广东省深圳市红桂中学2024-2025学年九年级上学期数学开学考试试卷

这是一份广东省深圳市红桂中学2024-2025学年九年级上学期数学开学考试试卷，共14页。试卷主要包含了分解因式等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列式子：①x﹣1≥1；②x+2；③﹣2＜0；④；⑤x+2y≤0．其中是不等式的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．（3分）下列博物馆的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）下列各组线段中，能组成直角三角形的一组是（ ）
A．1，2，3B．2，3，4C．4，5，6D．，，
4．（3分）将多项式“4m2﹣？”因式分解，结果为（2m+3）（2m﹣3），则“？”是（ ）
A．3B．﹣3C．9D．﹣9
5．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣2B．x≥﹣2，且x≠0
C．x＞﹣2D．x≤﹣2，且x≠0
6．（3分）如图，平行四边形ABCD中，AD＝8，AB＝6，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE的长为（ ）
A．1B．4C．3D．2
7．（3分）若关于x的分式方程有增根，则a的值为（ ）
A．5B．﹣5C．4D．﹣4
8．（3分）如图，在等边△ABC中，以A为直角顶点作等腰直角△CAD，AF⊥BD分别交BD、CD于点E、F，N为线段BG上一动点，M为线段AD上一动点，且BN＝AM，以下4个结论：①∠CBN＝3∠ABD；②DF＝2EF；③DF＝CF+AF；④当CN+CM的值最小时，∠ACM＝∠DCM．正确的个数为（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．（3分）分解因式：4a2b2﹣8a2b+4a2＝ ．
10．（3分）若关于x的一元一次方程2x﹣m+2＝0的解是负数，则m的取值范围是 ．
11．（3分）若m+n＝3，mn＝2，则m2n+mn2的值为 ．
12．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝5，S△ABC＝15，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AB，交AC于点F，在EF上确定一点P，使PB+PD最小，则这个最小值为 ．
13．（3分）已知正方形ABCD，点E是边AD上的动点，以EC为边作等边三角形ECF，连接BF，交边DC于点G，当BF最小时，∠CGF＝ ．
三．解答题（共7小题，满分61分）
14．（5分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
15．（7分）化简求值：先化简，再从﹣2，2，4，中选择一个合适的数代入并求值．
16．（8分）某校学生会为了解本校初中学生每天做作业所用时间情况，采用问卷的方式对一部分学生进行调查．在确定调查对象时，大家提出以下几种方案：A．对各班班长进行调查；B．对某班的全体学生进行调查；C．从全校每班随机抽取5名学生进行调查．在问卷调查时，每位被调查的学生都选择了问卷中适合自己的一个时间，学生会将收集到的数据整理后绘制成如图所示的条形统计图．
（1）为了使收集到的数据具有代表性．学生会在确定调查对象时应选择方案 （填A，B或C）；
（2）被调查的学生每天做作业所用时间的众数为 h；
（3）根据以上统计结果，估计该校900名初中学生中每天做作业用1.5h的人数．
17．（8分）在二十大后，绿色发展战略升级，各地区为推进碳中和目标，都在加大对新能源汽车的推广．某汽车专卖店乘此机会决定购进A、B两种新能源汽车．经调查：其中A类汽车的进价比B类汽车的进价每辆多4万元，且用480万元购进A类汽车的数量是用160万元购进B类汽车的数量两倍．
（1）求A、B两类新能源汽车的进价分别是每辆多少万元？
（2）该汽车专卖店打算购进A、B两类新能源汽车共60辆，若汽车店将每辆A类汽车定价为16万元出售，每辆B类汽车定价10万元出售，且全部售出后所获得利润不少于200万元，则汽车店至少需购进A类汽车多少辆？
18．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，E，F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使AB＝2AD，连接DE，DF，AE，EF，AF与DE交于点O．
（1）试说明AF与DE互相平分；
（2）若AB＝2，求DE的长．
19．（12分）【定义】对于没有公共点的两个图形M，N，点P是图形M上任意一点，点Q是图形N上任意一点，把P、Q两点之间的距离的最小值称为图形M与图形N的距离，记为d[M，N]．
【理解】如图1，在平面直角坐标系中，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若点A，B的坐标分别为（4，3），（﹣4，3），点G是▱ABCD边上任意一点．
（1）当点G在边AD上时，OG的最小值是 ，因此d[点O，线段AD]＝ ；
（2）当点G在任意边上时，OG的最小值是 ，因此d[点O，▱ABCD]＝ ；
【拓展】如图2，在平面直角坐标系中，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC平分∠BAD，点A，B的坐标分别为（4，3），（，3），点E（a，n）是对角线AC上与点A，C，O不重合的一点，点F（b，n）是对角线BD上与点B，D，O不重合的一点．
（3）当1＜d[线段EF，▱ABCD]＜2时，则n的取值范围为 ；
（4）当n＞0时，＝ （结果用含n的式子表示）；
【应用】为庆祝母亲节，某商场在广场举行花卉展览，要在长6米，宽4米的长方形花卉展览区外围用彩绳拉出封闭隔离线，要求封闭隔离线与长方形花卉展览区外围的最小距离均为0.5米，请直接写出所需彩绳的长度．
20．（12分）综合探究：在△ABC中，∠ABC＝90°，把△ABC绕点A逆时针旋转适当的角度得到△ADE，连接对应点B，D和C，E交于点M．
（1）如图1，当点D落在边AC上时，证明：ME＝MC；
（2）如图2，当点D不落在边AC上时，AC，BM交于点N，请探究EM＝MC是否还成立？写出探究过程；
（3）如图3，在（2）的条件下，当DA⊥AC时时，若，求DN的长．
广东省深圳市红桂中学2024-2025学年九年级上学期数学开学考试试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）下列式子：①x﹣1≥1；②x+2；③﹣2＜0；④；⑤x+2y≤0．其中是不等式的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
2．（3分）下列博物馆的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
3．（3分）下列各组线段中，能组成直角三角形的一组是（ ）
A．1，2，3B．2，3，4C．4，5，6D．，，
【答案】D
4．（3分）将多项式“4m2﹣？”因式分解，结果为（2m+3）（2m﹣3），则“？”是（ ）
A．3B．﹣3C．9D．﹣9
【答案】C
5．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣2B．x≥﹣2，且x≠0
C．x＞﹣2D．x≤﹣2，且x≠0
【答案】B
6．（3分）如图，平行四边形ABCD中，AD＝8，AB＝6，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE的长为（ ）
A．1B．4C．3D．2
【答案】D
7．（3分）若关于x的分式方程有增根，则a的值为（ ）
A．5B．﹣5C．4D．﹣4
【答案】B
8．（3分）如图，在等边△ABC中，以A为直角顶点作等腰直角△CAD，AF⊥BD分别交BD、CD于点E、F，N为线段BG上一动点，M为线段AD上一动点，且BN＝AM，以下4个结论：①∠CBN＝3∠ABD；②DF＝2EF；③DF＝CF+AF；④当CN+CM的值最小时，∠ACM＝∠DCM．正确的个数为（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】A
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．（3分）分解因式：4a2b2﹣8a2b+4a2＝ 4a2（b﹣1）2 ．
【答案】4a2（b﹣1）2．
10．（3分）若关于x的一元一次方程2x﹣m+2＝0的解是负数，则m的取值范围是 m＜2 ．
【答案】见试题解答内容
11．（3分）若m+n＝3，mn＝2，则m2n+mn2的值为 6 ．
【答案】6．
12．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝5，S△ABC＝15，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AB，交AC于点F，在EF上确定一点P，使PB+PD最小，则这个最小值为 6 ．
【答案】见试题解答内容
13．（3分）已知正方形ABCD，点E是边AD上的动点，以EC为边作等边三角形ECF，连接BF，交边DC于点G，当BF最小时，∠CGF＝ 120° ．
【答案】120°．
三．解答题（共7小题，满分61分）
14．（5分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】x＞，解集在数轴上表示出来见解答．
15．（7分）化简求值：先化简，再从﹣2，2，4，中选择一个合适的数代入并求值．
【答案】＝，0．
16．（8分）某校学生会为了解本校初中学生每天做作业所用时间情况，采用问卷的方式对一部分学生进行调查．在确定调查对象时，大家提出以下几种方案：A．对各班班长进行调查；B．对某班的全体学生进行调查；C．从全校每班随机抽取5名学生进行调查．在问卷调查时，每位被调查的学生都选择了问卷中适合自己的一个时间，学生会将收集到的数据整理后绘制成如图所示的条形统计图．
（1）为了使收集到的数据具有代表性．学生会在确定调查对象时应选择方案 C （填A，B或C）；
（2）被调查的学生每天做作业所用时间的众数为 1.5 h；
（3）根据以上统计结果，估计该校900名初中学生中每天做作业用1.5h的人数．
【答案】见试题解答内容
17．（8分）在二十大后，绿色发展战略升级，各地区为推进碳中和目标，都在加大对新能源汽车的推广．某汽车专卖店乘此机会决定购进A、B两种新能源汽车．经调查：其中A类汽车的进价比B类汽车的进价每辆多4万元，且用480万元购进A类汽车的数量是用160万元购进B类汽车的数量两倍．
（1）求A、B两类新能源汽车的进价分别是每辆多少万元？
（2）该汽车专卖店打算购进A、B两类新能源汽车共60辆，若汽车店将每辆A类汽车定价为16万元出售，每辆B类汽车定价10万元出售，且全部售出后所获得利润不少于200万元，则汽车店至少需购进A类汽车多少辆？
【答案】（1）A类新能源汽车的进价为12万元，B类新能源汽车的进价为8万元；
（2）汽车店至少需购进A类汽车40辆．
18．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，E，F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使AB＝2AD，连接DE，DF，AE，EF，AF与DE交于点O．
（1）试说明AF与DE互相平分；
（2）若AB＝2，求DE的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
19．（12分）【定义】对于没有公共点的两个图形M，N，点P是图形M上任意一点，点Q是图形N上任意一点，把P、Q两点之间的距离的最小值称为图形M与图形N的距离，记为d[M，N]．
【理解】如图1，在平面直角坐标系中，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若点A，B的坐标分别为（4，3），（﹣4，3），点G是▱ABCD边上任意一点．
（1）当点G在边AD上时，OG的最小值是 4 ，因此d[点O，线段AD]＝ 4 ；
（2）当点G在任意边上时，OG的最小值是 3 ，因此d[点O，▱ABCD]＝ 3 ；
【拓展】如图2，在平面直角坐标系中，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC平分∠BAD，点A，B的坐标分别为（4，3），（，3），点E（a，n）是对角线AC上与点A，C，O不重合的一点，点F（b，n）是对角线BD上与点B，D，O不重合的一点．
（3）当1＜d[线段EF，▱ABCD]＜2时，则n的取值范围为 1＜n＜2或﹣2＜n＜﹣1 ；
（4）当n＞0时，＝ （结果用含n的式子表示）；
【应用】为庆祝母亲节，某商场在广场举行花卉展览，要在长6米，宽4米的长方形花卉展览区外围用彩绳拉出封闭隔离线，要求封闭隔离线与长方形花卉展览区外围的最小距离均为0.5米，请直接写出所需彩绳的长度．
【答案】（1）4，4；
（2）3，3；
（3）1＜n＜2或﹣2＜n＜﹣1；
（4）
应用：（20+π）米．
20．（12分）综合探究：在△ABC中，∠ABC＝90°，把△ABC绕点A逆时针旋转适当的角度得到△ADE，连接对应点B，D和C，E交于点M．
（1）如图1，当点D落在边AC上时，证明：ME＝MC；
（2）如图2，当点D不落在边AC上时，AC，BM交于点N，请探究EM＝MC是否还成立？写出探究过程；
（3）如图3，在（2）的条件下，当DA⊥AC时时，若，求DN的长．
【答案】
（3）．