云南省曲靖市师宗县2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题（解析版）

这是一份云南省曲靖市师宗县2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题（解析版），共10页。试卷主要包含了本卷主要考查内容等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．
5．本卷主要考查内容：高考范围．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知全集，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，且，
所以，
因为，，所以，
所以．
故选：B．
2. 已知复数，若是实数，则实数（ ）
A. 3B. C. 6D.
【答案】C
【解析】因为，则，
∴，得到，
故选：C．
3. 函数的最小正周期为（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】A
【解析】函数的最小正周期为.
故选：A.
4. 在等比数列中，，公比，则（ ）
A. 6B. C. 12D.
【答案】A
【解析】.
故选：A．
5. 已知向量，，且，则（ ）
A. 2B. C. 2或D. 2或
【答案】C
【解析】由或,
故选:C．
6. 从由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的两位数中任取一个，则这个两位数大于40的个数是（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】B
【解析】这个两位数大于40的个数为．
故选：B．
7. 如图，已知圆锥的轴截面是等边三角形，底面圆的半径为2，现把该圆锥打磨成一个球，则该球半径的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】当球是圆锥的内切球时球半径最大，
此时截面大圆为等边三角形的内切圆，
根据正三角形三心合一，可知内心即为重心，
所以圆半径为正三角形高的，即．故选：B．
8. 已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以，
即，解方程得或（舍）.
因为，所以，，
所以.
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知为等差数列的前项和，且，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 为递减数列
C. D.
【答案】ACD
【解析】设等差数列的公差为，
因为，可得，解得，
所以，所以A正确；
因为，所以数列为递增数列，所以B错误；
由，可得，所以C正确；
因为，所以，所以D正确．
故选：ACD．
10. 已知函数，下列说法正确的是（ ）
A. 函数在上单调递增
B. 函数在上单调递减
C. 函数的极小值为
D. 若有3个不等实根，则
【答案】BCD
【解析】对于A，因为，
所以
，，
，，函数在上单调递增，
，，
则函数在上单调递减，故A错误；
对于B，在上，，函数在上单调递减，故B正确；
对于C，，函数在上单调递增，
所以当时，取极小值，故C正确；
对于D，，
故
，
根据待定系数法得，故D正确.
故选：BCD.
11. 设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 离心率
C. 面积的最大值为
D. 以线段为直径的圆与直线相切
【答案】AD
【解析】由题意，椭圆，可得，可得，
所以焦点为,
根据椭圆的定义，所以A正确；
椭圆的离心率为，所以B错误；
其中面积的最大值为，所以C错误；
由原点到直线的距离，
所以以线段为直径的圆与直线相切，所以D正确.
故选：AD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数满足，且是偶函数，在上有，则_______．
【答案】1
【解析】由题意可知．
故答案为：
13. 如图,在直四棱柱中,当底面四边形满足条件_______时,有.（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形．）

【答案】
【解析】当时，有．
理由如下：连接，因为平面，平面，
所以，
因为∥，∥，，所以，
因为，平面，
所以平面，
因为平面，所以.
故答案为：
14. 已知抛物线，过的直线交抛物线于两点，且，则直线的方程为__________.
【答案】
【解析】因为在抛物线内部，又，所以是的中点.
设，所以，即，
又在抛物线上，所以，两式作差，得，
所以，
所以直线的方程为，即.
故答案为：

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15. 在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且满足
（1）求A；
（2）若，求a的最小值.
解：（1）
，即，
即；
（2）由余弦定理有，
当且仅当时取等号，故a的最小值为1.
16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面PAD，E是AD的中点，为等腰直角三角形，，．
（1）求证：；
（2）求PC与平面PBE所成角的正弦值．
解：（1）∵平面，平面PAD，∴，
又∵是等腰直角三角形，是斜边AD的中点，∴，
又∵平面，平面，，
∴平面
∵平面ABCD，∴；
（2）如图，以为原点，EP，EA所在的直线为轴，轴，在平面ABCD内，
通过点作AD的垂线为轴，建立空间直角坐标系，
不妨设，则，，，则，，
设平面PBE的法向量为，
，取，则，
故为平面PBE的一个法向量，
设PC与平面PBE所成的角为，则，
∴与平面PBE所成角的正弦值为．
17. 某工厂在春节期间为职工举办了趣味有奖灯谜活动，有6个灯谜，编号为：个灯谜中猜对1个获“小奖”，猜对3个获“中奖”，猜对6个获“大奖”．
（1）小王从6个灯谜中任取3个作答，设选中编号为的灯谜的个数为随机变量X，求X的分布列及数学期望；
（2）若小王猜对任一编号灯谜的概率为，求小王在猜对编号为的灯谜的条件下，获得“中奖”的概率.
解：（1）由题意得X可取，
，
，
所求分布列为：
数学期望
（2）设“小王猜对号灯谜为”为事件A，“小王获得中奖”为事件B，
则，
故，
即小王在猜对编号为的灯谜的条件下，获得“中奖”的概率为．
18. 已知双曲线过点，左、右顶点分别为，，直线与直线的斜率之和为．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过双曲线右焦点的直线交双曲线右支于，（在第一象限）两点，，是双曲线上一点，的重心在轴上，求点的坐标．
解：（1）依题意左、右顶点分别为，，
所以，解得，
将代入得，解得，
故双曲线方程为；
（2）设，，直线的方程为，
将代入整理得，，
∴，，又由，
代入上式得，解得，，
因为的重心在轴上，所以，
所以，代入双曲线得，
故或．
19. 已知函数（）．
（1）当时，求函数的最小值；
（2）若，求实数的取值范围．
解：（1）当时，，，
可得，，
令，解得，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
则函数的最小值为；
（2）由题意有，
又由函数（）单调递减，且，可得，
下面证明：当时，，
由关于的函数（）单调递减，
则有，
由（1）有，故有在时恒成立，
故若，则实数的取值范围为．X
0
1
2
3
P