辽宁省名校联盟2025年高考模拟卷押题卷（一）数学试卷（解析版）

这是一份辽宁省名校联盟2025年高考模拟卷押题卷（一）数学试卷（解析版），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意得，，，
所以.
故选：B
2. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设，则，则，
所以，所以解得，，
所以
故选：A
3. 在中，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】如下图所示：
由题意得
.
故选：C.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】因为，
所以，
所以，
所以，
即，
因为，所以.
故选：D.
5. 某急救小组有1名司机，2名医生和3名护士，6人排成一排合影留念，要求2名医生不相邻，3名护士互不相邻，则不同的排法种数为（ ）
A. 36B. 48C. 72D. 120
【答案】D
【解析】先排1名司机，2名医生有：①医生、司机、医生；②司机、医生、医生；③医生、医生、司机，共三类.
对于①，3名护士随意插空有种排法，2名医生交换位置有种排法，
所以共有种排法；
对于②，3名护士先选1人插入2名医生之间有种排法，
再在余下的3个空中插入余下的2名护士有种排法，
2名医生交换位置有种排法，所以共有种排法；
对于③，显然和②有相同的排法数.
综上，共有48+2×36=120种.
故选：D
6. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，P是上异于顶点的一个动点，记的内切圆圆心为M，则点P与点M的横坐标之比为（ ）
A. B. 2C. D. 3
【答案】B
【解析】由题知，，
设，，与圆分别切于点D，E，H，，，
则，
又，
因为，则，
所以，
由切线性质可知，，，
所以
，
所以，
又点H与点M的横坐标相同，所以点P与点M的横坐标之比为.
故选：B.
7. 设，已知函数在区间内恰有2025个零点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】令，得，，所以，，
又，所以，所以，，
所以，，
由题可得方程有2025个根，
即曲线与直线，在区间内共有2025个交点.
当时，，
当时，，
当时，，…，
由题意及曲线在区间内的图象可知方程分别有两个不同实根，且各根均不同，所以需，所以.
故选：D.
8. 在长方体中，，，E，F，G分别满足，，，平面分别交，于M，N两点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图①，取的中点O，连接，，
又，所以，，
延长交的延长线于点，
则，即，
解得，
连接并延长，交于点，交的延长线于点，
在平面内过点作的垂线，交的延长线于点，如图②所示：
由平面几何知识可得，
所以，所以，，.
又，所以，所以，
同理，所以.
连接并延长，交于点，交的延长线于点，
连接，交于点，同理可得，
所以，，，
所以，
所以.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 某学校在教育教学管理中，采用量化评分的方式进行管理，其中高一某班在一周中的纪律、卫生及两操的日量化得分（得分均为整数）折线图如图所示，则在这五天中（ ）
A. 纪律的平均分最高
B. 与纪律、卫生相比，两操的第80百分位数最大
C. 卫生的方差最小
D. 周四的班级量化总得分最低
【答案】AC
【解析】由题意得这五天中纪律的平均分为，
方差为；
卫生的平均分为，
方差为；
两操的平均分为，
方差为.
所以纪律的平均分最高，卫生的方差最小，A，C项正确.
因为5×80%=4，所以纪律的第80百分位数为，
两操的第80百分位数为，B项错误.
这五天中从周一起班级量化总得分依次为9+6+3=18，8+7+6=21，9+7+6=22，8+7+5=20，10+9+8=27，
所以周一的班级量化总得分最低，D项错误.
故选：AC
10. 已知抛物线：，两平行直线，分别交于点，，，，O为坐标原点，且，M，N分别是，的中点，且，则（ ）
A. 恒过的焦点B. ，的横坐标之积为定值4
C. ，距离的最大值为6D. 直线的斜率恒为定值
【答案】ABD
【解析】对AC，设直线的方程为，
的方程为，
，，，，
联立，得，
所以，，，
所以，
解得或，
所以的方程为或，
同理可得的方程为或，
又，所以的方程为，的方程为，
所以恒过焦点，恒过点（6，0），且，距离的最大值为，A项正确，C项错误；
对B，，B项正确；
对D，由题得，同理得，
所以，D项正确.
故选：ABD
11. 函数和的定义域均为且不恒为零，若对任意，，则和互为“关联函数”.已知，互为“关联函数”，则以下说法正确的是（ ）
A. ，中必有一个为周期函数
B. 若，则的解析式可以为
C. 与中至少有一个函数为奇函数
D. 若，，则
【答案】BCD
【解析】对于A项，令，，
则，，，
满足，
但，均不是周期函数，故A错误.
对于B项，若，，
则，
所以与是“关联函数”，B正确.
对于C项，令，则，得，
令，则，
因为不恒为零，所以，
令，得，
将，代入，得，
所以奇函数，故C正确.
对于D项，由为奇函数，得，，
令，，则，
得，
分别令和，
得，，
两式相加得，所以，
即，
所以是以4为一个周期周期函数，故，
所以，D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在的展开式中，常数项为______.
【答案】1120
【解析】，
则展开式的通项为，
令，解得，所以常数项为.
故答案为：1120
13. 曲线与曲线公切线方程为______.
【答案】
【解析】设公切线与曲线切于点，与曲线切于点，
易知公切线的斜率存在，对求导得，
可得公切线的斜率，
所以公切线方程为，即①.
对求导得，
所以公切线方程为，
即②.
由①②得所以，
令，，所以，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，所以，
所以公切线方程为，即.
故答案为：
14. 已知圆柱的体积为，轴截面的面积为，若圆锥可以在该圆柱内部任意转动，则圆锥体积的最大值为______.
【答案】
【解析】设圆柱的底面半径为，高为，
由圆柱的体积为，得，即①，
又圆柱的轴截面面积为，所以，即②，
联立①②解得，，
又，则圆柱的内部可放球的最大直径为.
若圆锥可以在该圆柱内部任意转动，则圆锥在该球的内部，
则圆锥体积取最大值时，圆锥的顶点和底面圆周上的所有点都在球面上，
设此时圆锥的底面半径为，高为，球心为，又球的半径为，
则，
其中，所以此时圆锥的体积，，
所以，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以当时，
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 记正项数列的前项积为，且满足.
（1）证明：数列为等差数列；
（2）求的通项公式；
（3）令，求数列的前项和.
（1）证明：当时，，
又，所以.
当时，由，得，
又，所以，
所以，
即，
所以数列是首项为，公差为的等差数列.
（2）解：由（1）得，
当时，，
当时，，满足上式，
所以.
（3）解：由（2）得，
所以.
16. 如图，在四棱锥中，侧面底面，底面为矩形，，，，点在棱上，点在棱上，，.

（1）求点到平面的距离；
（2）求平面与平面夹角的正弦值.
解：（1）分别取，的中点O，G，连接，，
因为，，所以，且，
又侧面底面，侧面底面，侧面，
所以底面，
又底面，所以，
又底面为矩形，所以.
以为坐标原点，分别以向量，，的方向为x，y，z轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，
所以，，，.
设，则
，
又，所以，解得，
所以.
设平面的法向量为，
则
取，则，，所以.
设点到平面的距离为，
则，
故点到平面的距离为.
（2）设平面的法向量为，
则，
取，则，，所以.
设平面与平面的夹角为.
则，
所以，
故平面与平面夹角的正弦值为.
17. 已知函数在处取得极小值.
（1）求的值；
（2）证明：；
（3）若，求的值.
（1）解：由题得，
又在处取得极小值，所以，解得，
此时，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以在处取得极小值，故.
（2）证明：由（1）得，要证，即证，
只需证，只需证.
令，则，
当时，，单调递减，当时，φ'x)>0，单调递增，
所以，所以，故可得.
（3）解：由题得，令，
其中，且，
令，解得.
①若，则，，
令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
当时，，所以，且，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，符合题意.
令，则.
②若，当时，，在区间内单调递增，
所以px>pe=e-λ，
又，且，
所以存在，使得，
则当时，，所以单调递减，
则，不符合题意.
③若，当时，，在区间内单调递增，
所以，
又pe>0以及的连续性，所以存在，使得当时，，所以单调递增，则，不符合题意.
综上，的值为.
18. 人工智能（Artificial Intelligence），英文缩写为AI，是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量.近几年以来，AI技术加持的智能手机（以下简称为AI手机）逐渐成为市场新宠.为了解顾客对AI手机的满意程度，M市某手机大卖场从购买了AI手机的顾客中随机选取了100人进行问卷调查，并根据其满意度得分Z（单位：分）制作了如下的频数分布表：
（1）若该手机大卖场中某手机店经销A，B两种品牌的手机，A品牌中AI手机占比为，B品牌中AI手机占比为，A，B品牌手机的数量之比是2:1，现从该手机店中随机抽取一部手机，求抽取到的手机是AI手机的概率；
（2）为提升AI手机的销量，该手机大卖场针对购买AI手机的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：①共设一、二等奖两种奖项，分别奖励600元、300元现金，抽中一、二等奖的概率分别为，，其余情况不获得奖金；②每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖结果相互独立，总奖金为两次奖金之和.记某位购买了AI手机的顾客获得的总奖金为X元，求X的分布列和数学期望；
（3）由频数分布表可以认为从手机大卖场购买AI手机的顾客对AI手机的满意度得分Z近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得.现将满意度得分Z超过84.81分的顾客对AI手机的态度定义为“非常满意”.若某月该手机大卖场共有1万名顾客购买了AI手机（每人一部），记为这些顾客中对AI手机“非常满意”的人数，事件“”的概率为，求使取最大值时的值.
参考数据：若随机变量Z服从正态分布，即，则，.
解：（1）记“抽取到的手机是A品牌手机”为事件，“抽取到的手机是B品牌手机”为事件，
“抽取到的手机是AI手机”为事件B，
则，，，，
则，
则从该手机店中随机抽取一部手机，抽取到的手机是AI手机的概率为.
（2）由题意可得，不获得奖金的概率为，
的可能取值为0，300，600，900，1200，
，，
，
，，
则的分布列为
所以（元）.
（3）样本平均数，
随机选1名顾客，其对AI手机“非常满意”的概率
，
依题意，记，，
则，
则问题等价于求当取何值时，取得最大值.
由，得，
化简得，
得，即，
因，得，
即当时，取得最大值.
19. 我们把下面的定义称为双曲线的第二定义：平面内到定点的距离与到定直线：的距离之比为常数的点的轨迹叫做双曲线，其方程为，其中，此时叫做该双曲线的右准线.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，直线：是的右准线.
（1）求的方程以及的离心率；
（2）设与轴的交点为，过点的直线与的右支相交于A，B两点，
（i）以，A，B为其中的三个顶点作平行四边形，求平行四边形面积的取值范围；
（ii）设直线与直线的交点为P，点P在y轴上的射影为Q，直线，与x轴的交点分别为G，H，则是否为定值?若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.
解：（1）设的半焦距为，易知，
因为：为的右准线，所以，
解得，所以，
所以的方程为，离心率；
（2）（i）由已知可得直线不与轴垂直，设其方程为，
联立，整理得，，
设，，
则，，
因为A，B在C的右支上，
所以，解得.
设平行四边形的面积为S，易知，
则，
设，
则.
因为在区间内单调递减，
所以，则，
故平行四边形面积的取值范围为；
（ii）联立，得，.
设，，
由A，G，Q三点共线，得，
解得，同理得，
所以
，
即的中点为，
故为定值1.分组（单位：分）
频数
10
15
20
30
15
10
0
300
600
900
1200