称，C选项正确；
当时，得，则命题“若，则”是假命题，D选项正确.
故选：CD.
10. 已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A．的定义域为
B．的值域为
C．是奇函数
D．的单调递减区间为和
【答案】ACD
【解析】对于A，函数中，，因此其定义域为，A正确；
对于B，，因此的值域不为，B错误；
对于C，，有，，函数是奇函数，C正确；
对于D，由对勾函数性质知，在上单调递减，在上单调递增，
又是奇函数，则在上单调递减，在上单调递增，
因此的单调递减区间为和，D正确.
故选：ACD.
11. 已知函数的零点分别为，则有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【解析】由题意三个函数零点可转换成，，函数图像与的交点横坐标大小比较，画出图像：
由图像可知，
由，并结合图像可得：，
又，的图像可看做：，向右平移一个单位得到，
所以，的图像关于对称，
且与垂直，相交于，所以，
综上可知ABC正确，D错误.
故选：ABC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的定义域为 .
【答案】
【解析】因为函数，所以，解得，
所以函数的定义域为.
13. 已知都是正实数，若，则的最大值为 .
【答案】
【解析】，可得：，当且仅当时，取等号，
所以的最大值为.
14. 已知函数，若，则的值域为 ；若存在，使得，则的最大值为 .
【答案】 4
【解析】由题意，
所以当时，，当时，，
所以的值域为；
若存在，
，
即存在，，
而的值域为，
所以，因为，
所以，故.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知全集为，集合，集合.
（1）若，求：
（2）若，且，求实数的取值范围.
解：（1）解不等式，得，则，
当时，或，
所以或，.
（2）由（1）知或，
由，得或，
由，得，
所以实数的取值范围是.
16. 已知函数，且.
（1）求的值及函数的定义域：
（2）判断函数的奇偶性，并说明理由.
解：（1）由，可得：，解得，
由可得：，
所以定义域为：.
（2）由（1）可得：，定义域为：；
，
所以函数为偶函数；
17. 若函数.
（1）若，求函数的零点：
（2）若函数在区间内恰有一个零点，求实数的取值范围.
解：（1）若，，
若，则或，
所以函数的零点是.
（2）由题意恰好有一个根，
等价于恰好有一个根，
即恰好有一个根，
令，则函数是增函数，
所以的值域是，
故所求为.
18. 高一数学兴趣小组开展数学建模活动，据统计，一个月内（以30天计），每天到影院观看某部电影的人数与第天间的关系近似满足函数（为正实数），且第10天的观看电影的人数为612人.观看电影的群众的人均消费（单位：元）与第天近似地满足下表：
为了描述人均消费与第天的函数关系，现有以下三种函数模型供选择：
①；
②；
③；
（1）请选择你认为最符合表格中数据关系的函数模型，并求出其解析式：
（2）若第天在此影院观看该部电影的群众总消费为（单位：元），求的最小值.（注：每天在此影院观看该部电影的群众总消费每天的观影人数人均消费且.）
解：（1）由表格，可知的值先增大，后减小，所以显然，函数模型②满足要求，
又由表格可知，，，代入，
得，解得，，，
所以.
（2）因为第10天的观看电影的人数为612人，所以，解得.
易知，
当且时，，
所以，当且仅当时等号成立.
当且时，，
因为为减函数，所以.
综上知，第2天在此影院观看该部电影的群众总消费最小，最小值为29040元.
19. 我们知道，函数图象关于原点对称的充要条件是，结合函数图象平移等知识，该结论可以推广为：函数图象关于点对称的充要条件是.
阅读以上材料，解答下列问题：
（1）直接写出函数图象的对称中心：
（2）若函数，
（i）求证：函数的图象是中心对称图形并求出对称中心点的坐标；
（ii）已知函数的图象关于点对称，且当时，，若对，使得，求实数的取值范围.
解：（1）函数定义域为R，令，
则
，因此函数的图象关于点对称，
所以数图象的对称中心是.
（2）（i）函数中，，即，解得，
因此函数的定义域为，
，
所以函数的图象是中心对称图形，其对称中心点的坐标为.
（ii），函数在上单调递减，
函数在上单调递增，因此函数在上单调递减，
当时，，而，
则函数在上的值域为，
由函数的图象关于点对称，得，即，
当时，，则当时，，
，
函数在上单调递减，在上单调递增，
而，则函数在上单调递增，，
由对，使得，得函数在上的值域包含于，
，当，即时，，
，解得，因此；
当，即时，，，
，函数在上的值域包含于，因此；
当，即时，，，
，函数在上的值域包含于，因此；
当时，，，
解得，因此，
所以实数的取值范围是.