安徽省皖江名校2024-2025学年高一上学期12月联考.数学试题（解析版）

这是一份安徽省皖江名校2024-2025学年高一上学期12月联考.数学试题（解析版），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，，
所以，故选：A
2. 命题p：“”否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】 “”改为“”，“”改为“”，因此是“”.故选：C．
3. 计算（ ）
A. 14B. 49C. D.
【答案】B
【解析】因为．
故选：B．
4. 函数的图象大致形状是（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题设易知，而时，幂函数在上单调递减，又函数为偶函数.
故选：A
5. 设，若函数在上的最小值是2，则其在上的最大值是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】．设，
则．因为，所以，
当时，；当时，．
故选：A．
6. 设，则“”是“关于x的方程有两个负实根”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】方程的判别式，当时，的符号可正可负，即由推不出方程有两个负实根．
反之，若方程有两个负实根，则，且，因此．
由不能推出．
所以“”是“方程有两个负实根”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
7. 下列四个数中最大的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以，
因为，所以，所以最大,
故选：C．
8. 已知函数若函数在区间内有且仅有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】函数在区间内有且仅有两个零点，等价于在区间内有且仅有两个实数根，
又等价于函数的图象与直线在区间内有且仅有两个公共点，
因为，
由图知，即，解得．
故选：C．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题中正确的是（ ）
A. “”是“”的充分不必要条件
B. “”是“”的必要不充分条件
C. “”是“”的既不充分也不必要条件
D. “”是“”的充要条件
【答案】AD
【解析】对于A，由，所以，若，例如，则得不到，故A正确；
对于B，由，则，若，例如，则没意义，
故“”是“”充分不必要条件，故B错误；
对于C，若“”，则“”，反过来，若，例如，则，
故“”是“”的充分不必要条件，故C错误；
对于D，由，则，反过来，若，则，故“”是“”的充要条件，故D正确；
故选：AD．
10. 下列几个不等式中，能取到等号是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】对A，，当且仅当时等号成立；
对B，∵，∴，，
当且仅当时等号成立；
对C，∵，则，所以，，
则，当且仅当时等号成立；
对D，∵，∴，
当且仅当，即时等号成立，
而，因此中的等号取不到．
故选：ABC.
11. 设，下列四个命题中，正确的是（ ）
A. 当时的单调递增区间是和
B. 当时的图象与直线有两个交点
C. 在内单调递减的充要条件是
D. 若的最小值是零，则
【答案】AC
【解析】对于A，当时，二次函数与x轴交于点和，
画出函数fx的图象如下：
的单增区间是和，故A正确；
对于B，当时，二次函数与x轴交于点和，
顶点是，
画出函数fx的图象如下：
的图象与直线有三个交点，故B不正确；
对于C，当时，在内单调递减；
当时，在内单减，故C正确．
对于D，若的最小值是零，则，均可以，故D不正确．
故选：AC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知幂函数的图象过点，则其解析式__________.
【答案】
【解析】设，则，解得．
故答案为：．
13. 设方程的两根是，若不等式的解集是，则的值是__________.
【答案】19
【解析】由不等式的解集是可知：
的两根为，2，
所以，所以，
所以就是，
于是．
故答案为：19.
14. 若正数a，b满足，则的最大值是__________.
【答案】
【解析】因为对任意实数x，y都有，当且仅当时等号成立，
所以，
当且仅当，即时等号成立．
故的最大值是．故答案为：.
四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知命题．
（1）若不等式的解集是，求a的值；
（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解：（1）由题意知，是方程的两根，
所以，且，解得．
（2）因为，即，所以．
因为p是q的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集．
因此，解得．故实数a的取值范围是．
16. 某医院为改善医疗技术，2024年初以72万元的价格购进一套医疗设备.已知该套医疗设备每年获得的总收入为40万元，使用年后所需要的各种维护费用总计为万元，2024年为第一年
（1）写出该套医疗设备的利润函数的表达式，并求的最大值；
（2）第几年后，该套医疗设备的年平均利润最大？
解：（1），
因为，所以当时，取最大值56.
（2）年平均利润为，
当且仅当，即时取等号，故第6后年平均利润最大.
17. 一般地，我们把形如的函数称为飘带函数，若飘带函数在上的最小值、最大值分别为和1.
（1）确定a，b的值；
（2）求的零点.
当时，是上的增函数，所以，
即，解得；
当时，是上的减函数，
所以，即，解得；
故或
（2）当时，，令，
所以的两个零点分别是和；
当时，，令，
所以的两个零点分别是和；
故的零点为和或和.
18. 定义在上的函数满足：①当时，；②对任意实数x，y都有．
（1）证明：当时，；
（2）判断在上的单调性；
（3）解不等．
（1）证明：令，则，所以．
当时，，则．在中，
令，则，所以
（2）解：设，则，所以．
于是，
故在上是增函数．
（3）解：由题意知，原不等式等价于
由（2），在上是增函数得到，，且，
解得．
故原不等式的解集是．
19. 我们知道，若，则有不等式成立（当且仅当时等号成立）．从可以得到．即正数a，b，c的算术平均数的平方不大于a，b，c平方的算术平均数．请运用这个结论解答下列三道题：
（1）求代数式的最大值；
（2）已知，若不等式恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若a，b，，证明：．
解：（1）当时，有，
即，当且仅当，即时等号成立．
而，故代数式的最大值为．
（2）当时，有，
所以，即，当且仅当时等号成立．因此的最小值为．
恒成立恒成立．
故实数m的取值范围是．
（3）证明：因为，
所以
，
当且仅当时等号成立．
故a，b，．