重庆市2025届学业质量调研抽测（第二次） 数学试题【含答案】

这是一份重庆市2025届学业质量调研抽测（第二次） 数学试题【含答案】，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知全集，集合满足，则（ ）
A．B．C．D．
2．从小到大排列的一组数据:80，86，90，96，110，120，126，134，则这组数据的下四分位数为（ ）
A．88B．90C．123D．126
3．已知命题 ，命题 : 复数 为纯虚数，则命题 是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．某学校举行运动会， 该校高二年级 2 班有甲、乙、丙、丁四位同学将参加跳高、跳远、 100 米三个项目的比赛，每人只能参加一个项目，每个项目至少有一个人参加，若甲、 乙两人不能参加同一项目的比赛，则不同参赛方案总数为（ ）
A．20B．24C．30D．36
5．已知函数 是定义在上的偶函数，且在 上为增函数，设，，则 的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
6．若函数 在 上有且仅有 1 个零点和 1 个极值点，则 的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知抛物线为坐标原点，直线与抛物线相交于两点，且直线的斜率之积为-2，则点到直线的最大距离为（ ）
A．2B．3C．4D．6
8．设等差数列的前项和为，且，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知 为 内部的一点，满足 ，则（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，已知正四棱柱 的底面边长为 2，侧棱长为 4，点 ， 分别为 的中点，则（ ）

A．
B．平面 平面
C．三棱锥 的体积为
D．四面体 的外接球的表面积为
11．已知双曲线的左右顶点分别为 ，双曲线的右焦点为 ，点 是双曲线 上在第一象限内的点，直线 交双曲线 右支于点 ，交 轴于点 ， 且 . 设直线的倾斜角分别为 ，则（ ）
A．点 到双曲线的两条渐近线的距离之积为
B．设 ，则 的最小值为
C． 为定值
D．当 取最小值时， 的面积为
三、填空题（本大题共3小题）
12．的展开式中的常数项是 .
13．过点 的直线与曲线 有公共点，则直线的斜率的最大值为 .
14．已知函数 满足 ，且 ，则 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．在中，角所对的边分别 ，且 .
(1)求角 的值；
(2)若为锐角三角形，且 ，求面积的取值范围.
16．某工厂采购了甲、乙两台新型机器， 现对这两台机器生产的第一批零件的直径进行测量， 质检部门随机抽查了 100 个零件的直径进行了统计如下:
(1)经统计，零件的直径服从正态分布，据此估计这批零件直径在区间 内的概率;
(2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为，求的分布列和数学期望;
(3)在甲、乙两台新型机器生产的这批零件中，甲机器生产的零件数是乙机器生产的零件数的 2 倍， 且甲机器生产的零件的次品率为 0.3， 乙机器生产的零件的次品率为0.2， 现从这批零件中随机抽取一件， 若检测出这个零件是次品， 求这个零件是甲机器生产的概率.
参考数据: 若随机变量，则，，.
17．如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面是边长为 2的正三角形， 平面平面 , 为侧棱的中点,为的中点，为线段上一点.
(1)若点为线段 的中点，求证:直线平面 ；
(2)若，且点到平面的距离为，求直线与平面 所成角的正弦值.
18．已知函数 .
(1)设过点 且与曲线 过此点的切线垂直的直线叫做曲线在点 处的法线. 若曲线 在点处的法线与直线 平行，求实数的值;
(2)当时，若对任意，不等式 恒成立， 求的最小值;
(3)若存在两个不同的极值点且，求实数取值范围.
19．已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，离心率为，点 在椭圆 上.
(1)求的方程;
(2)过点且斜率存在的两条直线 互相垂直，直线交于两点，直线交于两点， 分别为弦和的中点，直线交轴于点 ，其中.
① 求 ；
② 设椭圆的上顶点为 ，记的面积为，令 ，求证: .
参考答案
1．【答案】D
【详解】因为全集，，可得，
所以，，，.
故选D.
2．【答案】A
【详解】由题意，
所以下四分位数为，
故选A
3．【答案】C
【详解】因为是纯虚数，所以 ， 所以.
故命题是命题 的充要条件
故选C.
4．【答案】C
【详解】对甲、乙、丙、丁四位同学分成3组，则三组各有位同学，共有种，
又因为甲、 乙两人不能参加同一项目的比赛，且甲乙在一组时仅有种分法，则共有种分组方法，
所以不同的参赛方案共有种.
故选C.
5．【答案】B
【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且在上为增函数，
所以函数在上为减函数，
又 ，，
所以，则，
故选B.
6．【答案】A
【详解】
对于，因，则，
作出函数在上的图象，
要使原函数在 上有且仅有 1 个零点和 1 个极值点，需使，
解得.
故选A.
7．【答案】C
【详解】设直线，，
则，可得，
所以，
又，，所以，
所以，
所以，所以直线恒过，
则点到直线的最大距离为4.
故选.
8．【答案】A
【详解】因为，
当时，则，
两式相减得，
整理可得，
且，则，可得，即，
可知等差数列的公差，
当时，则，解得；
所以，可知数列为正奇数列，
对于数列，
当时，可得为偶数；
当时，可得为奇数；
所以数列与的公共项从小到大排列得到数列的通项公式为，
则，
所以.
故选A.
9．【答案】ACD
【详解】由，又，
所以，故A对；
由，
所以，故B错；
，故C对；
，故D对；
故选ACD.
10．【答案】BD
【详解】
如图，以D为坐标原点，所在方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系，
则，
对A，不是0，所以A不正确；
对B，设平面的法向量为，，
所以，令，则.
设平面的法向量为，，
所以，令，则.
所以，所以平面平面，故B正确；
对于C：，故C不正确；
对于D：三棱锥的外接球球心为，由，
四面体 的外接球的表面积为 ，故D正确.
故选BD.
11．【答案】BCD
【详解】

由题意可得，设，
对于A，由可得双曲线的渐近线方程为，
由点到直线的距离公式可得，
点到双曲线的两条渐近线的距离之积为，
将代入双曲线方程可得，则，
代入上式可得，故A错误；
对于B，设双曲线的左焦点为，
由双曲线的定义可得，
则，当三点共线时，最小，
且，
故的最小值为，故B正确；
对于C，设直线方程为，联立直线与双曲线方程消去可得，
，由韦达定理可得，
由直线方程，令，则，即，
则，，，，
由可得，则，
由可得，则，
则
为定值，故C正确；
对于D，由条件可得，
则
，
当且仅当时，即时，等号成立，
此时，则，故D正确；
故选BCD.
12．【答案】
【详解】的展开式的通项公式为：
，
令，得，
则.
13．【答案】
【详解】由曲线，得，
作出图象如下：
设过点且与半圆相切的直线的斜率为，
则直线方程为，即．
由，解得或（舍去），
直线的斜率的最大值为．
14．【答案】-10
【详解】由，得，
两式相加得，则，
所以函数的周期为，
设，则，，
，又，则，即，
所以，，，，
所以，
.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由及正弦定理可得，
得，
得，
得，
因，故，故，即，
又，故.
（2）由得，
由为锐角三角形可得得，
由正弦定理可得，故，
即，
因，故，故，
故，
，故，
故面积的取值范围为
16．【答案】(1)
(2)的分布列见解析；
(3)
【详解】（1）由题意，
得.
（2）由题意，随机抽取一个零件，直径在区间的概率为，
故由题意满足二项分布，
故，，
，，
，
故的分布列为
的数学期望为
（3）设事件为“从这批零件中随机抽取一件来自甲机器生产”，事件为“从这批零件中随机抽取一件为次品”
则为“从这批零件中随机抽取一件来自乙机器生产”，
由题意，，，，
则，
，
故，
故从这批零件中随机抽取一件， 若检测出这个零件是次品， 求这个零件是甲机器生产的概率为.
17．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）
如图，取的中点，连接，因点为线段 的中点，故，
因底面为矩形，为的中点，则，
故有，即得，则，
因平面，平面，故有直线平面；
（2）
如图，因平面平面，平面平面，
为等边三角形，且为的中点，则，故平面，
取中点，连接，则，故可以分别为轴建立空间直角坐标系.
设，则，
因为侧棱的中点，则，于是，，
设平面的法向量为，则，故可取，
又，则点到平面的距离为，解得.
因，则，
因，
设平面的法向量为，则，故可取，
设直线 与平面 所成角为，则.
18．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由得：，
则，又由直线的斜率为，
根据题意可知：；
（2）当时，不等式可化为，
变形为
同构函数，求导得，
所以在上是增函数，而原不等式可化为，
根据单调性可得：，
再构造，则，
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
所以，即满足不等式成立的,
所以的最小值为；
（3）因为存在两个不同的极值点
所以由可得：
，，
因为，而的对称轴是，所以可得，
根据对称性可得另一个零点，此时有，
故，
又由可得，
而
令，
则，
，即，，
则，
即在区间上单调递减，
所以有，
即，
所以实数取值范围.
19．【答案】(1)
(2)①②证明过程见解析
【详解】（1）由题意，设椭圆方程为，
则有，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）
①设的方程为．
，
由，得，
，
同理可得：，
三点共线，当轴时，则，
当与轴不垂直时，由得：
，
②因为，所以，
由得：，且，
，
，
.
零件直径 (单位: 厘米)
[1.8，2.0]
零件个数
10
25
30
25
10
0
1
2
3
4