云南省临沧市临翔区第二中学2024-2025学年高一下学期期中考试 数学试卷【含答案】

这是一份云南省临沧市临翔区第二中学2024-2025学年高一下学期期中考试 数学试卷【含答案】，共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|3b”是“a ​2>b ​2”的充分条件
B. “a>b”是“ac ​2>bc ​2”的必要条件
C. “a>b”是“|a|>|b|”的充分条件
D. “a>b”是“a ​2>b ​2”的必要条件
3.已知a>b>0，a+b=2，则( )
A. b+a的最大值是14B. 2a+2b+2的最小值是8
C. a+sinb1
4.下列各组函数表示同一函数的是( )
A. f(x)= x2，g(x)=( x)2B. f(x)=1，g(x)=x0
C. f(x)=3x3，g(x)=(3x)3D. f(x)=x+1，g(x)=x2−1x−1
5.为了给地球减负，提高资源利用率，2019年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚．假设某市2019年全年用于垃圾分类的资金为5000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20％，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元的年份是( )(参考数据：lg1.2≈0.079，lg2≈0.301)
A. 2023年B. 2024年C. 2025年D. 2026年
6.已知θ∈(0,π2)，sin (π4−θ)= 55，则sin (2θ+π3)的值为( )
A. 3 3−410B. 4 3−310C. 3 3+410D. 4 3+310
7.已知向量a=(6,−2)，b=(1,m)，且a⊥b，则|a−2b|=( )
A. 8B. 4 5C. 10D. 8 2
8.在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AA1=2，E为A1B1的中点，若三棱锥E−BCC1的四个顶点均在球O上，过BB1作球O的截面，则所得截面圆面积的最小值为( )
A. 12πB. πC. 32πD. 2π
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z为z的共轭复数，下列命题正确的是( )
A. z·z=z2B. z=z
C. 若z=z，则z为实数D. z和z在复平面内对应的点关于虚轴对称
10.如图所示，四边形A′B′C′D′是由斜二测画法得到的平面四边形ABCD水平放置的直观图，其中，A′D′=5，C′D′=C′B′=2，点P′在线段C′D′上，P′对应原图中的点P，则在原图中下列说法正确的是( )
A. 四边形ABCD的面积为18
B. 与AB同向的单位向量的坐标为−35,45
C. AD在向量AB上的投影向量的坐标为95,−125
D. 3PA+PB的最小值为17
11.对任意两个实数a，b，定义min{a,b}=a,a≤bb,a>b若f(x)=2−x2，g(x)=x2，下列关于函数F(x)=min{f(x),g(x)}的说法正确的是( )
A. 函数F(x)是偶函数B. 方程F(x)=0有三个解
C. 函数F(x)有4个单调区间D. 函数F(x)有最大值为1，无最小值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.命题“∀x∈R，2x2+x+1>0”的否定是______．
13.设x∈C，则方程x+|x|=1+3i的解为____．
14.学生小雨欲制作一个有盖的圆柱形容器，满足以下三个条件：①可将八个半径为20 mm的乒乓球分两层放置在里面；②每个乒乓球都和其相邻的四个球相切；③每个乒乓球与该容器的底面(或上盖)及侧面都相切，则该容器的高为_ mm．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=(csx2+sinx2)(csx2−sinx2)+2 3sinx2csx2．
(1)求函数f(x)的最大值并指出f(x)取最大值时x的取值集合；
(2)若α,β为锐角，cs(α+β)=−1213,f(β)=65，求f(α+π6)的值．
16.(本小题15分)
习近平指出，倡导环保意识、生态意识，构建全社会共同参与的环境治理体系，让生态环保思想成为社会生活中的主流文化.某化工企业探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为2mg/m3，首次改良后所排放的废气中含有的污染数量为1.94mg/m3.设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为r0，首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为r1，则第n次改良后所排放的废气中的污染物数量rn，可由函数模型rn=r0−r0−r1⋅50.5n+p(p∈R,n∈N∗)给出，其中n是指改良工艺的次数．
(1)试求改良后rn的函数模型；
(2)依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过0.08mg/m3.试问：至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标？(参考数据：取lg2=0.3)
17.(本小题15分)
如图所示，正四棱锥P−ABCD中，O为底面正方形的中心，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为 62．E是PB的中点
(1)求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小；
(2)求异面直线PD与AE所成角的正切值；
(3)问在棱AD上是否存在一点F，使EF⊥侧面PBC，若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明理由．
18.(本小题17分)
在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，B=π3．
(1)当c=4 3，S△ABC=3 3时，
(ⅰ)若线段BD是角B的内角平分线，点D在边AC上，求BD的长；
(ⅱ)若点O是ΔABC的外心(即各边垂直平分线的交点)，求BO⋅AC的值；
(2)当c=4 3，AC边上的中线BM= 21时，求A的大小．
19.(本小题17分)
已知幂函数f(x)=p2−3p+3xp2−32p−12(p∈R)满足f2b，但不满足a2>b2.故A项错误．
B项，根据不等式性质，可由ac2>bc2推导出a>b，故a>b是ac2>bc2的必要条件.故B项正确．
C项，若a=−1，b=−2，此时a>b，但不满足|a|>|b|.故C项错误．
D项，若a=−2，b=−1，此时a2>b2，但是不满足a>b.故D项错误．
3.【答案】C
解：对于A，因为a>b>0，a+b=2，所以0lg28−2lg1.2=8×0.301−20.079≈5.16，
∵n∈N∗，∴n≥6，
即从2025年开始该市全年用于垃圾分类的资金超过1.28亿元，
故选C．
6.【答案】D
解：∵θ∈(0,π2)，∴π4−θ∈(−π4,π4)，
又sin(π4−θ)= 55，∴π4−θ∈(0， π4)，
∴cs(π4−θ)= 1−sin2(π4−θ)=2 55，
，
cs(π2−2θ)=2cs2(π4−θ)−1=35=sin2θ，
∴sin(2θ+π3)=sin2θcsπ3+cs2θsinπ3
=35×12+45× 32=3+4 310．
故选D．
7.【答案】B
解：向量a=(6,−2)，b=(1,m)，且a→⊥b→，
所以a⋅b=6−2m=0，解得m=3，所以b=(1,3)，a−2b=(4,−8)，
所以|a−2b|= 42+(−8)2=4 5，
故选B．
8.【答案】B
【解析】解：如图：B1C交BC1于点O，取B1C1的中点D，连接ED，DO，EO，
易得OB1=OC1=OB=OC= 2，
由于OD⊥平面A1B1C1，DE⊂平面A1B1C1，
所以OD⊥DE，
则OE= DO2+DE2= 2，
故三棱锥E−BCC1的外接球的球心为O，球O的半径为 2，
过BB1作球O的截面，当所得截面圆面积最小时，截面圆为以BB1为直径的圆，
此时截面圆半径为1，面积为π．
故选：B．
9.【答案】ABC
【解答】
解：设z=a+bi,a,b∈R,则 z=a−bi，
对于选项A：因为z·z=a+bi·a−bi=a2−b2i2=a2+b2，且z2= a2+b22=a2+b2，所以z·z=z2，故A正确；
对于选项B：因为z= a2+b2,z= a2+−b2= a2+b2，所以z=z，故B正确；
对于选项C：因为z=z，即a+bi=a−bi，故b=0，所以z为实数，故 C正确；
对于选项D：z在复平面内对应的点为a,b，z在复平面内对应的点为a,−b，所以z与z关于实轴对称，故D错误．
故选：ABC．
10.【答案】BD
解：由直观图可得，四边形ABCD为直角梯形，且AD=5,CD=4,BC=2，
则四边形ABCD的面积为2+5×42=14，故A错误；
如图，以点D为坐标原点，DA和DC分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，
则D0,0,A5,0,C0,4,B2,4，则AB=−3,4，AB= −32+42=5，
所以与AB同向的单位向量为ABAB=−35,45，故B正确；
因为AD=−5,0，AB⋅AD=−3×−5+0=15，
则AD在向量AB上的投影向量的坐标为AB⋅AD|AB|⋅AB|AB|=155×AB5=(−95,125)，故C错误；
设P0,y,y∈0,4，则PA=(5,−y)，PB=(2,4−y)，
则3PA+PB=17,4−4y，
3PA+PB= 172+4−4y2，
当(4−4y)2=0，即y=1时，3PA+PB取得最小值17，故D正确，
故选：BD．
11.【答案】ABCD
解：依题意，F(x)={2−x2,x1x2,−1⩽x⩽1
作出图象：
显然函数是偶函数；
当x< −1，0