2024-2025学年浙江省杭州市高二数学下学期6月学考模拟检测试题（附答案）

这是一份2024-2025学年浙江省杭州市高二数学下学期6月学考模拟检测试题（附答案），共21页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题纸.等内容，欢迎下载使用。
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4．考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1. 设集合，则（）
AB.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据交集运算求解.
【详解】由题意可得：.
故选：A.
2. 复数（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数乘法计算.
【详解】.
故选：D
3. 函数的定义域为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据真数大于零可得定义域.
【详解】要使函数有意义，则有，即，所以函数的定义域为.
故选：D
【点睛】本题主要考查函数定义域的求解，对数函数一般要求真数大于零，侧重考查数学运算的核心素养.
4. 某演讲比赛8位参赛选手的最终得分分别为92，88，95，93，90，97，94，96，其中位数为（）
A. 91.5B. 93C. 93.5D. 94
【答案】C
【解析】
【分析】按照中位数的定义计算.
【详解】把数据按从小到大的顺序排列可得：88，90，92，93，94，95，96，97，中位数是．
故选：C.
5. 若，则a，b，c的大小关系是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，以及指数和对数的函数的单调性，来确定a，b，c的大小关系.
【详解】解：是增函数
，
是增函数.
，
又
，
.
【点睛】本题考查三个数的大小的求法，考查指数函数和对数函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.根据题意，构造合适的对数函数和指数函数，利用指数对数函数的单调性判定的范围是关键.
6. 某飞机在空中沿水平方向飞行，飞行至处飞行员观察地面目标测得俯角为30°，继续飞行800（单位：米）至处观察目标测得俯角为60°．已知在同一个铅垂平面内，则该飞机飞行的高度为（）
A. 400B. C. 800D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，过点作于点，可得，在中解三角形可得解.
【详解】如图，过点作于点，
，，
，，
在中，.
故选：B.
7. 有一组实验数据如表，则体现这组数据的最佳函数模型是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据数据判断函数的增长速度选择函数模型.
【详解】，，，，
通过所给数据可知，y随x的增大而增大，且增长的速度越来越快，
AC选项函数增长的速度越来越慢，D选项函数增长的速度不变，B选项函数增长的速度越来越快，所以B正确.
故选：B.
8. 已知，为单位向量，则“，夹角为”是“”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】结合向量的数量积的运算以及夹角公式，判断“，的夹角为”和“”的逻辑推理关系，即得答案.
【详解】由题意，为单位向量，，的夹角为，
则，则，
即充分性成立；
若，则，即，
则，而，故，即必要性成立，
故“，的夹角为”是“”的充要条件，
故选：C
9. 已知圆锥的底面半径为2，高为，则该圆锥内切球的体积为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆锥与内切球的轴截面图，列出等量关系，即可求解.
【详解】如图，圆锥与内切球的轴截面图，点为球心，内切球的半径为，为切点，设，
即，
由条件可知，，
在中，，即，解得：，
所以圆锥内切球的体积.
故选：D
10. 不等式的解集是（）
A. 或B. 或
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】依题意可得，再解一元二次不等式（组）即可.
【详解】不等式，即，所以，
即，解得或，
故不等式的解集为或.
故选：B
11. 将函数的图象向右平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（）
A. 7B. 5C. 9D. 11
【答案】D
【解析】
【分析】求出，根据可得ω，从而可求其最小值.
【详解】，
，，
由题可知，，，解得，，
又，当时，取得最小值11．
故选：D．
12. 若，，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先给出作为A，C，D的反例，再直接证明B正确.
【详解】当时，有，，但，，，故A，C，D错误；
由于
，当且仅当时等号成立，故B正确.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于使用不等式的性质证明不等式.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没错选得2分，不选、选错得0分）
13. 已知，且，则关于表述正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据已知得到，由此即可逐一判断各个选项.
【详解】对于A，因，且，所以，故A正确；
对于BCD，因为，所以，，故BC正确，D错误.
故选：ABC.
14. 土壤是自然界中最大的生态系统，具有十分重要的作用.利用绿色化学药剂来降低土壤中的重金属含量是改善土壤环境的一项重要工作，若在使用绿色化学药剂降低土壤中重金属含量的过程中，重金属含量(单位:与时间(单位:)满足关系式，已知处理后，重金属含量减少，则（）)
A. 表示未经处理时土壤中的重金属含量B. 的值为
C. 使土壤中的重金属含量减少一半需要处理约D. 函数为减函数
【答案】AD
【解析】
【分析】根据已知条件，先求出，再结合对数公式，即可求解．
【详解】当时，，故表示未经处理时土壤中的重金属含量，A正确，
当时，，①，故，B错误，
，②，
联立①②解得，，
则，
故使土壤中的重金属含量减少一半需要处理约．C错误，
由于，，所以单调递增，因此单调递减，D正确，
故选：AD
15. 甲袋中有20个红球，10个白球，乙袋中红球、白球各有10个，两袋中的球除了颜色有差别外，再没有其他差别，现在从两袋中各取出1个球，下列结论正确的是（ ）
A. 2个球都是红球的概率为
B. 2个球中恰有1个红球的概率为
C. 2个球不都是红球的概率为
D. 2个球都不是红球的概率为
【答案】BC
【解析】
【分析】设出事件，得到，，A选项，；B选项，求事件的概率即可；C选项，根据对立事件概率公式得到C正确；D选项，.
【详解】记事件：从甲袋中任取1个球为红球，事件：从乙袋中任取1个球为红球，
则，，
对于A选项，即求事件的概率，，所以A错误；
对于B选项，即求事件的概率，．所以B正确，
对于C选项，由于“都是红球”与“不都是红球”互为对立事件，
所以概率为，C正确；
对于D选项，即求事件的概率，，所以D错误．
故选：BC.
16. 已知正方体棱长为2，点在线段上运动，则（ ）
A. 直线与所成角的取值范围是
B. 三棱锥体积为定值
C.
D. 的最小值为
【答案】AC
【解析】
【分析】由，根据在线段的位置，即可确定异面直线与所成角的范围可判断A；利用等体积法可判断B；由数量积的定义可判断C；将旋转到平面内，如图所述，旋转到，由余弦定理可判断D.
【详解】对于A，由，异面直线与所成角即为与所成角，
又为等边三角形，当与线段的两端点重合时，与所成角取最小值，
当与线段的中点重合时，与所成角取最大值，
故与所成角的范围，故A正确.
对于B，因为，平面，平面，
所以平面，所以直线上任意一点到平面的距离相等，
所以点到平面的距离等于点到平面，
所以，故B错误；
对于C，，
设，
所以，
当时，有最小值为；当或时，有最大值为；
故，所以，所以，
则，故C正确；
对于D，将旋转到平面内，如图所述，旋转到，
且最小值为：，故D错误.
故选：AC.
【点睛】方法点睛：对于立体几何的综合问题的解答方法：
（1）立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动态角的范围等问题，解决方法一般根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；
（2）对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设；
（3）对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.
非选择题部分
三、填空题（本大题共4题，每空3分，共15分）
17. 函数，则______，若，则______．
【答案】 ①. ## ②.
【解析】
【分析】根据分段函数的解析式求函数值，由函数值求对应自变量即可.
【详解】由，故，
令，无解，令，可得.
故答案为：，.
18. 为了解某中职学校男生的身体发育情况，对随机抽取的100名男生的身高进行了测量（结果精确到），并绘制了如图所示的频率分布直方图，由图可知，其中身高超过的男生的人数为_____________.
【答案】64
【解析】
【分析】根据频率分布直方图得到身高超过的频率，再乘以样本容量100可得答案.
【详解】由频率分布直方图可知，组距为4，由于结果精确到1cm，故后三组身高超过，
身高超过的频率为，
故身高超过的学生人数为.
故答案为：64
19. 对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是_____________.
【答案】
【解析】
【分析】将原问题条件等价转换为对任意恒成立，故只需求出在上的最大值即可.
【详解】由题意对任意恒成立，
由复合函数单调性可知在上单调递减，
所以，即实数的取值范围是.
故答案为：.
20. 如图，在平面四边形中，，，记与的面积分别为，则的值为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】首先得出，然后根据余弦定理得、，两式相减可得，由三角形的面积公式得，即可求解.
【详解】，
所以，
所以，
在中，由余弦定理得，
即，得①，
在中，由余弦定理得，
即，得②，
又，
所以③，
由②①，得，由，
得，代入③得.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：关键是根据余弦定理得出，结合三角形公式即可顺利得解.
四、解答题（本大题共3小题，每小题11分，共33分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21. 已知函数.
（1）求的图象的对称中心；
（2）当时，求的最值.
【答案】（1）
（2）最大值为2，最小值为
【解析】
【分析】（1）将函数化为，令，解出，即可得到答案；
（2）当时，，由正弦函数的单调性可得，，单调递增，，单调递减，所以函数取得最大值为，最小值为.
【小问1详解】
函数，
令，解得，
所以函数的对称中心为.
【小问2详解】
当时，，所以，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以函数取得最大值为，
函数取得最小值为.
22. 《九章算术》作为中国古代数学专著之一，在其“商功”篇内记载：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”，鳖臑是我国古代数学对四个面均为直角三角形的四面体的统称.在长方体中，已知.
（1）证明：平面平面；
（2）求与平面所成角的正弦值；
（3）求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）要证平面平面，只需证平面，只需证，，结合已知即可得证；
（2）方法一：按照线面角的定义找出其平面角，通过解三角形知识即可求解；方法二：建立适当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量、平面的法向量，由向量夹角公式即可得解；
（3）方法一：按照面角的定义找出其平面角，通过解三角形知识即可求解；方法二：求出两个平面的法向量，由向量夹角公式即可得解.
【小问1详解】
在长方体中，连，
平面，平面，，
，四边形为正方形，.
，平面，平面，
平面.
平面，
平面平面.
【小问2详解】
方法一：在正方形中，与交于点，
由（1）知面，
连接，可知就是与面所成角的平面角，
因为，
所以在直角三角形中，，
，
即与平面所成角的正弦值为.
方法二：
以为坐标原点，为轴，建立空间直角坐标系，
则，.
由（1）知平面，
所以平面的一个法向量可以是，
设是直线与平面所成角，
，
即与平面所成角的正弦值为.
【小问3详解】
方法一：
过点作的垂线，垂足为，
在平面内过点作交于点，
因为，
所以，即四边形是平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以，
又，
所以，，面，面，
面，
又面，，
所以为面与面所成的二面角的平面角，即平面与平面的夹角，
在直角三角形中，由等面积法有，可求得，而，
因为平面，，
所以平面，
因为平面，
所以，
所以在直角三角形中，可求得.
，
即平面与平面夹角的余弦值为.
方法二：
由（2）知，，，则，
设平面的法向量为，
，令，可得.，
设平面的法向量为，
，令，可得.
设平面与平面夹角为，
，，
即平面与平面夹角的余弦值为.
23. 对于函数.
（1）若，且为奇函数，求a的值；
（2）若方程恰有一个实根，求实数a的取值范围；
（3）设，若对任意，当时，满足，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用奇函数的定义可得；
（2）由题可得，分类讨论可得；
（3）由题可得，进而可得对任意的恒成立，然后求函数的最小值即得.
【小问1详解】
∵，
∴，又为奇函数，
∴，
∴，对定义域内任意恒成立，
∴，解得，
此时，定义域为符合奇函数的条件，
所以；
【小问2详解】
方程，
所以，
由①可得，，即，
当时，方程有唯一解，满足②，
所以符合条件；
当时，方程有两相等解，满足②，
所以符合条件；
当且时，方程有两不等解，
若满足②，则，
若满足②，则，
所以当时方程恰有一个实根；
综上，实数的取值范围为；
【小问3详解】
令，则在上为减函数，在上为增函数，
∴函数在上为减函数，
当时，满足，
则，
∴，即对任意的恒成立，
设，又，所以函数在单调递增，
所以，
∴.
2
3
4
5
6
1.40
2.56
5.31
11
21.30