河北省NT20名校联合体2025届高三下学期第二次调研考试数学试卷（解析版）

这是一份河北省NT20名校联合体2025届高三下学期第二次调研考试数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题知，，则，故．
故选：B．
2. 复数，则复数的虚部是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，故的虚部是.
故选：A．
3. 抛掷两枚质地均匀的骰子，则向上的数字之和是4的倍数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】抛掷两枚质地均匀的骰子共有种不同的结果，
向上的点数之和为4的倍数，
共有（1，3），（3，1），（2，2），（3，5），（5，3），（2，6），（6，2），（4，4），（6，6），共9种情况，
所以概率为．
故选：B．
4. 等轴双曲线C过点，则双曲线C的右焦点到其中一条渐近线的距离为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】设等轴双曲线方程为，代入点，可得，所以双曲线方程为，
所以双曲线的右焦点为，渐近线方程为，
所以右焦点到渐近线的距离为.
故选：C．
5. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，可得
，
则，则，
故选：C．
6. 已知圆台的母线长为4，下底面的半径是上底面半径的3倍，母线与底面所成的角为60°，那么圆台的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为母线与底面所成的角为60°，则圆台的高，上底面半径，下底面半径，
设外接球的半径为，球心到上底面的距离为，则，解得，
所以，所以.
故选：D．

7. 已知函数满足恒成立，则当时，曲线与的交点个数为（ ）
A. 3B. 4C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】因为恒成立，所以为的一条对称轴，
那么，所以，
解得，，
与的图象如图所示：
由图可知，曲线与的交点个数为4．
故选：B
8. 若存在，使得成立，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由，则，对求导，所以，
当时，，，所以，在上单调递减．
当时，，当时，，所以的值域是．
又,,，所以，那么．
设，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，则的最大值为．
故选：D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 某汽车4S店在周末举行新车发布会，并向所有到场的观众发放了一份相关的问卷．该发布会结束后，共收回问卷300份．据统计，这300份问卷的得分（满分为100分）近似服从正态分布，下列说法正确的是（ ）
附：若，则，，．
A. 这300份问卷得分数据的期望是82，标准差是36
B. 这300份问卷中得分超过88分的约有48份
C.
D. 若在其他4S店举行该发布会并发放问卷，得到的问卷得分数据也服从正态分布
【答案】BC
【解析】由题意知，该问卷得分数据服从正态分布，可得数据期望是，方差是，标准差是，所以A错误；
由，可得300×0.1585≈48，所以该问卷中得分超过88分的约有48份，所以B正确；
由正态分布概率密度曲线的对称性，可得，所以C正确；
由同一份问卷发放到不同4S店，得到的数据不一定相同，所以D错误．
故选：BC．
10. 已知数列的前项和为，且满足，，，则以下说法正确的是（ ）
A. 是等比数列B. 是等比数列
C. D.
【答案】AB
【解析】设，则，
则，解得或，
当时，，
因，所以是以4为首项，4为公比的等比数列，
所以①，故A正确；
当时，，
因，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以②，故B正确；
①②两式作差得，，故C错误；
数列的前项和为，
数列的前项和为，
则，故D错误．
故选：AB．
11. 已知抛物线E：的焦点为F，准线交y轴于点P，抛物线E上一点到点F的距离为6，点A，B是抛物线C上的两点，点M是的中点，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若中点M的横坐标为4，则直线的斜率为2
C. 若，则恒过点
D. 若直线过点F，则
【答案】ACD
【解析】对于A，由题意可知，点到点F的距离为，解得，故A正确；
对于B，设，则，两式作差得，
所以直线的斜率为，故B错误；
对于对于C，设：，联立直线和抛物线，
则，，，所以．
因为，所以，所以，解得，
所以直线恒过点，故C正确；
对于D，由A得，可设：，
联立直线和抛物线，
则，，，
所以
，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知平面向量，，且，则_______．
【答案】
【解析】由题意得，，
又，则，解得．
故答案为：．
13. 的展开式中的系数为_______（用数字作答）．
【答案】120
【解析】的展开式的通项式，
当时，，
当时，，
的展开式中含的系数为．
故答案为：120．
14. 已知定义在上的函数的导函数为，为偶函数，且，则________．
【答案】-2025
【解析】由为偶函数得，
则．
两边同时求导，得①．
所以的图象关于点对称，即，
由的图象关于点对称，得②．
①-②，得，所以，
又，所以，
即的周期为4，，，
．
故答案为-2025．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）若，，求B；
（2）若，求的面积
解：（1）由正弦定理可知，
解得．
又因为，所以或．
代入均可满足，所以或．
（2）由，，均大于0，
所以A，B均为锐角，
由基本不等式得，当且仅当时等号成立，
，故，又，所以只能是，即，
此时，即为等腰直角三角形，所以．
面积．
16. 为了落实健康第一教育理念，实施学生体质强健计划，现对某高中学生每天的运动时间进行调查，随机抽取了100名学生进行调查．下面是根据调查结果绘制的学生每天平均运动时间（单位：分钟）的频率分布直方图，将每天平均运动时间不低于80分钟的学生称为“运动爱好者”．
（1）试求频率分布直方图中值；
（2）用样本估计总体，已知某学生每天平均运动时间不低于60分钟，求该学生是“运动爱好者”的概率；
（3）从样本里的“运动爱好者”学生中随机选取两位同学，用随机变量表示每天平均运动时间在分钟之间的学生数，求的分布列及期望．
解：（1）由频率分布直方图可知，
，
解得．
（2）设“该学生每天平均运动时间不低于60分钟”为事件A，
“该学生是‘运动爱好者’”为事件B，
则，
，
所以在该学生每天平均运动时间不低于60分钟的条件下是“运动爱好者”的概率为
.
（3）由题意可知，样本中共有“运动爱好者”学生25人，运动时间在分钟之间的学生有5人，
所以．
，，．
则的分布列为
则．
17. 已知平行六面体如图所示，，．
（1）求证：平面；
（2）若，求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明：在平行六面体中，
因为，设，
则，，
因为，所以，
所以，，
在中，，，所以，
又因为平面，所以平面；
（2）解：由（1）已得，且平面，故平面，
故可以D坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立坐标系，
则，，，，，
，，，
设平面法向量为，则，
则，令，则，
因为，，则，
则，所以，又，
设平面的法向量为，则，
则，令，则，
因，
设二面角的平面角为，由图知为锐角，
则，
即二面角的余弦值是.
18. 平面直角坐标系中，圆A的方程为，点B的坐标为，点P是圆上任意一点，线段的垂直平分线交半径于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为曲线E．
（1）求点Q的轨迹E的方程；
（2）过点A作一条直线与点Q的轨迹E相交于M，N两点，满足，点H满足，问：点H是否在一条定直线上，若是，求出这条直线方程，若不是，请说明理由．
解：（1）如图，
由题意知
所以Q点的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆．
设椭圆的方程为，
则，，，
所以椭圆方程为．
（2）如图，
解法一：
设，，，，
由可得，
则，即①
由可得
则，即②
所以，整理得③
当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，联立得，
消去得，
，，
代入③得，又因为，所以．
直线斜率不存在时，不妨取，，
则，，则，，解得，
综上可得，点在一条定直线上，直线方程为．
解法二：设，，，，
由可得，
则，即①
由可得，
则，即②
所以，整理得③
当直线的斜率不存在或不为0时，设直线方程为，
联立，消去得，
，
代入③得
当直线的斜率为0时，，，
则，恒成立，点H在上也成立，
综上可得，点H在一条定直线上，直线方程为．
19. 对数运算可以使一些复杂的数学计算变得简单，比如函数：，通常为了便于求导，我们可以作变形：．
（1）求的单调区间；
（2）已知．
①若数列满足，，求数列的通项公式；
②求证：．
解：（1），
令，解得，令，解得
所以的单调递增区间为，递减区间为
（2）①由题意可知，，
那么
两边同时取对数可得
所以是以为首项，2为公比的等比数列，
则，所以，所以
②设函数，
当时，，当时，，
所以在（0，1）上单调递增，在上单调递减
则，即在上恒成立
所以，即．0
1
2