浙江省台州市十校联盟2024-2025学年高一下学期4月期中考试 数学 含解析

这是一份浙江省台州市十校联盟2024-2025学年高一下学期4月期中考试 数学 含解析，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知平面向量，，若，则实数（ ）
A．B．C．D．2
3．已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（ ）

A．B．C．D．
4．如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是（ ）

A．B．1C．D．
5．已知圆台的体积为，两底面圆的半径分别为4和6，则圆台的高为（ ）
A．6B．C．D．
6．设不共线，，若A，B，D三点共线，则实数 的值为（ ）
A．B．C．1D．2
7．中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（ ）

A．B．C．D．
8．中国宋代数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个边长分别为的三角形，其面积可由公式求得，其中，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的三边长满足，则此三角形面积的最大值为（ ）
A．6B．6C．12D．12
二、多选题
9．下列命题正确的是（ ）
A．梯形可确定一个平面
B．圆心和圆上两点可确定一个平面
C．若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都没有公共点
D．若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行
10．下列有关复数的说法中（其中为虚数单位），正确的是（ ）
A．
B．复数的虚部为
C．复数z为实数的充要条件是
D．已知复数z满足，则复数z对应点的集合是以O为圆心，以2为半径的圆
11．已知向量，的夹角为，，，，则（ ）
A．在方向上的投影向量的模为B．在方向上的投影向量的模为
C．的最小值为D．取得最小值时，
三、填空题
12．已知复数满足，则 .
13．在中，，，M为BC的中点，，则 .
14．在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体.如图，在直角中，AD为斜边BC上的高，，，现将沿AD翻折成，使得四面体AB＇CD为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为 .
四、解答题
15．已知复数，其中为虚数单位，.
(1)若z是纯虚数，求m的值；
(2)若z在复平面内对应的点在第三象限，求m的取值范围.
16．如图，在中，，，，将绕BC轴旋转一周形成了一个旋转体.
(1)求这个旋转体的体积；
(2)求这个旋转体的表面积.
17．已知向量，.
(1)求；
(2)已知，且，求向量与向量的夹角.
18．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，且.
(1)求角A；
(2)若，，求的面积；
(3)若，求的最大值.
19．在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为.
(1)已知向量，求；
(2)（i）设向量的夹角为，证明：；
（ii）在中，为的中点，且，若，求.
1．B
由共轭复数的定义，即可得到结果.
【详解】因为，则.
故选：B
2．A
利用向量垂直的坐标表示，列式计算即得.
【详解】平面向量，，由，得，
所以.
故选：A
3．A
利用向量的线性运算，即可得到答案；
【详解】连结，则为的中位线，
，

故选：A
4．A
根据斜二测画法的定义，画出平面图形，求得原三角形的直角边，从而面积可得．
【详解】利用斜二测画法的定义，画出原图形，

由是等腰直角三角形，，斜边，得，
因此，，
所以原平面图形的面积是.
故选：A
5．A
根据两底面圆半径分别求出其面积，代入圆台体积公式即可求得高.
【详解】设圆台的高为，且上下两底面面积分别为
根据圆台体积公式可得，解得.
故选：A
6．A
由向量共线定理求解．
【详解】由已知，
又三点共线，则共线，而不共线，，
所以，即，
故选：A．
7．B
由题设得,，再应用正弦定理列方程求鹳雀楼的高度.
【详解】因为中，，，，
所以，
因为中，，，
所以，即,
由题意，，，
则，
在中，由正弦定理得，即，
故，
故.
故选：B
8．B
根据海伦-秦九韶公式化简得，再利用基本不等式求最值.
【详解】根据海伦-秦九韶公式，，其中，
由题意，可知，则，又，
故，
当且仅当，即时取等号.
故选：B
9．AC
平行直线确定一个平面判断A，根据不共线三点确定一个平面判断B，根据直线与平面平行的定义判断CD.
【详解】因为梯形有两个边平行，可以确定一个平面，故A正确；
如果圆上两点是直径的两个端点，此时三点共线，不能确定一个平面，故B错误；
直线l与平面平行，根据定义知l与平面内的任意一条直线都没有公共点，故C正确；
直线l与平面平行,l与平面内的任意一条直线都平行或异面，故D错误.
故选：AC
10．CD
由复数的相关概念即可判断A，由纯虚数的定义即可判断C，由复数的几何意义即可判断D.
【详解】对于A，不全是实数的两个复数不能比较大小，故A错误；
对于B，复数的虚部为，故B错误；
对于C，设，则，
若为实数，则，此时；
反之，若，即，则，为实数，故C正确；
对于D，设，由可得，
即，它表示以原点为圆心，半径为的圆，故D正确；
故选：CD
11．ABD
A先计算，再利用公式计算；B先计算，再利用公式计算；C 先利用向量求模公式计算 ，再求一元二次函数的最小值即可；D求证即可.
【详解】由条件可得，，
则在方向上的投影向量的模为，故A正确；
因，
则在方向上的投影向量的模为，故B正确；
由，其为开口朝上的一元二次函数，
故当时其有最小值，则的最小值为，故C错误；
由C选项可知，取得最小值时，
则，则，故D正确.
故选：ABD
12．
根据复数模的运算公式进行求解即可.
【详解】因为，所以.
故答案为：
13．3
【详解】
延长到，使，因为为的中点，
所以四边形为平行四边形，则，，，
在中，由余弦定理可得，
代入可得，
化简可得，即，
解得，则.
故答案为：
14．
找出鳖臑外接球的球心，并得出外接球的半径，结合球的表面积公式即可求解.
【详解】由题可知，，都是直角三角形，只需平面即可，
所以鳖臑外接球的球心在过中点且垂直于平面的直线上，
而在直角三角形中，的中点到点的距离都相等，
所以的中点是外接球的球心，所以，
所以该鳖臑外接球的表面积为．
故答案为：.
15．(1)
(2)
（1）根据题意，由纯虚数的定义列出方程，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由复数的几何意义列出不等式，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）由z是纯虚数，则
，，故.
（2）由z在复平面内对应的点在第三象限，
，，所以.
16．(1)
(2)
（1）旋转体是两个圆锥的组合体，利用圆锥的体积计算旋转体的体积；
（2）利用圆锥的表面积计算旋转体的表面积.
【详解】（1）如图所示.
在中，，，
∴，，
∴，
设旋转体的底面面积为S，旋转得到同底的两圆锥的侧面积分别为和，则旋转体的体积，
.
（2）由（1）得旋转体的表面积
.
17．(1)
(2)
（1）利用向量的坐标表示，再借助坐标计算向量的模作答.
（2）由向量的模，结合向量的数量积运算律转化求出向量的数量积，再求出夹角作答.
【详解】（1）由题知，，，
所以，
所以.
（2）由题知，，，
设向量与向量的夹角为，
所以，
即，
解得，因为，
所以向量与向量的夹角为.
18．(1)
(2)
(3)4
（1）利用共线向量的坐标表示，正弦定理边化角求解.
（2）利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式求解.
（3）利用余弦定理建立关系，再利用基本不等式求出最大值.
【详解】（1）向量，且，则，
在中，由正弦定理得，而，
则，即，又，
所以.
（2）由余弦定理得，即
于是，而，解得，
所以的面积.
（3）由余弦定理得，
则，
当且仅当时取等号，解得，
所以当时，取得最大值4.
19．(1)
(2)(i)证明见解析，（ii)
【详解】（1）由，，
可得：
（2）（i）因为
，
且，，则，
所以.
（ii）因为D为中点，
则，
可得，
即，可得，
又因为，可知点为的中点，则，
可得，
即
则，
，
，
可得，
所以.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
A
A
A
A
B
B
AC
CD
题号
11









答案
ABD