2024届重庆市沙坪坝区南开中学校高三下学期第九次模拟预测数学试题（含答案）

这是一份2024届重庆市沙坪坝区南开中学校高三下学期第九次模拟预测数学试题（含答案），共14页。试卷主要包含了已知实数满足，则，已知数列的前项和为，已知，则等内容，欢迎下载使用。
2024.5
命审单位：重庆南开中学
注意事项：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求
1.已知（为虚数单位），则复数的共轭复数为（ ）
A. B. C. D.
2.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知向量，若，则（ ）
A.2 B.3 C. D.
4.无人机集群智能灯光秀是一种集无人机技术和智能照明相结合的艺术表演.它利用大量无人机排列组合，加上灯光智能照明的“协作”，依据编程和算法，制造出惊人的3D视觉效果.如图，在某一次无人机灯光表演秀中，有8架无人机排布成如图形式.已知每架无人机均可以发出3种不同颜色的光，编号1至5号的无人机颜色必须相同，编号7､8号的无人机颜色必须相同，编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（ ）种灯光组合.
A.9 B.12 C.15 D.18
5.已知实数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
6.已知从点发出的光线经轴反射，反射光线与圆相切，其反射光线的斜率为（ ）
A. B.2 C.或2 D.或
7.已知函数的部分图像如图所示，若，则（ ）
A. B. C. D.
8.已知数列的前项和为（ ）
A.276 B.272 C.268 D.266
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.如图，已知正方体中，分别为棱的中点，则下列说法正确的是（ ）
A.四点共面 B.与异面
C. D.与所成角为
10.已知，则（ ）
A. B.在上单调递增
C.，使 D.，使
11.已知双曲线的左､右焦点分别为为双曲线上一点且的内切圆圆心为，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.直线的斜率为
C.的周长为
D.的外接圆半径为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.对具有线性相关关系的变量有一组观测数据，其经验回归方程，则在样本点处的残差为__________.
13.已知一个表面积为的球与正三棱柱的各个面都相切，则此正三棱柱的体积为__________.
14.已知函数满足，若是方程的两根，则__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知分别为的内角的对边，为的面积，且满足.
（1）求；
（2）若，且，求的余弦值.
16.（15分）
如图，在圆锥中，为圆锥底面的直径，为底面圆周上一点，点在线段上，，.
（1）证明：平面；
（2）若圆锥的侧面积为，求二面角的余弦值.
17.（15分）
已知为圆上一个动点，垂直轴，垂足为为坐标原点，的重心为.
（1）求点的轨迹方程；
（2）记（1）中的轨迹为曲线，直线与曲线相交于两点，点，若点恰好是的垂心，求直线的方程.
18.（17分）
已知是二维离散型随机变量，其中是两个相互独立的离散型随机变量，的分布列用表格表示如下：
（1）求和；
（2）“”表示在条件下的的取值，求“”的分布列；
（3）为的数学期望，为“”的分布的期望，证明：.
19.（17分）
已知函数.
（1）当时，恒成立，求实数的取值范围；
（2）已知直线是曲线的两条切线，且直线的斜率之积为1.
（i）记为直线交点的横坐标，求证：；
（ii）若也与曲线相切，求的关系式并求出的取值范围.
重庆市高2024届高三第九次质量检测
数学试题参考答案与评分细则
一､单项选择题：本题共8小题.每小题5分，共40分.
1.A
2.D
3.C 【解析】因为，所以，所以，所以.
4.B 【解析】先考虑6号，有3种颜色可选.则剩下的1至5号有2种颜色可选，号也有2种颜色可选，所以一共有种灯光组合.
5.C 【解析】由题可得
对A.由在上单调递减及可知，故A不成立
对B.当时，不满足，故B不成立
对C.由，故C成立
对D.易知在上单调递增，故，故D不成立
6.C 【解析】点关于轴的对称点，反射光线即为过点作圆：的切线，设切线的斜率为，则切线，由或2，故选C.
7.D 【解析】由图可知，由可知.
根据图象类比可知，.
.
故
8.A 【解析】，又，当时，；
当时，，作差得，
.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.AC 【解析】因为，所以四点共面，A选项正确；
取的中点，依次连结，则为正六边形，B错误；
易知面，所以C选项正确；
易知，又是等边三角形，所以与所成角为D选项错误.
10.AC 【解析】，
A正确；定义域B错误；
，
又，令单调递增，
又存在唯一，使得.
此时，故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，，
.所以C正确，D错误.
11.ACD 【解析】如图1，由条件，点应在双曲线的右支上，设圆分别与的三边切于点，则，，
又
，A选项正确；
连接，则
，B选项错误；
同理，，
，
，由，
得，
的周长为，选项正确；由，
由正弦定理得，D选项正确.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.0.5 【解析】残差.
13. 【解析】设正三棱柱的底面棱长为，内切球的半径为，则且棱柱的高，依题意，解得，故，所以正三棱柱的体积.
14.0 【解析】法一：令，则，于是，又，故.
法二：因，设，则可取，于是：
.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
解：（1）由面积公式和余弦定理可得：，
，
，
.
（2）由题可得：，
将代入上式整理得：，
.
，
三点共线，且，
所以.
16.（15分）
解：（1）法一：平面，故以为坐标原点，
为轴正方向，为轴正方向，与同向的方向为轴正方向建立空间直角坐标系.
设，故，，.
.
故平面.
法二：也可证明，从而可证平面.
（2）侧面.
由（1）可知，为平面的法向量，设平面的法向量为，而，故
取，则，即二面角的余弦值为.
17.（15分）
解：（1）设，则，因为的重心，故有：，解得，代入，化简得，又，故，所以的轨迹方程为.
（2）因为的垂心，故有
又，故设直线的方程为，
与联立消去得：
设，则
由，得
，解得（舍去）或（满足）
故直线的方程为.
18.（17分）
解：（1）由已知.
（2）法一：“”可取的值为
因为
所以，
，
所以“”分布列为
法二：“”可取的值为
由已知，随机变量相互独立，
故，其中，
由已知，，
所以得“”分布列为
（3）法一：
因为，所以，
因为，
所以，
又因为，
所以，
所以.
法二：
.
19.（17分）
（1）由于，则，
设，且在上单减，
所以在为正，为负，在单增，单减，，则.
（2）设两条切线在上的两个切点横坐标分别为，有此时，切线为：，
相减得，
所以，
设，
在上单调递减.
故当时，；
当时，，
则.
（3）由题意得：存在实数，使在处的切线和在处的切线重合，，即，则，
又因为，所以，
题目转化为有两个不等实根，且互为倒数，不妨设两根为，则由得，
化简得，
所以，
所以.（也可写为）
代入中得：有两个不等实根，
即，设，
由于在上单减且，所以在单增，单减，
而时，时，，
所以即.0
3
6
0
5
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
选项
A
D
C
B
C
C
D
A
AC
AC
ACD
0
3
6
0
3
6