河南省许昌市2023_2024学年高一数学下学期7月期末考试含解析

这是一份河南省许昌市2023_2024学年高一数学下学期7月期末考试含解析，共23页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回.等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将答题卡交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1. 复数的共轭复数是（）
A. B.
C. D.
2. 在中，，，若点满足，以作为基底，则等于（ ）
A. B.
C. D.
3. 有一组样本数据如下：56，62，63，63，65，67，68，69，71，74，76，76，77，78，79，79，80，85，87，88，95，98，则其分位数与分位数的和为（）
A. 144B. 145C. 146D. 147
4. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下面命题中正确的是（）
A. 若，，则B. 若，，，则
C若，，则D. 若，，，则
5. 若样本的平均数是10，方差为2，则对于样本，下列结论正确的是（）
A. 平均数为20，方差为4B. 平均数为11，方差为4
C. 平均数21，方差为8D. 平均数为20，方差为8
6. 小明与小华两人玩游戏，则下列游戏不公平的是（）
A. 抛掷一枚骰子，向上点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜
B. 同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜
C. 从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜
D. 小明、小华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜
7. 农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角泰”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为9的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）．
A. B. C. D.
8. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）
A. 甲与丙相互独立B. 甲与丁相互独立
C. 乙与丙相互独立D. 丙与丁相互独立
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9. (多选题)在给出的下列几个命题中错误的是（ ）
A. 若x是实数，则x可能不是复数
B. 若z是虚数，则z不是实数
C. 一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零
D. －1没有平方根
10. 已知向量，，，则下列结论正确的有（）
A. B. 若，则
C. 的最大值为2D. 的最小值为2
11. 已知正方体的棱长为2，为底面内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（）
A. 三棱锥的体积为定值
B. 存在点，使得平面
C. 若，则点在正方形底面内的运动轨迹长为
D. 若点是的中点，点是的中点，经过，，三点的正方体的截面周长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 正四棱台上、下底面的边长分别为2，4，且侧面积等于两底面面积之和，则该棱台的体积是________.
13. 已知，，则在方向上的投影向量坐标为______．
14. 在三棱锥中，若，，，且，，，为底面内部及边界上动点，则与底面所成角的正弦值的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知，，与的夹角是．
（1）求的值及的值；
（2）当为何值时，？
16. 在一个文艺比赛中，10名专业人士和10名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分，下面是两组评委对同一名选手的打分：
小组A：45 48 46 52 47 49 55 42 51 45
小组B：55 36 70 66 75 49 68 42 62 47
（1）如果选择方差度量每一组评委打分相似性的量，计算每组评委打分的方差；
（2）你能据此判断小组A和小组B中哪一个更像是由专业人士组成的吗？
17. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
（1）求；
（2）若，求面积的取值范围．
18. 某种植园芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在，，，，，（单位：克）中，经统计得频率分布直方图如图所示．
（1）根据频率分布直方图估计这组数据的中位数；
（2）现按分层随机抽样的方法从质量在，内的芒果中随机抽取6个，再从这6个中随机抽取3个，求这3个芒果中质量至少有一个在内的概率；
（3）若该种植园中还未摘下的芒果大约有10000个，以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，用样本估计总体．某经销商来收购未摘芒果，提出如下两种收购方案：
A：所有芒果以10元/千克收购；
B：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，高于或等于250克的芒果以3元/个收购．
通过计算确定该种植园选择哪种方案获利更多？
19. 如图，三棱柱中，是正三角形，，，平面平面，E、F分别为的中点.
（1）证明：平面；
（2）若P为底面内（包括边界）的动点，平面，且P的轨迹长度为，求三棱柱的体积.
（3）在（2）的条件下，求二面角的正切值.
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高一数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将答题卡交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1. 复数的共轭复数是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先将复数的分母化成实数，再求其共轭复数即可.
【详解】而的共轭复数是
故选：B.
2. 在中，，，若点满足，以作为基底，则等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合图形，将和分别用和，和表示，代入方程即可求解.
【详解】
如图，因，则，即，
解得：.
故选：A.
3. 有一组样本数据如下：56，62，63，63，65，67，68，69，71，74，76，76，77，78，79，79，80，85，87，88，95，98，则其分位数与分位数的和为（）
A. 144B. 145C. 146D. 147
【答案】D
【解析】
【分析】由百分位数的定义求解即可.
【详解】因为，所以样本数据的25%分位数为第六个数据即67；
因为，所以样本数据的75%分位数为第十七个数据即80.
所以25%分位数与75%分位数的和为.
故选：D.
4. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下面命题中正确的是（）
A. 若，，则B. 若，，，则
C. 若，，则D. 若，，，则
【答案】D
【解析】
【分析】利用已知条件直接判断线面位置关系，可判断AC选项；利用已知条件直接判断线线位置关系，可判断B选项；利用线面垂直的性质可判断D选项.
【详解】对于A选项，若，，则、或与相交，A错；
对于B选项，若，，则与平行或异面，B错；
对于C选项，若，，则、或与相交，C错；
对于D选项，因为，，则，又因为，则，D对.
故选：D.
5. 若样本的平均数是10，方差为2，则对于样本，下列结论正确的是（）
A. 平均数为20，方差为4B. 平均数为11，方差为4
C. 平均数为21，方差为8D. 平均数为20，方差为8
【答案】D
【解析】
【分析】由两组数据间的关系,可判断二者平均数的关系,方差的关系,进而可得到答案.
【详解】样本的平均数是10，方差为2，
所以样本的平均数为,方差为.
故选:D.
【点睛】样本的平均数是，方差为，则的平均数为,方差为.
6. 小明与小华两人玩游戏，则下列游戏不公平的是（）
A. 抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜
B. 同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜
C. 从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜
D. 小明、小华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜
【答案】B
【解析】
【分析】分别计算各选项中小明、小华获胜的概率，若二人获胜的概率相等，则公平，否则不公平，由此得到选项．
【详解】对于A，抛掷一枚骰子，一共6种情况，向上的点数为奇数的概率为，向上的点数为偶数的概率为，所以游戏公平；
对于B，同时抛掷两枚硬币，一共4种情况：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），
恰有一枚正面向上的概率为，两枚都正面向上的概率为，所以游戏不公平；
对于C，从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红的的概率为，扑克牌是黑色的概率为，所以游戏公平；
对于D，小明､小华两人各写一个数字6或8，共四种情况，
两人写的数字相同的概率为，两人写的数字不同的概率为，所以游戏公平．
故选：B．
7. 农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角泰”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为9的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】该丸子体积最大值转化为球体积取最大值.球心为，且该球与相切，过球心作，则就是球的半径，求得后，利用球的体积公式即可得解.
【详解】该六面体是由两个全等的正四面体组合而成，正四面体的棱长为，如图所示.
在棱长为9的正四面体中，取中点，连接，
作平面，垂足在上，则,，.
当该六面体内有一球，且该球体积取最大值时，球心为，且该球与相切，
过球心作，则就是球的半径．
，该球半径．
该球体积的最大值为．
故放入丸子体积最大值为.
故选：A
8. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）
A. 甲与丙相互独立B. 甲与丁相互独立
C. 乙与丙相互独立D. 丙与丁相互独立
【答案】B
【解析】
【分析】根据独立事件概率关系逐一判断
【详解】，
故选：B
【点睛】判断事件是否独立，先计算对应概率，再判断是否成立
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9. (多选题)在给出下列几个命题中错误的是（ ）
A. 若x是实数，则x可能不是复数
B. 若z是虚数，则z不是实数
C. 一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零
D. －1没有平方根
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用复数的概念，判断选项.
【详解】因实数是复数，故A错，根据虚数的定义可知B正确；因复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故C错；因－1的平方根为±i，故D错.
故选：ACD
10. 已知向量，，，则下列结论正确的有（）
A. B. 若，则
C. 最大值为2D. 的最小值为2
【答案】AC
【解析】
【分析】根据向量的模的坐标公式求，判断A；根据向量平行的坐标表示列方程即可判断B；根据数量积的坐标运算结合正弦函数性质求最大值，判断C，根据数量积的运算性质判断D.
【详解】对于A，，A正确；
对于B，若，则，
所以，又，所以，B错误；
对于C，，
因为，所以，所以的最大值为2，C正确；
对于D，，，
因为，所以，
当，取得最小值1，D错误
故选：AC.
11. 已知正方体的棱长为2，为底面内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（）
A. 三棱锥体积为定值
B. 存在点，使得平面
C. 若，则点在正方形底面内的运动轨迹长为
D. 若点是的中点，点是的中点，经过，，三点的正方体的截面周长为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，由题意可知点到平面的距离是常数2，从而可得结论，对于B，当点为的中点时，利用线面平行的判定定理分析判断，对于C，若，则点在以为直径的球面上，然后通过判断球心到平面的距离分析判断，对于D，连接，可证得经过，，三点的正方体的截面为梯形，求出梯形的周长，可得截面周长.
【详解】对于A，因为为底面内（包括边界）的动点，
所以点到平面的距离是2，
所以，
即三棱锥的体积为定值，所以A正确；
对于B，设，连接，当点为的中点时，，且∥，
所以四边形为平行四边形，所以∥，
因为平面，平面，
所以平面，所以B正确，
对于C，若，则点在以为直径的球面上，球心为的中点，半径为，
因为到平面的距离为2，且，
所以以为直径的球与平面无交点，
所以不存在点，使，所以C错误，
对于D，连接，因为点是的中点，点是的中点，
所以∥，，
因为∥，所以∥，
所以经过，，三点的正方体的截面为梯形，
因为，，
所以梯形的周长为，
即经过，，三点的正方体的截面周长为，所以D正确，
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：此题考查棱锥体积的求法，考查线面平行的判定，考查正方体的截面，D选项解题的关键是利用平行关系确定出过，，三点的截面，从而可求了截面周长，考查空间想象能力和推理能力，属于较难题.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 正四棱台上、下底面的边长分别为2，4，且侧面积等于两底面面积之和，则该棱台的体积是________.
【答案】
【解析】
【分析】根据正棱台的性质，求得正四棱台的斜高，结合题意侧面积等于两底面面积之和列出关系式，求得高，然后代入棱台体积公式即可求解.
【详解】
由题意，正四棱台上、下底面的边长分别为，高为，
可得上、下底面面积为，
如图所示，取上、下底面正方形的中心分别为，再取分别为的中点，
分别连接，过点作，
在直角中，可得，
因为侧面积等于两底面面积之和，可得，
可得.
代入棱台体积公式：，得：
故答案为：.
13. 已知，，则在方向上的投影向量坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据投影向量的定义和公式求解即可.
【详解】在方向上的投影向量为，
，，
代入计算，得到.
故答案为：.
14. 在三棱锥中，若，，，且，，，为底面内部及边界上的动点，则与底面所成角的正弦值的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用空间向量法来确定坐标，再利用空间向量法来求线面角正弦值，最后利用解析几何思想，数形结合找到最优解求值即可.
【详解】
因为，所以以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，
又因为，，则，，设，
，，
又由，，可得，
，解得，则，
由为底面内部及边界上的动点，可设，且，
则，设与底面所成角为，
由于平面的法向量可取为，
则，
把看成动点到定点的距离的平方，
利用数形结合可得：
在底面内部及边界上的动点中，最小值最优解是，代入得，
最大值是优解是，代入得，
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知，，与的夹角是．
（1）求的值及的值；
（2）当为何值时，？
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）（2）利用向量积运算来求模，利用向量积为零来求两向量垂直.
【小问1详解】
，
；
【小问2详解】
因为，
所以，
整理得，解得．
即当时，．
16. 在一个文艺比赛中，10名专业人士和10名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分，下面是两组评委对同一名选手的打分：
小组A：45 48 46 52 47 49 55 42 51 45
小组B：55 36 70 66 75 49 68 42 62 47
（1）如果选择方差度量每一组评委打分相似性的量，计算每组评委打分的方差；
（2）你能据此判断小组A和小组B中哪一个更像是由专业人士组成的吗？
【答案】（1）13.4；155.4
（2）A组更像是由专业人士组成的
【解析】
【分析】（1）根据题意数据结合平均数和方差公式运算求解；
（2）根据（1）中结论，结合方差的意义分析判断.
【小问1详解】
记小组A的数据依次为，小组B的数据依次为，，
由题意可得：每组的平均数分别为：，，
每组的方差分别为：，.
【小问2详解】
由于专业人士给分更符合专业规则，相似程度更高，
由（1）可知，，因而，
根据方差越大数据波动越大，因此A组更像是由专业人士组成的．
17. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
（1）求；
（2）若，求面积的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先由正弦定理化简再应用辅助角公式化简求出三角函数值进而求出角；
（2）先由正弦定理化简面积结合三角恒等变换，最后应用三角函数的值域可得范围.
【小问1详解】
由及正弦定理得：
，
即，
，
，
因为，因此，
所以得，
即，
得或，
又因为，所以．
【小问2详解】
由正弦定理得：，
所以，，
所以
，
因为，所以，
因此，，
所以．
因此：面积的取值范围是：．
18. 某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在，，，，，（单位：克）中，经统计得频率分布直方图如图所示．
（1）根据频率分布直方图估计这组数据的中位数；
（2）现按分层随机抽样的方法从质量在，内的芒果中随机抽取6个，再从这6个中随机抽取3个，求这3个芒果中质量至少有一个在内的概率；
（3）若该种植园中还未摘下的芒果大约有10000个，以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，用样本估计总体．某经销商来收购未摘芒果，提出如下两种收购方案：
A：所有芒果以10元/千克收购；
B：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，高于或等于250克的芒果以3元/个收购．
通过计算确定该种植园选择哪种方案获利更多？
【答案】（1）268.75
（2）
（3）选择B方案获利更多
【解析】
【分析】（1）运用中位数两边的频率都为0.5，列方程可解；
（2）利用列举法，再用古典概型公式求解即可；
（3）算出两种方案的利润，比较大小即可.
【小问1详解】
设中位数为，由频率分布直方图可得：
，解得：．
这组数据的中位数是268.75．
【小问2详解】
抽取的6个芒果中，质量在和内的分别有4个和2个．
设质量在内的4个芒果分别为A，B，C，D，质量在内的2个芒果分别为a，b．
从这6个芒果中选出3个，样本空间为：，则.设“至少有一个在内”为事件，则，.
因此，
所以从6个芒果中随机抽取3个，至少有一个在内的概率为．
【小问3详解】
A方案可获利：
（元）．
B方案可获利：（元）
由于，因此该种植园选择B方案获利更多．
19. 如图，三棱柱中，是正三角形，，，平面平面，E、F分别为的中点.
（1）证明：平面；
（2）若P为底面内（包括边界）的动点，平面，且P的轨迹长度为，求三棱柱的体积.
（3）在（2）的条件下，求二面角的正切值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由面面垂直的性质定理即可证明；
（2）由题意结合面面平行的判定定理可证明平面平面，由面面平行的性质定理可证明P的轨迹为，所以，再由三棱柱的体积公式求解即可.
（3）取AB的中点H，连接CH，，由二面角的定义可证明二面角的平面角为，求解即可.
【小问1详解】
取的中点，连接.
因为是等边三角形，所以.
又平面平面，且平面平面，BD在面ABC内，
所以平面.
因为平面，所以.
因为，平面,
所以平面.
【小问2详解】
取BC的中点M，连接，
因为分别为的中点，，
D、M分别为的中点，，
因为三棱柱，∴侧面为平行四边形，∴，
∴，平面，平面，平面，
因为三棱柱，∴侧面为平行四边形，分别为的中点，
∴且，∴平行四边形，∴，
平面，平面，平面，
又，平面，所以平面平面．
∵P为底面内（包括边界）的动点，当时，平面，
∴平面，∴P的轨迹为，∴，∴，
又因为正三角形，∴
由（1）知：三棱柱的高为，∴，
∴三棱柱的体积.
【小问3详解】
取AB的中点H，连接CH，，
∵是正三角形，H为AB的中点，∴CH⊥AB，
∵平面，平面，∴⊥AB，
又，平面，
∵平面，又平面，∴，
∴二面角的平面角为，
在中，，，.
∴二面角的正切值为.