吉林地区普通高中友好学校联合体2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题（解析版）

这是一份吉林地区普通高中友好学校联合体2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题（解析版），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为，解得，即，
且，所以．
故选：C．
2. 设命题，，则为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】命题是全称命题，则命题的否定是特称命题即：
故选
3. 已知幂函数，且，则实数（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，且，即，解得，
所以，则.
故选：A
4. 使不等式成立的一个充分不必要的条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由等价于，即，解得，
因为真包含于，
所以不等式成立的一个充分不必要的条件是．
故选：B．
5. 已知函数是定义在上的增函数，则满足的x的取值范围是（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意可知，解不等式得.
故选：D
6. 若二次函数在上为减函数，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为二次函数在上为减函数，
所以，解得，所以的取值范围为.
故选：D
7. 下列函数中，值域为0,4的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】对于A，因为，所以，所以，则该函数的值域为0,4，故正确；
对于B，因为，所以，则该函数的值域为，故错误；
对于C，，
所以当时，，当时，，则该函数的值域为，故错误；
对于D，，所以该函数的值域不为0,4，故D错误，
故选：A
8. 已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为函数是上的减函数，
所以；解得.
故选：A
二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分）.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题中为真命题的是（ ）
A. 对任意实数，均有
B. 若，则
C. 设，则“”是“”的必要不充分条件
D. 若，则
【答案】AC
【解析】对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，当，时，，，故B不正确；
对于C，当，时，，所以不充分，当时，可知且，所以必要，故C正确；
对于D，当时，，，此时，故D不正确；
故选：AC.
10. 函数是定义在上的奇函数，下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若在上有最小值，则在上有最大值1
C. 若在上为增函数，则在上为减函数
D. 函数的图象与直线的交点最多有1个
【答案】ABD
【解析】因为函数是定义在R上的奇函数，
所以，A正确；
因为奇函数的图象关于原点中心对称，
因为，若在上有最小值，则在上有最大值1，B正确；
因为奇函数在关于原点对的区间上具有相同的单调性，
因为，若在上为增函数，则在上为增函数，C不正确；
因为函数定义域内每一个自变量都有唯一的函数值与之对应，函数是定义在上的奇函数，所以在函数的定义域内，函数的图象与直线有且仅有一个交点，故D正确．
故选：ABD.
11. 设正实数满足，则（ ）
A. 的最小值为B. 的最大值为
C. 的最大值为D. 的最小值为
【答案】ABD
【解析】对于A，因为正实数，满足，
所以，
当且仅当且，即，时等号成立，故A正确；
对于B，，
则，当且仅当时等号成立，故B正确；
对于C，，，当且仅当时等号成立，
所以的最大值为，故C错误；
对于D，由，可得，
当且仅当时等号成立，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题（共15分）
12. 函数，且，则的值是____．
【答案】6
【解析】令，
因为定义域为，且，
所以函数为奇函数，
因为，所以，
所以，
故答案为：6
13. 已知是定义在上的奇函数，当时，为增函数，且，那么不等式的解集是_______.
【答案】
【解析】因为奇函数，且在上是增函数，，
则在上是增函数，且，
不等式化为： 或 ，解得或，
所以不等式的解集是.
故答案为：
14. 正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围__________.
【答案】
【解析】因为且，是正数，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
因为不等式恒成立，所以，解得.
故答案为：.
四、解答题（共77分）
15. 已知全集，集合，.
（1）当时，求和；
（2）若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
解：（1）当时，集合，
因，所以.
所以，
（2）因为“”是“”成立的充分不必要条件，
所以是的真子集，而不为空集，
所以，因此.
16. 已知关于的一元二次不等式的解集为．
（1）求和的值；
（2）求不等式的解集．
解：（1）由题意知和是方程的两个根且，
由根与系数的关系得，解得；
（2）由、，不等式可化为，
即，则该不等式对应方程的实数根为和．
当时，，解得，即不等式的解集为，
当时，，不等式的解集为空集，
当时，，解得，即不等式的解集为，
综上：当时，解集为，
当时，解集为空集，
当时，解集为．
17. 某工厂生产某种产品，其生产的总成本（万元）年产量（吨）之间的函数关系可近似的表示为已知此工厂的年产量最小为吨，最大为吨．
（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求出最低平均成本；
（2）若每吨产品的平均出厂价为万元，且产品全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润？并求出最大利润．
解：（1）由题意可得，，
因为，
当且仅当时，即时等号成立，符合题意.
所以当年产量吨时，平均成本最低为万元．
（2）设利润为，则，
又，
当时，．
所以当年产量为吨时，最大利润为万元．
18. 已知函数定义域为.
（1）求定义域；
（2）当时，求的最值及相应的的值.
解：（1）因
所以
解得或
所以函数的定义域为
（2）令
可转化为
当 即时，
即的最大值为，无最小值.
19. 已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求，的值；
（2）用定义法证明函数在上单调递增；
（3）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围.
解：（1）由于奇函数在处有定义，所以，，
，.
经检验符合题意；
（2）由（1）知.
任取、且，即，则，，
所以，，
则，所以，函数在上单调递增.
（3）由（2）知，
所以对于任意的恒成立,
即对于任意的恒成立,
所以，解得或,
所以的取值范围为.