2024-2025学年广东省清远市高一数学下学期7月期末考试（附答案）

这是一份2024-2025学年广东省清远市高一数学下学期7月期末考试（附答案），共21页。
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置．
3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效．
4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 为了调查某地三所学校未成年人的视力情况，计划采用分层随机抽样的方法从该地的，，三所中学抽取130名学生进行调查，已知，，三所学校中分别400，560，340名学生，则从学校中应抽取的人数为（）
A. 34B. 40C. 56D. 68
2. 要得到函数，的图象，只需将函数，的图象（）
A. 横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变
B. 横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变
C. 横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变
D. 横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变
3. 下列说法中，正确的是（）
A. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥
B. 一个多面体至少有4个面
C. 有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
D. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间部分是棱台
4. 将一个棱长为1的正方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为（）
AB. C. D.
5. 弹簧挂着的小球作上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米的关系可用函数（，）来确定，其图象如图所示，则的值是（）
A. B. C. D.
6. 已知正方形的边长为2，，，，则（）
A. 0B. 8C. D.
7. 设为复数，若，则的最小值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
8. 已知正方体棱长为为棱的中点，为侧面的中心，过点的平面垂直于，则平面截正方体所得的截面面积为（）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：“点数为奇数”，“点数为偶数”，“点数大于2”，“点数不大于2”，“点数为1”．则下列结论正确的是（）
A. ，为对立事件B. ，为互斥不对立事件
C. ，不是互斥事件D. ，是互斥事件
10. 甲、乙两名同学近五次数学测试成绩数据分别为：
甲68 71 72 72 82
乙66 70 72 78 79
则（）
A. 甲组数据的极差大于乙组数据的极差
B. 甲组数据的平均数等于乙组数据的平均数
C. 甲组数据的方差小于乙组数据的方差
D. 甲乙两组数据混合后的方差大于乙组数据的方差
11. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，满足，且，则下列结论正确的是（）
A. B. 角的最大值为
C. D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 复数，则的虚部为______．
13. 在三角形中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则______．
14. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，且点满足，已知，，，则到平面的距离为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15. 已知复数，求当实数为何值时；
（1）为实数；
（2）为纯虚数；
（3）为虚数．
16. 某高校承办了某大型运动会志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．
（1）估计这100名候选者面试成绩的众数；
（2）求，的值；
（3）估计这100名候选者面试成绩的第80百分位数．
17. 中，角，，的对边分别为，，，若．
（1）求；
（2）若且的面积为，求边长．
18. 如图，在四棱锥中，为边上的中点，为边上的中点，平面平面，，，，.
（1）求证：平面；
（2）求证：；
（3）若直线与底面所成角的余弦值为，求二面角的正切值.
19. 将连续正整数（）从小到大排列构成一个数，为这个数的位数．例如：当时，此数为123456789101112，共有15个数字，则．现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率．
（1）求；
（2）当时，求表达式；
（3）令为这个数中数字9个数，为这个数中数字0的个数，，，求当时的最大值．高一数学答案
注意事项：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置．
3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效．
4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 为了调查某地三所学校未成年人的视力情况，计划采用分层随机抽样的方法从该地的，，三所中学抽取130名学生进行调查，已知，，三所学校中分别400，560，340名学生，则从学校中应抽取的人数为（）
A. 34B. 40C. 56D. 68
【答案】A
【解析】
【分析】根据分层随机抽样的抽样方法可得.
【详解】由题意抽样比为，
所以从学校中应抽取的人数为，
故选：A
2. 要得到函数，的图象，只需将函数，的图象（）
A. 横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变
B. 横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变
C. 横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变
D. 横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角函数图象变换规律求解即可.
【详解】将函数的图象上各点横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变，
得的图象.
故选：C.
3. 下列说法中，正确的是（）
A. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥
B. 一个多面体至少有4个面
C. 有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
D. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
【答案】B
【解析】
【分析】根据简单几何体的定义以及结构特征去判断即可.
【详解】正棱锥底面是正多边形，还需要满足顶点到底面射影落在底面正多边形的中心，A错误；
多面体中面数最少为三棱锥，四个面，B正确，；
有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体不一定是棱柱，还需要满足各个侧面的交线互相平行，C错误；
用一个平面去截棱锥，必须是平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分才是棱台，D错误.
故选：B.
4. 将一个棱长为1的正方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由正方体的棱长求得正方体内切球的半径，代入球的表面积公式求解．
【详解】正方体的棱长为1，要使制作成球体零件最大，
则球内切于正方体，则球的直径为1，半径为，
可能制作的最大零件的表面积为.
故选：B.
5. 弹簧挂着的小球作上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米的关系可用函数（，）来确定，其图象如图所示，则的值是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由函数图象得到周期，利用公式可求的值.
【详解】函数（，），由图象可知，
最小正周期，则有.
故选：C
6. 已知正方形的边长为2，，，，则（）
A. 0B. 8C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】如图，以为原点，建立平面直角坐标系，根据题意表示出的坐标，从而可求出，进而可求出其模.
【详解】如图，以为原点，建立平面直角坐标系，
则，
所以，，，
所以，
所以.
故选：D
7. 设为复数，若，则的最小值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】设，根据题意求出的关系，再根据复数的模的公式即可得解.
【详解】设，
由，得，所以，
由，解得，
则，
所以当时，.
故选：A.
8. 已知正方体的棱长为为棱的中点，为侧面的中心，过点的平面垂直于，则平面截正方体所得的截面面积为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】取的中点，由证得，再由平面证得，从而得到平面，同理证得，利用线面垂直的判定定理证得平面，得到平面截正方体的截面为，进而求得截面的面积.
【详解】取的中点，分别连接
在正方形中，因为分别为的中点，
，
可得，
所以，因为，
所以，
所以，即，
又因为分别为的中点，所以，
因为平面，平面，
所以，所以，
又因为且平面，所以平面，
因为平面，所以，同理可证，
又因为且平面，
所以平面，
即平面截正方体的截面为，
由正方体的棱长为4，
在直角中，可得，
在直角中，可得，
直角中，可得，
所以，
所以截面的面积为
.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是根据题意确定所求截面为，从而得解.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：“点数为奇数”，“点数为偶数”，“点数大于2”，“点数不大于2”，“点数为1”．则下列结论正确的是（）
A. ，为对立事件B. ，为互斥不对立事件
C. ，不互斥事件D. ，是互斥事件
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据对立事件、互斥事件的概念及事件之间的关系，可得答案.
【详解】点数为奇数与点数为偶数不可能同时发生，且必有一个发生，所以E，F对立事件，选项A正确；
点数大于2与点数不大于2不可能同时发生，且必有一个发生，G，H为互斥且对立事件，选项B不正确；
点数为奇数与点数大于2可能同时发生，E，G不互斥，选项C正确；
点数大于2与点数为1不可能同时发生，G，R为互斥事件，选项D正确.
故选：ACD.
10. 甲、乙两名同学近五次数学测试成绩数据分别为：
甲68 71 72 72 82
乙66 70 72 78 79
则（）
A. 甲组数据的极差大于乙组数据的极差
B. 甲组数据的平均数等于乙组数据的平均数
C. 甲组数据的方差小于乙组数据的方差
D. 甲乙两组数据混合后的方差大于乙组数据的方差
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据已知数据求出甲与乙的极差、平均数、方差、甲乙两组数据混合后的方差，进行比较，即可得出答案.
【详解】对于A，由已知可得，甲组数据的极差为，乙组数据的极差为，故A正确；
对于B，由已知可得，甲组数据的平均数为，乙组数据的平均数为，故B项正确；
对于C，由已知可得，甲组数据的方差为，
乙组数据的方差为，故C项正确；
对于D，由前面可知甲乙两组数据混合后，方差为，
，故D项错误.
故选：ABC.
11. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，满足，且，则下列结论正确的是（）
A. B. 角的最大值为
C. D. 若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】由向量数量积运算得，可判断选项A；结合余弦定理及基本不等式，可求得的最大值判断选项B；可举反例判断选项C；结合条件可得，，计算即可判断选项D.
【详解】由可知，整理可知，A正确；
，
当且仅当时取等号，又，的最大值为，故B正确；
由特例，满足，可知C错误；
由可得，解得，又，
从而可得，，为最大边，
，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：
先利用向量垂直的坐标运算，化简得，根据各选项的内容，利用正余弦定理和基本不等式，通过计算对选项中的结论进行判断.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 复数，则的虚部为______．
【答案】##-2.2
【解析】
【分析】由复数的除法化简，再由复数虚部的定义得解.
【详解】复数，则，此复数的虚部为.
故答案为：
13. 在三角形中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则______．
【答案】5
【解析】
【分析】利用余弦定理，将，，，代入计算可得到.
【详解】在中，已知，，，
由余弦定理得，得，
即，解得或，而，所以.
故答案为：5.
14. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，且点满足，已知，，，则到平面的距离为______．
【答案】##
【解析】
【分析】到平面距离，即三棱锥的高，由，利用等体积法求解.
【详解】取靠近点的三等分点，连接，取靠近点的三等分点，连接，
底面是矩形，，，
，， 则，且，
又底面，底面，，，
而，平面，
所以平面，平面，
即为三棱锥的高，，
在中，，，
在中，，
中，，，
在中，，则，
，
在中，，
在中，
，
在中，，，，
由余弦定理，则
，
设到平面的距离为，
，所以.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：
点到平面的距离，转化为对应棱锥的高，利用等体积法求解，由图形中的垂直关系，利用勾股定理和余弦定理计算需要的边长和面积.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15. 已知复数，求当实数为何值时；
（1）为实数；
（2）为纯虚数；
（3）为虚数．
【答案】（1）
（2）或
（3）且
【解析】
【分析】（1）根据复数为实数的条件，列方程和不等式组m的值；
（2）根据复数为纯虚数的条件，列方程和不等式求m的值；
（3）根据复数为虚数的条件，列不等式组求m的值即可.
【小问1详解】
当且时，复数为实数，解得，
所以时，复数为实数；
【小问2详解】
当且且时，复数为纯虚数，
解得或，
所以或时，复数为纯虚数；
【小问3详解】
当且时，复数为虚数，解得且，
所以且时，复数为虚数.
16. 某高校承办了某大型运动会志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．
（1）估计这100名候选者面试成绩的众数；
（2）求，的值；
（3）估计这100名候选者面试成绩的第80百分位数．
【答案】（1）;
（2）;
（3）.
【解析】
【分析】（1）可利用频率分布直方图来估计众数，即取频率最大的那组中点值；
（2）可利用频率分布直方图来计算概率和为1，再联立方程组求解即可；
（3）利用频率分布直方图中的面积和为0.8来计算第80百分位数．
【小问1详解】
根据频率分布直方图可知，第三组数据频率最大，取中点值为，
所以估计这100名候选者面试成绩的众数为；
【小问2详解】
由频率分布直方图中的频率和为1可得，，
化简得：，
又由第三、四、五组的频率之和为0.7，则，
化简得：，所以；
【小问3详解】
第一组频率为，第二组频率为，
第三组频率为，，第四组频率为，
所以可设这100名候选者面试成绩的第80百分位数估计为，
则，解得：，
即可估计这100名候选者面试成绩的第80百分位数为．
17. 中，角，，的对边分别为，，，若．
（1）求；
（2）若且的面积为，求边长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理实现边角转化，结合两角和的正弦公式、辅助角公式化简进行求解即可；
（2）由正弦定理得，，代入面积公式求边长．
小问1详解】
中，，
由正弦定理得，
又，
所以，
由于，，有，
所以，又，则，所以.
【小问2详解】
由（1），
而，
由正弦定理有，从而，，
由三角形面积公式可知，的面积可表示为，
由已知的面积为，可得，所以.
18. 如图，在四棱锥中，为边上的中点，为边上的中点，平面平面，，，，.
（1）求证：平面；
（2）求证：；
（3）若直线与底面所成角的余弦值为，求二面角的正切值.
【答案】（1）证明见详解
（2）证明见详解 （3）
【解析】
【分析】（1）如图，连接，可得，则得平面；
（2）由已知，可得都是等腰直角三角形，则，又得平面，则得，则平面，得；
（3）由已知和（2）可得，为直线与底面所成的角，进而证得即为二面角的平面角，再利用三角形相似求得，从而得解.
【小问1详解】
如图，连接，
因为为边上的中点，为边上的中点，
所以，又平面，又平面，
所以平面.
【小问2详解】
在四边形中，，，，
则，
所以，则，
所以都是等腰直角三角形，则，
又平面平面，，即，
平面平面，平面，
所以平面，又平面，
所以，又，又平面，
所以平面，又平面，
所以.
【小问3详解】
已知，直线与底面所成角的余弦值为，
由（2）知，，平面，
则为直线与底面所成的角，则，
所以在中，则，，
取的中点，连接，过作的垂线交于，连接，
由，平面，平面平面，平面平面，
则平面，
又平面，所以，，
，平面，，
所以平面，又平面，所以，
则即为二面角的平面角，
因为，，
又，所以，又，
则在中，由勾股定理，
则，所以.
19. 将连续正整数（）从小到大排列构成一个数，为这个数的位数．例如：当时，此数为123456789101112，共有15个数字，则．现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率．
（1）求；
（2）当时，求的表达式；
（3）令为这个数中数字9的个数，为这个数中数字0的个数，，，求当时的最大值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）计算，数字0的个数为12，得到概率；
（2）考虑，，，四种情况，依次计算得到答案；
（3）考虑当时，时，当时三种情况，得到和的解析式，得到，再计算概率的最值得到答案.
【小问1详解】
当时，，即这个数中共有195个数字，
其中数字0的个数为12，则恰好取到0的概率为.
【小问2详解】
当时，这个数由n个1位数组成，；
当时，这个数有9个1位数，个两位数组成，则；
当时，这个数有9个1位数，90个两位数，个三位数组成，；
当时，这个数有9个1位数，90个两位数，900个三位数，
个四位数组成，；
综上所述：.
【小问3详解】
当时，，
当时，，
当时，，即，
同理有，
由，可知，
所以当时，，
当时，，当时，，
当时，，
由关于单调递增，
故当时，有最大值为，
又，所以当时的最大值为．
【点睛】关键点点睛：函数的解析式，概率的计算，最值问题，（2）要考虑，，，四种情况，依次计算；（3）考虑当时，当时，当时三种情况，得到和的解析式，得到，再讨论计算概率的最值，其中分类讨论的思想是解题的关键.