2023-2024学年上海市静安区八年级（下）期末数学试卷 （含解析）

这是一份2023-2024学年上海市静安区八年级（下）期末数学试卷 （含解析），共22页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列事件中，是必然事件的是
A．购买一张彩票，中奖
B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D．任意画一个凸多边形，其外角和是
2．（3分）一次函数的图象不经过
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（3分）下列方程有实数根的是
A．B．C．D．
4．（3分）下列说法中，正确的是
A．平行向量的方向相同B．方向相反的向量是相反向量
C．平行向量的方向相反D．方向相反的向量是平行向量
5．（3分）已知四边形中，，如果只添加一个条件，即可判定该四边形是正方形，那么所添加的这个条件可以是
A．B．
C．D．与互相平分
6．（3分）把一张矩形纸片沿对角线折叠，点的对应点为点，边交边于点．联结（如图所示）．当时，下列结论中，不正确的是
A．B．C．D．
二、填空题：（本大题共12题，满分36分）
7．（3分）已知函数关系式：，则自变量的取值范围是 ．
8．（3分）直线的截距是 ．
9．（3分）方程的根是 ．
10．（3分）如果关于的方程有实数解，那么常数的取值范围是 ．
11．（3分）已知方程，如果设，那么原方程变形为关于的整式方程是 ．
12．（3分）化简： ．
13．（3分）一个多边形的每一个外角都等于，那么这个多边形的内角和是 ．
14．（3分）在1，2，3这三个数中，随机选取两个数，它们的和是偶数的概率是 ．
15．（3分）梯形中，，，，，，这个梯形的中位线的长度为 ．
16．（3分）如图，在平行四边形中，平分，交边于点，平分，交边于点，如果，，那么 ．
17．（3分）如图，正方形和正方形中，、、三点共线，点在上，，，是的中点，那么的长是 ．
18．（3分）如果一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，那么称这个点为这个函数图象的“等值点”，比如：点是函数图象上的“等值点”．
已知点，点是函数图象上的“等值点”，点是函数图象上的“等值点”，如果四边形是等腰梯形，那么点的坐标是 ．
三、解答题：（本大题共8题，满分66分）
19．（6分）解无理方程：．
20．（6分）解方程组：
21．（6分）已知一次函数，完成下列问题：
（1）求在这个函数图象上且位于轴上方的所有点的横坐标的取值范围；
（2）求经过点，且平行于直线的一次函数的解析式．
22．（8分）某汽车销售店根据过去几个月的销售记录，得到了每月的销售成本（万元）与销售车辆（辆之间的关系如图所示．
（1）求关于的函数解析式；（不写定义域）
（2）如果该店每月的销售收入（万元）与销售车辆（辆之间恰好成正比例关系，且当月销售10辆汽车时，销售收入与销售成本相等．
①求关于的函数解析式；（不写定义域）
②如果汽车销售店想要每月的净利润不少于13万元，那么该店每月应至少销售多少辆车？
（净利润销售收入销售成本）
23．（10分）某工厂接到制作2000件物理实验模型的加工订单，为了尽快完成任务，工厂对原加工计划进行了调整，经测算，如果平均每天比原计划多加工20件，那么能提早5天完成任务．
（1）求工厂原计划每天加工物理实验模型的件数；
（2）在生产模型的过程中，检验员会在一段时间内先后对多个批次的模型合格情况进行抽查，目的是估计产品的报废率，及时调整生产数量与进度，满足客户需求．下表是检验员对该物理实验模型产品抽查过程中的数据统计：
请估计这批物理实验模型成品的报废率约为 （精确到；结合你的估计帮助工厂计算，至少还需生产 件产品才能完成订单的需求．
24．（8分）如图，在等腰中，，为边上的中线，过点作，且，联结．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）联结，如果，，求点到直线的距离．
25．（10分）问题：已知矩形的长和宽分别为12和2，是否存在一个新矩形，使其周长和面积都为原矩形的一半？
在学习函数的知识后，小丽发现可利用函数知识，借助图象，成功解决这一问题．过程如下：
第一步：建立函数模型
设新矩形的长和宽分别为和，
（1）假如只考虑新矩形周长为原矩形周长的一半，不考虑面积，那么关于的函数解析式是 ①，它的定义域是 ；
（2）假如只考虑新矩形面积为原矩形面积的一半，不考虑周长，那么关于的函数解析式是 ②，它的定义域是 ；
第二步：画出函数图象
（3）在所给的直角坐标平面内画出符合题意的函数①和函数②的大致图象．
第三步；同时考虑新矩形的面积和周长都为原矩形的一半，观察图象，解决问题．
（4）这两个函数图象在第一象限内有 个公共点；请解释公共点的意义．
（5）如果存在这样的新矩形，直接写出新矩形的长和宽；如果不存在，请说明理由．
26．（12分）在等腰中，，，直线垂直平分，交于点，点、在直线上，且点与点关于点对称，联结、、、．
（1）如图1，求证：四边形是菱形；
（2）如图1，当平分时，求菱形的周长；
（3）当四边形为正方形时，请在图2中画出符合题意的正方形，再联结，求的长．
参考答案
一．选择题（共6小题）
一、选择题（共6题，每题3分，满分18分）.
1．（3分）下列事件中，是必然事件的是
A．购买一张彩票，中奖
B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D．任意画一个凸多边形，其外角和是
解：、购买一张彩票，中奖，是随机事件，不符合题意；
、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，不符合题意；
、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意；
、任意画一个凸多边形，其外角和是，是必然事件，符合题意．
故选：．
2．（3分）一次函数的图象不经过
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
解：一次函数，
该函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，
故选：．
3．（3分）下列方程有实数根的是
A．B．C．D．
解：、，无解；故本选项不符合题意；
、，无解，故本选项不符合题意；
、，△，方程有实数根，故本选项符合题意；
、解分式方程，可得，经检验是分式方程的增根，故本选项不符合题意；
故选：．
4．（3分）下列说法中，正确的是
A．平行向量的方向相同B．方向相反的向量是相反向量
C．平行向量的方向相反D．方向相反的向量是平行向量
解：、平行向量的方向相同或相反，原说法错误；
、方向相反且长度相等的向量叫做相反向量，原说法错误；
、平行向量的方向相同或相反，原说法错误；
、方向相反的向量是平行向量，原说法正确．
故选：．
5．（3分）已知四边形中，，如果只添加一个条件，即可判定该四边形是正方形，那么所添加的这个条件可以是
A．B．
C．D．与互相平分
解：由可判定四边形为矩形，
因此再添加条件：，即可判定四边形为正方形，
故选：．
6．（3分）把一张矩形纸片沿对角线折叠，点的对应点为点，边交边于点．联结（如图所示）．当时，下列结论中，不正确的是
A．B．C．D．
解：四边形是矩形，，
，，，，
，，
由折叠得，，，，，
，，，，
，
，
，
在和中，
，
，
故不符合题意；
，，
，，
，
，
，
故不符合题意；
，
，
，
，
，
整理得，
，
或（不符合题意，舍去），
，
故不符合题意；
，
，
，
，
，
故符合题意，
故选：．
二、填空题：（本大题共12题，满分36分）
7．（3分）已知函数关系式：，则自变量的取值范围是 ．
解：根据题意得，，
解得．
故答案为：．
8．（3分）直线的截距是 ．
解：直线与轴的交点坐标为，
所以在轴上的截距为．
故答案为．
9．（3分）方程的根是 ．
解：，
，
解得：．
故答案为：．
10．（3分）如果关于的方程有实数解，那么常数的取值范围是 ．
解：若关于的方程有实数解，
则常数的取值范围是，
故答案为：．
11．（3分）已知方程，如果设，那么原方程变形为关于的整式方程是 ．
解：方程，若设，则原方程可变形为：
，
即，
故答案为：．
12．（3分）化简： ．
解：
．
故答案为：．
13．（3分）一个多边形的每一个外角都等于，那么这个多边形的内角和是 1440 ．
解：，
．
即这个多边形的内角和是，
故答案为1440．
14．（3分）在1，2，3这三个数中，随机选取两个数，它们的和是偶数的概率是 ．
解：列表如下：
共有6种等可能的结果，其中它们的和是偶数的结果有：，，共2种，
它们的和是偶数的概率为．
故答案为：．
15．（3分）梯形中，，，，，，这个梯形的中位线的长度为 ．
解：过点作于点，
，，
四边形是矩形，
，，
在直角三角形中，，
，
，
这个梯形的中位线的长度为，
故答案为：．
16．（3分）如图，在平行四边形中，平分，交边于点，平分，交边于点，如果，，那么 4 ．
解：在平行四边形中，，，则，．
平分，平分，
，．
，．
，．
又，，
．
故答案为：4．
17．（3分）如图，正方形和正方形中，、、三点共线，点在上，，，是的中点，那么的长是 ．
解：如图，连接、，
四边形和四边形都是正方形，
，，，，，，
，
，，
，，
在中，由勾股定理得，，
在中，由勾股定理得，，
在中，由勾股定理得，，
是的中点，
，
故答案为：．
18．（3分）如果一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，那么称这个点为这个函数图象的“等值点”，比如：点是函数图象上的“等值点”．
已知点，点是函数图象上的“等值点”，点是函数图象上的“等值点”，如果四边形是等腰梯形，那么点的坐标是 或 ．
解：点是函数的“等值点”，
，
解得，
点的坐标为．
同理可得，点的坐标为．
当时，如图所示，
点坐标为，点坐标为，
与轴正半轴的夹角为，
点坐标为，点坐标为，
轴，．
四边形是等腰梯形，
，，
，
，
轴，
点的坐标为．
同理可得，
当时，点的坐标为．
故答案为：或．
三、解答题：（本大题共8题，满分66分）
19．（6分）解无理方程：．
解：，
移项，得，
方程两边平方，得，
整理，得，
解得：，，
经检验：是原方程的解，不是原方程的解，
所以原方程的解是．
20．（6分）解方程组：
解：将方程的左边因式分解，得或，
原方程组可以化为或，
解这两个方程组得或，
所以原方程组的解是．
21．（6分）已知一次函数，完成下列问题：
（1）求在这个函数图象上且位于轴上方的所有点的横坐标的取值范围；
（2）求经过点，且平行于直线的一次函数的解析式．
解：（1）当时，，解得，
当，随的增大而增大，
在这个函数的图象上且位于轴上方的所有点的横坐标的取值范围为．
（2）设所求的一次函数的解析式为，
平行于直线，
，
，
经过点，
，
解得，
该一次函数的解析式为．
22．（8分）某汽车销售店根据过去几个月的销售记录，得到了每月的销售成本（万元）与销售车辆（辆之间的关系如图所示．
（1）求关于的函数解析式；（不写定义域）
（2）如果该店每月的销售收入（万元）与销售车辆（辆之间恰好成正比例关系，且当月销售10辆汽车时，销售收入与销售成本相等．
①求关于的函数解析式；（不写定义域）
②如果汽车销售店想要每月的净利润不少于13万元，那么该店每月应至少销售多少辆车？
（净利润销售收入销售成本）
解：（1）设，
则：，
解得：，
关于的函数解析式为；
（2）①设，
则：，
解得：，
关于的函数解析式为：；
②由题意得：，
解得：，
的最小整数解为15，
答：想要每月的净利润不少于13万元，那么该店每月应至少销售15辆车．
23．（10分）某工厂接到制作2000件物理实验模型的加工订单，为了尽快完成任务，工厂对原加工计划进行了调整，经测算，如果平均每天比原计划多加工20件，那么能提早5天完成任务．
（1）求工厂原计划每天加工物理实验模型的件数；
（2）在生产模型的过程中，检验员会在一段时间内先后对多个批次的模型合格情况进行抽查，目的是估计产品的报废率，及时调整生产数量与进度，满足客户需求．下表是检验员对该物理实验模型产品抽查过程中的数据统计：
请估计这批物理实验模型成品的报废率约为 0.02 （精确到；结合你的估计帮助工厂计算，至少还需生产 件产品才能完成订单的需求．
解：（1）设工厂原计划每天加工物理实验模型件，根据题意得：
，
整理，得，
解得，（不符合题意，舍去），
经检验，是原方程的解，
答：工厂原计划每天加工物理实验模型80件；
（2）由表格可知，估计这批物理实验模型成品的报废率约为0.02，
（件，
即至少还需生产41件产品才能完成订单的需求．
故答案为：0.02，41．
24．（8分）如图，在等腰中，，为边上的中线，过点作，且，联结．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）联结，如果，，求点到直线的距离．
【解答】（1）证明：，为边上的中线，
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形为矩形；
（2）解：过点作于，设，相交于，
由（1）知，四边形是矩形，，
，，，
，
在和中，
，
，
，，
在中，，
，
，
，
，
，
点到直线的距离为．
25．（10分）问题：已知矩形的长和宽分别为12和2，是否存在一个新矩形，使其周长和面积都为原矩形的一半？
在学习函数的知识后，小丽发现可利用函数知识，借助图象，成功解决这一问题．过程如下：
第一步：建立函数模型
设新矩形的长和宽分别为和，
（1）假如只考虑新矩形周长为原矩形周长的一半，不考虑面积，那么关于的函数解析式是 ①，它的定义域是 ；
（2）假如只考虑新矩形面积为原矩形面积的一半，不考虑周长，那么关于的函数解析式是 ②，它的定义域是 ；
第二步：画出函数图象
（3）在所给的直角坐标平面内画出符合题意的函数①和函数②的大致图象．
第三步；同时考虑新矩形的面积和周长都为原矩形的一半，观察图象，解决问题．
（4）这两个函数图象在第一象限内有 个公共点；请解释公共点的意义．
（5）如果存在这样的新矩形，直接写出新矩形的长和宽；如果不存在，请说明理由．
解：（1）原长方形的周长为：，只考虑新矩形周长为原矩形周长的一半，不考虑面积，那么关于的函数解析式是：，定义域为，
故答案为：，；
（2）新长方形的面积为：，
只考虑新矩形面积为原矩形面积的一半，不考虑周长，那么关于的函数解析式是，它的定义域是，
故答案为：，；
（3）列表：
描点，连线，如图所示：
观察图象可知：当新矩形的长为4，宽为3或矩形的长为4，宽为3时，新矩形的周长是原来的一半，面积是原来的一半．
（4）这两个函数图象在第一象限内有两个公共点，这两个公共点的横纵坐标正好是既符合矩形的周长为原来的一半，又符合矩形的面积是原来一半时，矩形的长和宽，
故答案为：两；
（5）存在；新矩形的长为4，宽为3或矩形的长为3，宽为4．
26．（12分）在等腰中，，，直线垂直平分，交于点，点、在直线上，且点与点关于点对称，联结、、、．
（1）如图1，求证：四边形是菱形；
（2）如图1，当平分时，求菱形的周长；
（3）当四边形为正方形时，请在图2中画出符合题意的正方形，再联结，求的长．
【解答】（1）证明：如图1，
直线垂直平分，
，，
点与点关于点对称，
，
，
四边形为菱形；
（2）解：如图2，延长交于，
，平分，
，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
菱形的周长为；
（3）如图3，四边形为正方形，作于，作于，
四边形为矩形，
由的等面积得，，即，
，
，
四边形为正方形，
，
，
，
，
，
，
．
抽取模型数累计（件
50
100
150
200
250
300
400
报废模型数累计（件
0
3
4
5
5
6
8
模型报废的频率（精确到
0
0.03
0.027
0.025
0.02
0.02
0.02
题号
1
2
3
4
5
6
答案
D
B
C
D
C
D
1
2
3
1
2
3
抽取模型数累计（件
50
100
150
200
250
300
400
报废模型数累计（件
0
3
4
5
5
6
8
模型报废的频率（精确到
0
0.03
0.027
0.025
0.02
0.02
0.02
2
3
4
6
5
4
3
1
6
4
3
2