广东省深圳市福田区黄埔学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷

这是一份广东省深圳市福田区黄埔学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下面图形是用数学家名字命名的，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A. 赵爽弦图B. 笛卡尔心形线
C. 科克曲线D. 斐波那契螺旋线
2.已知，则下列不等式成立的是( )
A. B.
C. D.
3.下列因式分解正确的是( )
A. B.
C. D.
4.不等式组的解集表示在数轴上，正确的是( )
A. B.
C. D.
5.等腰三角形的一边长为3cm，另一边长为7cm，则它的周长为( )
A. 13cmB. 17cmC. 22cmD. 13cm或17cm
6.已知，，则代数式的值是( )
A. B. 6C. D.
7.根据图象，可得关于x的不等式的解集是( )
A.
B.
C.
D.
8.为落实《深圳市教育局关于义务教育阶段学校实行每天一节体育课的通知》文件要求，某学校决定开设篮球、足球两门选修课，需要购进一批篮球和足球，学校的预算经费是5400元，已知篮球的单价是120元，足球的单价是90元，购买30个篮球后，最多还能购买多少个足球？设还能购买x个足球，则下列不等式中正确的是( )
A. B.
C. D.
9.如图，在▱ABCO中，，，将▱ABCO绕点O逆时针方向旋转到▱的位置，则点的坐标是( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，点O是等边内一点，，，，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.因式分解：__________.
12.如图，一个加油站恰好位于两条公路m，n所夹角的平分线上，若加油站到公路m的距离是80m，则它到公路n的距离是______
13.如图，某景点为方便游客赏花，拟在方形荷花池塘上架设小桥，若荷塘周长为360m，且桥宽忽略不计，则小桥总长为______
14.将正实数x“四舍五入”，精确到个位的值记为，如：，，若，则正实数x的取值范围是______.
15.如图，已知四边形ABCD中，AC为BD的垂直平分线，，，，点E是BC边上一点，若：：1，则线段______.
三、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题6分
因式分解：
；
17.本小题6分
解不等式组：，并求出它的整数解.
18.本小题8分
如图，于E，于F，若、，
求证：AD平分；
已知，，求AB的长．
19.本小题8分
在平面直角坐标系中，已知三个顶点坐标分别为，，如图，点B在边长为1的正方形网格上.
请画出符合题意的平面直角坐标系，并画出；
将向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，请画出，并写出点的坐标______；连接，，并判断它们的位置及大小关系：______位置关系，______数量关系；
画出点B到直线AC的最短路径BD，并求出线段BD的长.
20.本小题8分
定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”.例如：的解为，集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”.
问题解决：
在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是______填序号；
若方程是关于x的不等式组的“子方程”，试求m的取值范围；
若关于x的方程接不等式组的“子方程”，求E的取值范围.
21.本小题9分
根据以下素材，探索完成任务.
22.本小题10分
如图，边长为4的等边中，点D、E分别是BC、AC边的中点，点P从B点沿着折线含点B、点运动，连接AP，将AP绕点A逆时针旋转到点Q，连接DE、CQ、
如图1，当点P在BD上运动时，求的度数；
如图2，当点P运动到点D时，试猜想的形状，并说明理由；
当是直角三角形时，请直接写出此时AP的长.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：
根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2.【答案】C
【解析】解：A、，，故此选项不符合题意；
B、，，故此选项不符合题意；
C、，，故此选项不符合题意；
D、，，，故此选项不符合题意；
故选：
不等式性质1：不等式两边同加上或减去一个数，不等号的方向不变；不等式性质2：不等式两边同乘以或除以一个正数，不等号的方向不变；不等式性质3：不等式两边同乘以或除以一个负数，不等号的方向改变；由此判断即可．
本题考查了不等式的性质，熟记不等式的性质是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：，因式分解不彻底，A选项不符合题意；
，B选项因式分解错误，B选项不符合题意；
错误，没有全部做到因式分解，C选项不符合题意；
，D选项符合题意．
故选：
利用因式分解判断并选择．
本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法．
4.【答案】D
【解析】解：由，得，
由，得，
所以不等式组的解集是：
不等式组的解集在数轴上表示为：
.
故选：
分别求出各个不等式的解集，再求出这些解集在数轴上表示出来即可．
本题考查的是解一元一次不等式组．熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：分两种情况：
当腰为3cm时，，所以不能构成三角形；
当腰为7cm时，，所以能构成三角形，周长是：
故选：
题目给出等腰三角形有两条边长为3cm和7cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，熟知以上知识是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：，，
故选：
利用因式分解把代数式变形，再代入数值计算即可．
本题考查了因式分解的应用，解题的关键是掌握因式分解的方法和整体代入求值．
7.【答案】A
【解析】解：从图象可知：两函数的图象的交点坐标是，
所以关于x的不等式的解集是，
故选：
根据函数图象得出两函数的交点坐标，再得出不等式的解集即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，能根据图象得出两函数的交点坐标是解此题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：根据题意得，，
故选：
根据篮球的单价、个数，足球的单价、个数以及总经费即可列出不等式．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，正确列出不等式是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：将▱ABCO绕O点逆时针方向旋转到▱的位置，，
点的坐标是：
故选：
直接利用旋转的性质B点对应点到原点距离相同，进而得出坐标．
此题主要考查了平行四边形的性质以及旋转的性质，正确掌握平行四边形的性质是解题关键．
10.【答案】A
【解析】解：在和中，，，
≌
如图，连接，
根据旋转的性质可知是等边三角形，
，
在中，，，，
是直角三角形，
面积为，
等边面积为，
四边形的面积为，
≌，
四边形的面积的面积的面积，
故选：
证明≌，即可得到，，根据旋转的性质可知是等边三角形，则，利用勾股定理的逆定理判断是直角三角形，，利用四边形的面积=等边面积面积面积的面积的面积的面积，进行计算即可判断．
本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理，解题的关键是通过旋转把三条线段转化到特殊三角形中，利用特殊三角形的性质进行求解．
11.【答案】
【解析】【分析】
由于多项式有二项，没有公因式，考虑运用平方差公式分解．
本题考查了因式分解的平方差公式，两项若没有公因式，一般考虑平方差公式
【解答】
解：
12.【答案】80
【解析】解：因为加油站恰好位于两条公路m，n所夹角的平分线上，
所以加油站到公路m和公路n的距离是相等的，即为80m，
故答案为：80
根据角平分线的性质解答即可．
此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线上的点到角的两边距离相等．
13.【答案】180
【解析】解：根据题意得出：小桥可以平移到矩形的边上，得出小桥总长等于矩形的长与宽的和，
故小桥总长为：
故答案为：
利用平移的性质直接得出答案即可．
此题主要考查了生活中的平移现象，根据已知正确平移小桥是解题关键．
14.【答案】
【解析】解：由题意可得，
，
解得，
故答案为：
根据题意可以得到，然后求解即可．
本题考查近似数和有效数字、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确题意，利用新定义和四舍五入法解答．
15.【答案】
【解析】解：过点D作于点M，
由题意得，，，，
，
，
、C在BD的垂直平分线上，即AC垂直平分BD，
，
，
，
四边形ABCD的面积为：，
，
：：1，
为BC的中点，
，
，
故答案为：
过点D作于点M，理由垂直平分线的性质以及勾股定理，，，利用三角形的面积公式可得的面积，进而得出，进而求出的面积，从而得出的面积，据此可得DM的长，根据：：1，可得E为BC的中点，由此可得BE的长，进而得出EM的长，然后根据勾股定理解答可得DE的长．
本题考查了线段垂直平分线的性质以及三角形的面积，正确作出辅助线并掌握勾股定理是解答本题的关键．
16.【答案】解：
；

【解析】先提公因数，再利用完全平方公式进行因式分解；
利用提公因式进行因式分解．
本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法和公式法进行因式分解．
17.【答案】解：
由①得：，
由②得：，
不等式组的解集为：，
解集表示在数轴上，如图所示：
则不等式组的整数解为，0，1，
【解析】分别解不等式①②，在数轴上表示出不等式的及解集，进而根据公共部分求得解集，求得整数解，即可求解．
本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的解集，熟练掌握确定不等式组的解集是解题的关键．
18.【答案】证明：，，
，
在和中，
，
，
，
，，
平分；
解：，
，，
，
，

【解析】求出，根据全等三角形的判定定理得出，推出，根据角平分线性质得出即可；
根据全等三角形的性质得出，，即可求出答案．
本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
19.【答案】
【解析】解：如图所示，即为所求；
如图所示，三角形即为所求，；由图形可知：与的位置与大小关系分别为：平行，相等；
故答案为：，，=；
过点B作AC的垂线BD交AC于D，
，，，
，
根据点的坐标建立坐标系，描出对应点顺次连接即可；
根据平移变换的性质找出对应点即可求解，根据图形即可得出的坐标，由图形可直接得出答案；
根据三角形的面积公式和勾股定理即可得到结论．
本题是几何变换综合题，考查了作图-平移变换，平移的性质，三角形的面积的就是，熟练掌握平移变换的性质是解题的关键．
20.【答案】①②
【解析】解：①，
解得：，
②，
解得：，
③，
解得：，
，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：，
不等式组的“子方程”是：①②，
故答案为：①②；
，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：，
解方程得，，
方程是关于x的不等式组的“子方程”，
，
；
方程，
解得：，
，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为：，
关于x的方程关于x的不等式组的“子方程”，
，
解得：
先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可；
先求出方程的解和不等式组的解集，根据“子方程”的定义列出关于m的不等式组，进行计算即可；
先求出方程的解和不等式组的解集，根据“子方程”的定义列出关于k的不等式组，进行计算即可．
本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“子方程”是解题的关键．
21.【答案】解：任务1：设A型车每辆的租金是x元，B型车每辆的租金是y元，
根据题意得：，
解得：
答：A型车每辆的租金是450元，B型车每辆的租金是300元；
任务2：设租用A型车a辆，则租用B型车辆，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
可以为2，3，
共有2种租车方案，
方案1：租用A型车2辆，B型车6辆；
方案2：租用A型车3辆，B型车5辆；
任务3：选择方案1所需总租金为元；
选择方案2所需总租金为元
，元，
花费最少的是方案1，节省了200元．
【解析】任务1：设A型车每辆的租金是x元，B型车每辆的租金是y元，根据“明华中学租用了3辆A型车和2辆B型车花费了1950元，安阳中学租用了4辆A型车和4辆B型车花费了3000元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
任务2：设租用A型车a辆，则租用B型车辆，根据总载客量不少于305人且总租金不超过2900元，可列出关于a的一元一次不等式组，解之可得出a的取值范围，再结合a为正整数，即可得出各租车方案；
任务3：求出选择各租车方案所需总租金，比较后，用2900元减去花费最少的总租金，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：任务1：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；任务2：根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；任务3：根据各数量之间的关系，求出选择各租车方案所需总租金．
22.【答案】解：三角形ABC是等边三角形，
，
绕点A逆时针旋转到点Q，
，，
，
在和中，
，
≌，
；
是等边三角形，
理由：当点P运动到点D时，，
是等边三角形，
，，
点D、E分别是BC、AC边的中点，
，，
，
由知，≌，
，，
，，
，
是等边三角形；
①当点P在BD上运动时，取AB的中点R，连接PR，过点R作于T，
当点P与点T重合时，是直角三角形，即是直角三角形，，如图所示，连接AD，
三角形ABC是等边三角形，，
，
在中，，，
，
是等边三角形，
是直角三角形，，，
，
在中，；
②当点P运动到DE中点时，是直角三角形，即是直角三角形，，如图所示，
点R，P是AB，DE的中点，，，，
是AB的垂直平分线，
，
在中，，
；
综上所述，AP的长为或
【解析】三角形ABC是等边三角形，AP绕点A逆时针旋转到点Q，可证≌，由此即可求解；
当点P运动到点D时，，根据等边三角形的性质得到，，得到，，求得，根据全等三角形的性质得到，，根据等边三角形的判定定理得到结论；
由的证明过程，分类讨论，当点P与点T重合时，是直角三角形，即是直角三角形，；当点P运动到DE中点时，是直角三角形，即是直角三角形，；由此即可求解．
本题是几何变换综合题，主要考查等边三角形，含特殊角的直角三角形，全等三角形的判定和性质，掌握等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键．背景
福田区某学校拟向公交公司租借A、B两种车共8辆，用于接送八年级师生去实践基地参加社会实践活动.
素材1
A型车最大载客量是50人，B型车的最大载客量是35人，已知此前明华中学租用了3辆A型车和2辆B型车花费了1950元，安阳中学租用了4辆A型车和4辆B型车花费了3000元.
素材2
八年级的师生共有305人，根据学校预算，租车的费用需要控制在2900元包含2900元以内.
问题解决
任务1
A型车和B型车每辆的租金分别是多少元？
任务2
根据素材2中该校八年级师生的实际情况，该如何租车？请给出所有满足条件的租车方案.
任务3
在所有满足条件的租车方案中，花费最少的方案比预算2900元省多少钱？