2024-2025学年福建省南平市高二数学下学期期末考试（附答案）

这是一份2024-2025学年福建省南平市高二数学下学期期末考试（附答案），共19页。
注意事项：
1．答卷前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名、班级和座号.考生要认真核对答题卡上粘贴条形码的“准考证号、姓名”.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
2已知随机变量，若，则（）
A. B. C. D.
3. “在上单调递增”是“”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 若，，则（）
A. 10B. 20C. 50D. 100
5. 已知随机变量X的分布列如下表所示，设，则（）
A. 5B. C. D.
6. 将函数图象上所有的点横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度得到的图象，则（）
A. B. C. D.
7. 将分别标有数字1，2，3，4，5的五个小球放入A，B，C三个盒子，每个小球只能放入一个盒子，每个盒子至少放一个小球．若标有数字1和2的小球不放入同一个盒子，则不同方法有（）
A72种B. 42种C. 114种D. 36种
8. 以max M表示数集M中最大的数．若，且，则的最小值为（）
A. 4B. C. 3D. 2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若，则n的值可能为（）
A. 3B. 4C. 6D. 8
10. 已知函数（且）在R上为单调函数，，则（）
A. 实数a的取值范围为
B. 当时，的取值范围为
C. 函数是周期函数
D. 函数与的图象之间关于直线对称的点有无数多对
11. A是轮子（半径为0.5m）外边沿上的一点，若轮子从图中位置（A恰为轮子和地面的切点）向左匀速无滑动滚动，当滚动的水平距离为x m（）时，点A距离地面的高度为，则（）
A. 当时，点A恰好位于轮子的最高点
B.
C. 当时，点A距离地面的高度在下降
D. 若，，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知随机变量，若，则________．
13. 若，则________．
14. 若存在实数x使得成立，则实数m的最大值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知的展开式中，二项式系数和为64．
（1）求展开式中各项系数的和；
（2）求展开式中含的项．
16. 某企业拥有甲、乙两种生产工艺，用这两种生产工艺共生产40件同一类型产品，所得合格品情况如表1，该企业对甲生产工艺研发投入x（亿元）与总收益y（亿元）的数据统计如表2.
表1：
表2：
（1）完成列联表，并根据的独立性检验，能否认为产品合格率与生产工艺有关？
（2）用线性回归方程预估当对甲生产工艺研发投入10亿元时，总收益将达到多少亿元？
附：①，
②临界值表：
③参考公式：，.
17. 已知函数，偶函数．
（1）求实数a的值；
（2）写出的单调区间（不需要说明理由）；
（3）若对于任意，不等式恒成立，求实数k的取值范围．
18. 已知甲盒中装有3个白球，2个黑球；乙盒中装有2个白球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同．
（1）若从两个盒子中一次性各摸出2个球，用X表示摸出的4个球中白球的个数，求X的分布列和数学期望．
（2）若先从甲盒中一次性摸出2个球放入乙盒，再从乙盒中摸出一个球．
（ⅰ）计算在乙盒中摸出的是黑球的概率；
（ⅱ）如果在乙盒中摸出的是黑球，计算甲盒中恰剩一个黑球的概率．
19. 函数的定义域为R，若存在非零实数T，对，都有，则称函数关于T可线性分解，已知（，）．
（1）若关于T可线性分解，求，；
（2）若，关于3可线性分解．
（ⅰ）求函数零点；
（ⅱ）对，，求m的取值范围．X
0
1
P
n
工艺
合格情况
合计
合格品
不合格品
甲
18
20
乙
8
合计
40
研发投入x（亿元）
1
2
3
4
收益y（亿元）
6.5
7
8
8.5
α
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
数学试题答案
（考试时间：120分钟满分：150分考试形式：闭卷）
注意事项：
1．答卷前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名、班级和座号.考生要认真核对答题卡上粘贴条形码的“准考证号、姓名”.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】应用交集定义计算即可.
【详解】由已知可得.
故选：C.
2. 已知随机变量，若，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用二项分布的期望公式求出，再利用独立重复试验的概率公式计算得解.
【详解】随机变量，由，得，解得，
所以.
故选：B
3. “在上单调递增”是“”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用导数求出函数的单调递增区间，进而求出的范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】函数的定义域为，求导得，
由，得或，即函数在上单调递增，
而在上单调递增，于是，显然真包含于，
所以“在上单调递增”是“”的充分不必要条件.
故选：A
4. 若，，则（）
A. 10B. 20C. 50D. 100
【答案】B
【解析】
【分析】先根据指对数转化，再应用指数运算律计算即可.
【详解】因为，又因为可得,
所以.
故选：B
5. 已知随机变量X的分布列如下表所示，设，则（）
A. 5B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用概率分布列的性质求出，再求出X的期望和方差，然后利用方差的性质计算即得.
【详解】依题意，，解得，，
，而，
所以.
故选：A
6. 将函数图象上所有的点横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度得到的图象，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用辅助角公式化简函数，再利用三角函数图象变换求出.
【详解】依题意，，因此.
故选：C
7. 将分别标有数字1，2，3，4，5的五个小球放入A，B，C三个盒子，每个小球只能放入一个盒子，每个盒子至少放一个小球．若标有数字1和2的小球不放入同一个盒子，则不同方法有（）
A. 72种B. 42种C. 114种D. 36种
【答案】C
【解析】
【分析】可先将小球分组去掉1和2在一组的分法，再将三组小球放入三个盒子中即可.
【详解】5个不同小球，先分成3组，可分为1,1,3,或者是1,2,2，
共种，
将每一种分法放到3个盒子中，共有种不同方法，
根据分步乘法计数原理得：种.
故选：C.
8. 以max M表示数集M中最大的数．若，且，则的最小值为（）
A. 4B. C. 3D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】设，根据定义，得到，两次运用基本不等式，再运用不等式性质，得到,开方即可.
【详解】设，则.显然．
，当且仅当取得等号.
，当且仅当取得等号.
两式相乘，即，则.
此时，前面都要成立，则，，则.
的最小值为2,当且仅当取得最小值.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若，则n的值可能为（）
A. 3B. 4C. 6D. 8
【答案】BC
【解析】
【分析】利用组合数公式化简，再利用组合数性质求出n的值.
【详解】依题意，，因此，
所以或.
故选：BC
10. 已知函数（且）在R上为单调函数，，则（）
A. 实数a的取值范围为
B. 当时，的取值范围为
C. 函数是周期函数
D. 函数与的图象之间关于直线对称的点有无数多对
【答案】ACD
【解析】
【分析】由单调性求出a的范围判断A；求出函数值域判断B；由周期函数的定义判断C；由函数的图象关于直线的图象与函数的图象交点个数判断D.
【详解】对于A，由函数在R上为单调函数，而在上为增函数，
得，解得，A正确；
对于B，当时，，B错误；
对于C，显然，函数是周期函数，C正确；
对于D，函数的图象关于对称的图象对应解析式，
由，得，即，
由，，得，又，
因此函数的图象与函数的图象有无数个交点，
所以函数与的图象之间关于直线对称的点有无数多对，D正确.
故选：ACD
11. A是轮子（半径为0.5m）外边沿上的一点，若轮子从图中位置（A恰为轮子和地面的切点）向左匀速无滑动滚动，当滚动的水平距离为x m（）时，点A距离地面的高度为，则（）
A. 当时，点A恰好位于轮子的最高点
B.
C. 当时，点A距离地面的高度在下降
D. 若，，则的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】设轮子滚动了后到达了点，过点作垂直地面，过点作，求得函数的解析式为，结合余弦型函数的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意知，轮子的半径为，则轮子滚动一周的水平距离为，
如图所示，设轮子滚动了后到达了点，即，可得
过点作垂直地面，过点作，
则，即，
对于A中，当时，，所以A不正确；
对于B中，可得，所以B正确；
对于C中，当时，可得，
由余弦型函数的性质，都可在上单调递减，所以C正确；
对于D中，由，可得，
可得，所以，
令且，且，
则，且，
当时，可得的最小值为，所以D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知随机变量，若，则________．
【答案】0.2##
【解析】
【分析】根据正态分布概率曲线图，结合对称性可解.
【详解】如图，画出正态分布的曲线图，，即，即红色区域面积为.
根据对称性，知，则
故答案为：0.2.
13. 若，则________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据给定条件，利用和角的正切公式求出，再利用正余弦齐次式法求值.
【详解】由，得，解得，
所以.
故答案为：
14. 若存在实数x使得成立，则实数m的最大值为________．
【答案】1
【解析】
【分析】令，转化问题为，进而根据函数的单调性求出，转化问题为，即可求解．
【详解】解：，
，
，，
令，
若存在使得不等式成立，
，
函数在上单调递增，在上单调递减，
函数在上单调递增，在上单调递减，
，
，
即，
，
解得：，
，
实数的最大值为1，
故答案为：1．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知的展开式中，二项式系数和为64．
（1）求展开式中各项系数的和；
（2）求展开式中含的项．
【答案】（1）4096；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用二项式系数的性质求出，再利用赋值法求出各项系数和.
（2）求出展开式的通项公式，再求出指定项.
【小问1详解】
由的展开式中，二项式系数和为64，得，解得，
所以展开式中各项系数的和为.
【小问2详解】
展开式的通项公式，
令，得，所以展开式中含的项为.
16. 某企业拥有甲、乙两种生产工艺，用这两种生产工艺共生产40件同一类型产品，所得合格品情况如表1，该企业对甲生产工艺研发投入x（亿元）与总收益y（亿元）的数据统计如表2.
表1：
表2：
（1）完成列联表，并根据的独立性检验，能否认为产品合格率与生产工艺有关？
（2）用线性回归方程预估当对甲生产工艺研发投入10亿元时，总收益将达到多少亿元？
附：①，.
②临界值表：
③参考公式：，.
【答案】（1）列联表见解析，有关；
（2）12.75亿元.
【解析】
【分析】（1）完善列联表，计算观测值，与临界值比对即得.
（2）利用最小二乘法公式求出回归直线方程，再代入计算即可.
【小问1详解】
列联表为：
零假设：两种工艺生产的配件与合格率无关，
由列联表中数据得，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为产品合格率与生产工艺有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.
【小问2详解】
显然，
，，
则，，
因此关于的线性回归方程为，
令，得，
所以预估研发投入10亿元，收益将达到12.75亿元.
17. 已知函数，为偶函数．
（1）求实数a的值；
（2）写出的单调区间（不需要说明理由）；
（3）若对于任意，不等式恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】（1）；
（2）递减区间是，递增区间是；
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用偶函数的定义求出值.
（2）利用指数函数单调性，结合对勾函数单调性及偶函数的性质求解即得.
（3）利用偶函数性质及函数单调性脱去法则“f”，转化为恒成立的不等式求解.
【小问1详解】
函数的定义域为R，由为偶函数，得，
即，即，又不恒为0，
所以.
【小问2详解】
函数，令，函数在上单调递增，
当时，，而函数在上单调递增，因此在上单调递增，
又函数是R上的偶函数，因此在上单调递减，
所以函数的递减区间是，递增区间是.
【小问3详解】
由（2）知函数是R上的偶函数，且在上单调递增，
不等式，
则，而，
于是，
依题意，对于任意恒成立，
当时，，当且仅当或时取等号，
，当且仅当时取等号，因此，
所以实数k的取值范围是.
18. 已知甲盒中装有3个白球，2个黑球；乙盒中装有2个白球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同．
（1）若从两个盒子中一次性各摸出2个球，用X表示摸出的4个球中白球的个数，求X的分布列和数学期望．
（2）若先从甲盒中一次性摸出2个球放入乙盒，再从乙盒中摸出一个球．
（ⅰ）计算在乙盒中摸出的是黑球的概率；
（ⅱ）如果在乙盒中摸出的是黑球，计算甲盒中恰剩一个黑球的概率．
【答案】（1）分布列见解析，数学期望为2；
（2）（ⅰ）；（ⅱ）.
【解析】
【分析】（1）求出的可能值及各值对应的概率，列出分布列并求出期望.
（2）（ⅰ）利用古典概型及全概率公式计算即得；（ⅱ）利用条件概率公式计算得解.
【小问1详解】
依题意，的可能值为，
，，
，
，，
所以的分布列为：
数学期望.
【小问2详解】
（ⅰ）设事件“从甲盒中摸出2个白球”，事件“从甲盒中摸出1个白球和1个黑球”，
事件“从甲盒中摸出2个黑球”，事件“从乙盒中摸出1个黑球”，
显然，且两两互斥，，
，
则，
所以在乙盒中摸出的是黑球的概率是.
（ⅱ）在乙盒中摸出的是黑球，甲盒中恰剩一个黑球的事件是在事件发生的条件下，事件发生，
因此，
所以在乙盒中摸出的是黑球，甲盒中恰剩一个黑球的概率为.
【点睛】关键点点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键.
19. 函数的定义域为R，若存在非零实数T，对，都有，则称函数关于T可线性分解，已知（，）．
（1）若关于T可线性分解，求，；
（2）若，关于3可线性分解．
（ⅰ）求函数的零点；
（ⅱ）对，，求m的取值范围．
【答案】（1），；
（2）（ⅰ），；（ⅱ）.
【解析】
【分析】（1）根据给定的定义，赋值计算，.
（2）（ⅰ）利用定义求得，再由结合最值确定，进而求出零点；（ⅱ）由的周期为3，则按分类求出，进而求出m的范围.
【小问1详解】
若关于可线性分解，则，即，
由，得(*)，
若，则充分大时，将大于2，
而的值域为，故等式(*)不可能成立，所以必有.
【小问2详解】
（i）由（1）知，即，则，，
而，则，，又，则，
此时，不符合题意；
或，，又，则，
此时，满足，符合题意，
因此，
依题意，，则或，
显然不成立，于是，
则，解得，，
所以函数的零点为，.
（ii）显然，
又周期3，则当时，，
当时，，
当时，
，
因此恒成立，则，
所以的取值范围为.
【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.
X
0
1
P
n
工艺
合格情况
合计
合格品
不合格品
甲
18
20
乙
8
合计
40
研发投入x（亿元）
1
2
3
4
收益y（亿元）
6.5
7
8
8.5
α
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6635
7.879
10.828
工艺
合格情况
合计
合格品
不合格品
甲
18
2
20
乙
12
8
20
合计
30
10
40
0
1
2
3
4