吉林省长春市朝阳区长春外国语学校2022-2023学年高一下学期6月月考数学试题（含答案）

这是一份吉林省长春市朝阳区长春外国语学校2022-2023学年高一下学期6月月考数学试题（含答案），共4页。试卷主要包含了 下列说法错误的是， 下列命题中正确的是等内容，欢迎下载使用。
出题人 ：张宏欣 审题人：王先师
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。考试结束后，将答题卡交回。
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在复平面内，复数z=2i1−i，下列说法正确的是( )
A. z的实部为1B. z= 2C. z=1+i2D. z对应的点在第一象限
2. 已知向量a=(2,csα),b=(sinα,−1)，若a⊥b，则tanα=( )
A. 2B. −2C. 12D. −12
3. 用斜二测画法画水平放置的边长为2的正三角形的直观图，该直观图的面积为( )
A. 32B. 34C. 62D. 64
4. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：
①若m⊥α，n//α，则m⊥n；②若m//n，n//α，则m//α；③若m//n，n⊥β，m//α，则α⊥β；④若m∩n=A，m//α，m//β，n//α，n//β，则α//β．
其中真命题的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
5. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为a2+b2−c24，则C=( )
A. π2B. π3C. π4D. π6
6. 如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，则下列四个命题错误的是( )
A. 直线BC与平面ABC1D1所成的角等于π4B. 点C到面ABC1D1的距离为 22
C. 两条异面直线D1C和BC1所成的角为π4D. 三棱柱AA1D1−BB1C1外接球半径为 32
7. 已知三棱锥P−ABC的外接球O的直径为PC，且PC=2，PA=PB= 3，AB=1，那么顶点P到平面ABC的距离为( )
A. 2 33B. 3 34C. 2 63D. 3 64
8. 我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图所示的池盆几何体是一个刍童，其中上下底面为正方形，边长分别为6和2，侧面是全等的等腰梯形，梯形的高为2 2.已知盆中有积水，将一半径为1的实心铁球放入盆中之后，盆中积水深变为池盆高度的一半，则该盆中积水的体积为( )
A. 28 23−2π3B. 283−4π3C. 28 23−4π3D. 283−2π3
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）
9. 下列说法错误的是( )
A. a|a|=b|b|
B. 若a与b共线，c与b共线，则a与c共线
C. |a+b|=|a−b|，则a⋅b=0
D. 若a与b是单位向量，则a⋅b=1
10. 下列命题中正确的是( )
A. 两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内
B. 过空间中任意三点有且仅有一个平面
C. 若空间两条直线不相交，则这两条直线平行
D. 若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l
11. 如图，ABCD−A1B1C1D1为正方体，下面结论正确的是( )
A. BD //平面CB1D1
B. AC1⊥BD
C. AC1⊥平面CB1D1
D. 异面直线AD与CB1所成的角为60°
12. 如图，在三棱锥A−BCD中，AB=BC=CD=BD=AC=1,E为BC的中点，点P满足AP=λAD，其中λ∈0,1，则( )
A. ∀λ∈0,1,BC⊥PE
B. 三棱锥A−BCD体积的最大值为18
C. 当二面角A−BC−D为60∘时，AD长为 32
D. 若三棱锥形状不变，当λ=12时，EP= 22，则当λ=14时，EP= 32
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 若A(−1,−2)，B(4,8)，C(5,x)，且A、B、C三点共线，则x= ．
14. 已知i是虚数单位，若复数z满足zi2023=1+i，则|z|= ．
15. 三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=90°，PA=AB，则直线PB与平面ABC所成的角是 ．
16. 已知△ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c，sinAsinB=1+csA2−csB，csA=35，S△ABC=6，则a= ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10分)
已知平面直角坐标系中，点O为原点，A(−3,−4)，B(5,−12)．
(1)求AB的坐标及|AB|；
(2)若OC=OA+OB，OD=OA−OB，求OC及OD的坐标；
(3)求OA⋅OB．
18. (本小题12分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且ccsB+bcsC=3acsB．
(1)求csB的值；
(2)若|CA−CB|=2，△ABC的面积为2 2，求边b．
19. (本小题12分)
某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以160,180,180,200，200,220,220,240，240,260,260,280，280,300分组的频率分布直方图如图．
(1)求直方图中x的值；
(2)在这100户居民中，月平均用电量不低于220度的有多少户？
(3)在月平均用电量为220,240,240,260，260,280,280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在220,240的用户中应抽取多少户？
20. (本小题12分)
如图，直三棱柱A1B1C1−ABC中，AC⊥BC，AC=BC=1，CC1=2，点M是A1B1的中点．
(1)求证：B1C//平面AC1M；
(2)求三棱锥A1−AMC1的体积．
21. (本小题12分)
在四棱锥Q−ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD=2，QD=QA= 5，QC=3．
(1)求证：平面QAD⊥平面ABCD；
(2)求异面直线QC与AD所成角的余弦值．
22. (本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面四边形ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，点E、F分别是AB、PD的中点，PA=AD．
(1)求证：AF//平面PEC；
(2)求二面角P−CD−B的大小；
(3)若AD=2，CD=2 2，求直线PE与平面PCD所成角的正弦值．