2025年高考数学二轮热点题型归纳与演练(上海专用)小题限时卷03(原卷版+解析)特训

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小题限时卷03（A组+B组+C组）
（模式：12+4 满分：72分 限时：50分钟）
一、填空题
1．已知集合，，则
【答案】
【分析】根据一元二次不等式求解集合元素，结合交集
【解析】由，则.
故答案为：.
2．与1920°终边相同的角中，最小的正角是
【答案】120°
【分析】每增加或减少的整数倍，终边位置不变，代入即可求解.
【解析】,
所以与1920°终边相同的角中，最小的正角为120°.
故答案为：120°.
3．已知圆的方程为的面积为，则 .
【答案】
【分析】把圆的一般方式化为标准方程即可得到圆的半径，利用圆的面积即可求得结果.
【解析】由得，圆的半径为，
由圆的面积为得，，解得.
故答案为：.
4．已知，方程一个虚根为，则 .
【答案】
【分析】根据一元二次方程的复数根互为共轭复数，再结合韦达定理求解即可.
【解析】因为方程一个虚根为，
则其另一个虚根为，
所以，所以，
所以.
故答案为：.
5．已知，则 .
【答案】4
【分析】根据题意结合对数的运算性质可得到，解出，即可求得答案；另解：可利用对数的运算性质结合基本不等式求解.
【解析】由，整理得，
得，解得，所以.
另解：由题知，则，
利用基本不等式可得，
当且仅当时取等号，解得.
故答案为：4
6．设函数，若，则实数的值为 .
【答案】或
【分析】通过分段函数以及，即可求解的值．
【解析】函数，
若，
当时，，或（舍），
当时，，解得，
综上的值为：或．
故答案为：或．
7．已知一组成对数据的回归方程为，则该组数据的相关系数 （精确到0.001）．
【答案】
【分析】一组成对数据的平均值一定在回归方程上，可求得，再利用相关系数的计算公式算出即可.
【解析】由条件可得，
，
，
一定在回归方程上，代入解得，
，
，
，
，
故答案为：
8．班级4名学生报名参加两项区学科竞赛，每人至少报一项，每项比赛参加的人数不限，则不同的报名结果有 种．（结果用具体数字表示）
【答案】
【分析】由分类计数原理、分步计数原理即可求解.
【解析】每名学生可报一项或两项，所以有,
所以4名学生共有种.
故答案为：
9．已知正三棱柱中，，点D、E分别为棱、的中点．则三棱锥的体积为 ．
【答案】
【分析】根据线线垂直可得平面得是四面体的底面上的高，接着计算的面积及长度，再由三棱锥的体积公式计算即可得解．
【解析】由于E为棱的中点，且为等边三角形，故，
又，，且，平面，
平面，故是四面体的底面上的高，
，，
．
三棱锥的体积．
故答案为：
10．近年来，直播带货成为一种新的营销模式，成为电商行业的新增长点.某直播平台第一年初的启动资金为600万元，当年要再投入年初平台上的资金的作为运营资金，每年年底扣除当年的运营成本万元（假设每年的运营成本相同），将剩余资金继续投入直播平台，要使在第4年年底扣除运营成本后资金不低于1500万元，则每年的运营成本应不高于 万元.（结果精确到0.01万元，参考数据：）
【答案】34.53
【分析】列用列举法可得，即可利用等比数列的求和公式求解,即可列不等式求解.
【解析】记为第年年底扣除运营成本后直播平台的资金，由题意知，
所以
，
以此类推，，
所以，解得，
即每年的运营成本应不高于34.53万元，才能使得直播平台在第4年年底扣除运营成本后资金达到1500万元.
故答案为：34.53
11．已知过抛物线的焦点的直线与交于，两点，线段的中点为，且．若点在抛物线上，动点在直线上，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】利用抛物线的性质，求得抛物线方程，先判断直线与抛物线的位置关系，然后设与抛物线相切且与平行的直线并求出来，根据两平行线之间的距离公式即可求得结果.
【解析】由题知，设Ax1,y1,Bx2,y2，
则，，
又，
所以，抛物线方程为，
联立，得，无解，
则直线与抛物线没有公共点，
设与抛物线相切且与平行的直线为，
则联立，得，
则，解得，
则的最小值为.
故答案为：
12．如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点、、、以及四个标记为“”的点在正方形的顶点处，设集合，点，过作直线，使得不在上的“”的点分布在的两侧. 用和分别表示一侧和另一侧的“”的点到的距离之和. 若过的直线中有且只有一条满足，则中所有这样的为

【答案】、、
【解析】解：建立平面直角坐标系，如图所示；

则记为“▲”的四个点是A（0，3），B（1，0），C（7，1），D（4，4），
线段AB，BC，CD，DA的中点分别为E，F，G，H，
易知EFGH为平行四边形，如图所示；
设四边形重心为M（x，y），
则，
由此求得M（3，2），即为平行四边形EFGH的对角线交于点，
则符合条件的直线一定经过点，
且过点的直线有无数条；
由过点和的直线有且仅有1条，
过点和的直线有且仅有1条，
过点和的直线有且仅有1条，
所以符合条件的点是、、．
故答案为：、、．
二、单选题
13．已知为正数，则“”是“”的（ ）.
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
【答案】A
【分析】根据给定条件，当时，利用指数函数的单调性即可判断，当时，分类讨论，最后利用充分条件、必要条件的定义判断作答.
【解析】当时，所以为增函数，所以，
当时，当时，则，当0