陕西省汉中市汉台中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份陕西省汉中市汉台中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题：张红东 审题：曾正乾
（第Ⅰ卷 选择题 共58分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知全集，，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 复数虚部为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量，，，则（ ）
A. 6B. 4C. -6D. -4
4. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D. 或
5. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A. 12B. 16C. 20D. 22
6. 设为数列的前项和，若，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知数列为各项均为正数的等比数列，和是方程的两个根，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知数列的前项和为，且，则的值为（ ）
A. 3123B. 3125C. 3127D. 3129
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则（ ）
A. 在上单调递减B.
C. 不等式的解集为D. 的图象与轴只有2个交点
10. 设数列的前项和为，且，则（ ）
A. 数列是等比数列B.
C. D. 前项和为
11. 设，曲线在点处切线的斜率为，与x轴的交点为，与y轴的交点为，则（ ）
A.
B.
C.
D.
（第Ⅱ卷 非选择题 共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若一组样本数据、、、的平均数为，方差为，则样本数据、、、的平均数为______，方差为______.
13. 已知公差为的等差数列中，，，成等比数列，则的前项的和为________.
14. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为_____________
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数.
（1）求这个函数的导数；
（2）求这个函数图像在点处的切线方程.
16. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．求证：
（1）∥平面；
（2）平面平面．
17. 数列中，已知在直线上.
（1）求数列的通项公式； （2）若,求数列的前项和.
18. 为数列的前n项和，已知．
（1）求通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
19. 如图，在正方体的顶点处各挂一盏灯笼，每秒有且只有一个顶点处的灯笼被点亮，下一秒被点亮的灯笼必须与上一个顶点相邻（在同一条棱上），且每个相邻顶点的灯笼被点亮的概率相同，下一盏灯笼被点亮上一盏自动熄灭．若初始亮灯点位于点处，第秒亮灯点在底面上的概率为．
（1）求和的值；
（2）推测与关系，并求出的表达式．
汉台中学2023级高二年级月考1
数学试题
命题：张红东 审题：曾正乾
（第Ⅰ卷 选择题 共58分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知全集，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据交集、补集的定义计算可得.
【详解】由，即，解得，
所以，
又，，
所以，则.
故选：C
2. 复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的除法运算化简复数，即可根据虚部的定义求解.
【详解】因为，所以复数z的虚部为.
故选：B.
3. 已知向量，，，则（ ）
A. 6B. 4C. -6D. -4
【答案】C
【解析】
【分析】由向量的线性运算与数量积的坐标表示，可得答案.
【详解】因为，，，所以，，
则．
故选：C.
4. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】由两角差的余弦公式求解即可；
【详解】因为，所以，
所以或．
故选：D
5. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A. 12B. 16C. 20D. 22
【答案】D
【解析】
【分析】由等差数列及前项和的性质即可求解；
【详解】由，可得：，
所以，
又，
故选：D
6. 设为数列的前项和，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据的关系以及等比数列即可求解.
【详解】根据，可得，
两式相减得，即．
当时，，解得．
所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，所以．
故选：B.
7. 已知数列为各项均为正数等比数列，和是方程的两个根，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用韦达定理求出的值，利用对数的运算性质结合等比数列的性质可求得所求代数式的值.
【详解】因为和是方程的两个根，由韦达定理可得，
又数列为各项均为正数的等比数列，所以，，
因此，.
故选：D
8. 已知数列的前项和为，且，则的值为（ ）
A. 3123B. 3125C. 3127D. 3129
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定的递推公式可得，再利用构造法求出通项，利用并项求和法求和.
【详解】数列中，，，，
则，数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
于是，则，，
所以.
故选：D
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则（ ）
A. 在上单调递减B.
C. 不等式的解集为D. 的图象与轴只有2个交点
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据函数奇偶性，单调性，图象解决即可.
【详解】可作满足题意的下图（不唯一），仅参考
对A：因为是定义在上的奇函数，且在上单调递减，由奇函数的性质有在上单调递减，故选项A正确；
对B：因为是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，所以，所以，故选项B正确；
对C：由选项A与题意可得的解集为，故选项C正确.
对D：由题意，，又是定义在上的奇函数，所以，所以的图象与轴有3个交点，故选项D错误；
故选:ABC.
10. 设数列的前项和为，且，则（ ）
A. 数列是等比数列B.
C. D. 的前项和为
【答案】AD
【解析】
【分析】A选项，根据，求出是为公比的等比数列，A正确；B选项，由A选项结合得到通项公式；C选项，先得到是以1为首项，4为公比的等比数列，利用等比数列求和公式求出答案；D选项，先得到，从而分组求和.
【详解】选项A，由已知①，当时，可得，
当时，②，
两式相减得，即，
可得数列是为公比的等比数列，故A正确；
选项B，由选项A可得，故，故B错误；
选项C，因为，故数列是以1为首项，4为公比的等比数列，
所以，故C错误；
选项D，因为，
所以，故D正确．
故选：AD
11. 设，曲线在点处切线的斜率为，与x轴的交点为，与y轴的交点为，则（ ）
A.
B.
C.
D
【答案】BC
【解析】
【分析】应用导数的几何意义判断A,结合数列的基础运算判断B,C,D．
【详解】由于，所以，切线方程为，从而，．
，A错误；
，B正确；
，C正确；
，，D错误．
故选：BC.
（第Ⅱ卷 非选择题 共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若一组样本数据、、、的平均数为，方差为，则样本数据、、、的平均数为______，方差为______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用平均数和方差的性质可新数据的平均数和方差.
【详解】因为样本数据、、、的平均数为，方差为，
则样本数据、、、的平均数为，方差为.
故答案为：；.
13. 已知公差为等差数列中，，，成等比数列，则的前项的和为________.
【答案】
【解析】
【分析】由成等比数列，列出关系式，通过公差，解得首项，再利用求和公式即可得出．
【详解】由题意，，即，解得．
前项的和为．
故答案为：55.
14. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为_____________
【答案】3
【解析】
【详解】分析：设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{an}公比为2的等比数列，利用等比数列前n项和公式能求出结果．
详解: 设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{an}公比为2的等比数列，
∴S7==381，解得a1=3．故答案为3.
点睛：本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数.
（1）求这个函数的导数；
（2）求这个函数的图像在点处的切线方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据导数的运算法则计算可得；
（2）求出切线的斜率，再利用点斜式计算可得.
【小问1详解】
因为，所以，即；
【小问2详解】
因为点在切线上，且，
所以切线方程为，即.
16. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．求证：
（1）∥平面；
（2）平面平面．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，先通过线面垂直的判定定理说明向量为平面的一个法向量，再利用可得线面平行；
（2）分别求出平面和平面的法向量，利用法向量垂直可证得面面垂直.
【小问1详解】
依题意，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，．
由E为棱的中点，得．
因为平面，平面，所以，
又，，平面，所以平面，
所以向量为平面的一个法向量，而，
所以，又平面，所以平面．
【小问2详解】
设平面的一个法向量为，
则，即
不妨令，可得为平面的一个法向量．
设平面的法向量，又向量，，
则，即，
不妨令，可得为平面的一个法向量．
因为，所以．
所以平面平面．
17. 数列中，已知在直线上.
（1）求数列的通项公式； （2）若,求数列的前项和.
【答案】（I）;（II）.
【解析】
【分析】（I）根据等差数列的通项公式可求；
（Ⅱ）先求，再利用错位相减法可求和.
【详解】（I）∵在直线上，
∴，即
∴是以3为首项，以2为公差的等差数列.
.
（II）
①
②
由①②得
.
【点睛】本题主要考查数列的通项公式求解和错位相减法求和，侧重考查数学运算的核心素养.
18. 为数列的前n项和，已知．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用的关系式可证明数列是首项为2，公差为1的等差数列，可求出其通项公式；
（2）利用裂项求和即可求得.
【小问1详解】
由，①
可得．②
由得．
，．
又当时，得．
解得（舍去）
可得数列是首项为2，公差为1的等差数列
即．
【小问2详解】
由（1）知，
可得．
因此；
可得
19. 如图，在正方体的顶点处各挂一盏灯笼，每秒有且只有一个顶点处的灯笼被点亮，下一秒被点亮的灯笼必须与上一个顶点相邻（在同一条棱上），且每个相邻顶点的灯笼被点亮的概率相同，下一盏灯笼被点亮上一盏自动熄灭．若初始亮灯点位于点处，第秒亮灯点在底面上的概率为．
（1）求和的值；
（2）推测与的关系，并求出的表达式．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）根据古典概型的概率求出，根据相互事件及互斥事件的概率公式求出；
（2）依题意可得，即可得到，从而得到是以，公比为的等比数列，即可求出.
【小问1详解】
依题意第一秒灯点等可能的在顶点、、处，其中在底面上的顶点为、，
所以，
第一秒灯点在顶点为、处（概率为），第二秒灯点在底面上的概率为；
第一秒灯点在顶点为处（概率为），第二秒灯点在底面上的概率为；
所以第二秒灯点在底面上的概率；
【小问2详解】
第秒亮灯点在底面上的概率为，
在底面上的概率为，
所以，
所以，所以是以，公比为的等比数列，
所以，则.