四川省仁寿第一中学校北校区2024−2025学年高二下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份四川省仁寿第一中学校北校区2024−2025学年高二下学期3月月考 数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（ ）
A．B．
C．D．
2．数列的通项公式可能是（ ）
A．B．C．D．
3．等比数列1，，，，…的前项和等于（ ）
A．B．
C．D．
4．已知是各项均为正数的等差数列，且，则的最大值为（ ）
A．10B．20C．25D．50
5．已知衡量病毒传播能力的最重要指标叫做传播指数．它指的是，在自然情况下（没有外力介入，同时所有人都没有免疫力），一个感染到某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的平均数它的简单计算公式是：确诊病例增长率×系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中，两例连续病例的间隔时间（单位：天）．根据统计，确诊病例的平均增长率为40%，两例连续病例的间隔时间的平均数5天，根据以上数据计算，若甲得这种传染病，则6轮传播后由甲引起的得病的总人数约为（ ）
A．243B．248C．363D．1092
6．已知等比数列的前n项和与前n项积分别为，，公比为正数，且，，则使成立的n的最大值为（ ）
A．8B．9C．12D．13
7．已知数列满足，数列的前项和为，则下列结论错误的是（ ）
A．的值为2
B．数列的通项公式为
C．数列为递减数列
D．
8．已知数列通项公式为，若对任意，都有则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．数列满足，则下列说法正确的是（ ）
A．数列是等差数列B．数列的前n项和
C．数列的通项公式为D．数列为递减数列
10．已知为等差数列，满足，为等比数列，满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．数列的首项比公差多B．数列的首项比公差少
C．数列的首项为D．数列的公比为
11．已知等差数列的前项和能取到最大值，且满足：对于以下几个结论，其中正确的是（ ）
A．数列是递减数列；B．数列是递减数列；
C．数列的最大项是；D．数列的最小的正数是.
三、填空题（本大题共3小题）
12．若成等差数列，则二次函数的图象与x轴的交点的个数为 ．
13．已知斐波那契数列满足，记，则 .（用表示）
14．若数列满足（其中，，为常数，），则称是以为周期，以为周期公差的“类周期性等差数列”.若“类周期性等差数列”的前4项为1，1，2，2，周期为4，周期公差为2，则的前16项和为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．（1）等差数列中，已知，求；
（2）等比数列中，已知，求和.
16．已知数列各项均为正数，其前项和为，且满足.
（1）求数列的通项公式.
（2）设，求数列的前项和.
17．已知等差数列的前四项和为10，且成等比数列
（1）求数列通项公式
（2）设，求数列的前项和
18．已知正项数列的首项为1，其前项和为，满足.
(1)求证：数列为等差数列，并求出；
(2)设，求数列的前项和.
19．已知数列中，，.
（1）求的通项公式；
（2）数列满足的，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.
参考答案
1．【答案】C
【详解】对于A，，数列是递减数列，A不是；
对于B，，数列不是递增数列，B不是；
对于C，，数列是递增数列，是无穷数列，C是；
对于D，数列是有穷数列，D不是．
故选C.
2．【答案】D
【详解】对于选项A，当时，，故A项错误；
对于B选项，当时，，故B项错误；
对于C选项，当时，，故C项错误；
对于D项，因数列可以写成 ，故其通项公式可以写成，故D项正确.
故选D.
3．【答案】C
【详解】当时,,
当时,,
所以.
故选C.
4．【答案】C
【详解】由，则有，即，
由基本不等式得，当且时，等号成立，
故的最大值为.
故选C.
5．【答案】D
【详解】记第1轮感染人数为，第2轮感染人数为，…，第轮感染人数为，则数列是等比数列，公比为，
由题意，即，所以，
总人数为人.
故选D．
6．【答案】C
【详解】解：因为，，公比为正数显然不为1，所以，解得，，
所以，则，
要使，则，解得，
故n的最大值为12.
故选C.
7．【答案】B
【详解】当时，，∴，故A正确；
当时，，
∴，
∴，∵上式对也成立，∴（），故B错误；
∵，
∴数列为递减数列，故C正确；
∵，
∴，
两式相减得，，
∴，故D正确．
故选B．
8．【答案】B
【详解】当时，，
由，得，即，
∵且，，∴，解得.
当时，单调递增，
若对任意，都有，则且，
即且，解得，
则实数的取值范围是.
故选B.
9．【答案】ABD
【解析】首项根据得到，从而得到是以首项为，公差为的等差数列，再依次判断选项即可.
【详解】对选项A，因为，，
所以，即
所以是以首项为，公差为的等差数列，故A正确.
对选项B，由A知：
数列的前n项和，故B正确.
对选项C，因为，所以，故C错误.
对选项D，因为，所以数列为递减数列，故D正确.
故选ABD.
10．【答案】AD
【详解】设的公差为，由，
得，化简得，
所以A正确，B错误．
设的公比为，由，得，化简得，
所以C错误，D正确，
故选AD.
11．【答案】ACD
【详解】等差数列的前项和能取到最大值，
数列是递减数列，且，故A正确；
，
，数列先增后减，故B错误；
由，，得，，
数列的最大项是，故C正确；
由，，得数列的最小的正数是，故D正确．
故选ACD．
12．【答案】1或2
【详解】∵a，b，c成等差数列，∴，
∴．
∴二次函数的图象与x轴的交点的个数为1或2．
13．【答案】
【详解】由题意，，
所以，
因为，
所以，
，
所以.
则，
故，
则.
14．【答案】72
【详解】依题意，，
，
，
，
所以的前16项和为.
15．【答案】（1），；（2）
【详解】（1）因为，所以，
又因为，所以.
（2）因为，所以，解得，
所以，
所以.
16．【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由可得，再由时，与条件作差可得，从而利用等差数列求通项公式即可；
（2）由利用裂项相消求和即可.
【详解】（1）∵，
∴，解得，
当时，由①可得，
②，
①－②：，
∵，∴，∴，
即∴，
∴是以为首项，以为公差的等差数列，
∴
综上所述，结论是：.
（2）由（1）可得
∴
，
综上所述，.
17．【答案】（1）或；（2）见解析.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由题意，得，解得或，
所以或.
（2）当时，，
此时；
当时，，
此时.
【方法总结】分组求和法
一个数列既不是等差数列也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，即能分别求和，然后再合并．
常见类型如下：
(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}分别为等差数列、等比数列，则可采用分组求和法求{an}的前n项和．
(2)通项公式为an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(bn，n为奇数，,cn，n为偶数))的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．
18．【答案】(1)证明见解析，；
(2)
【详解】（1）因，则，
即，
又因数列为正项数列，则，则，
又由，则数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以，则，
（2）由（1）可得，，
又满足上式，所以，
则，，
所以当时，，当时，，
记数列的前项和为，则，
从而当时，；
当时，，
所以.
19．【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）将，变形为，再利用等比数列的定义求解.
（2）由（1）得，然后利用错位相减法求得，将不等式对一切恒成立，转化为，对一切恒成立，分为偶数和奇数讨论求解.
【详解】（1）由，
得，
∴，
所以数列是以3为公比，以为首项的等比数列，
所以，即.
（2）
,
，
两式相减得:
，
∴，
因为不等式对一切恒成立，
所以，对一切恒成立，
因为单调递增，
若为偶数，则，对一切恒成立，∴；
若为奇数，则，对一切恒成立，∴，∴
综上：.