2025年高考数学二轮热点题型归纳与演练(上海专用)专题02等式与不等式(选填题热点，十大题型)(原卷版+解析)特训

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc27194" 题型01 不等式的性质及应用 PAGEREF _Tc27194 \h 1
\l "_Tc22731" 题型02 不等式的解集2
\l "_Tc394" 题型03 一元二次不等式2
\l "_Tc1766" 题型04 恒成立问题2
\l "_Tc8506" 题型05 绝对值三角不等式3
\l "_Tc6010" 题型06 平均值不等式3
\l "_Tc22452" 题型07 平均值不等式的应用3
\l "_Tc5641" 题型08 集合、函数、不等式综合4
\l "_Tc22452" 题型09 不等式的实际应用4
\l "_Tc5641" 题型10 不等式难点分析5
【解题规律·提分快招】
题型01 不等式的性质及应用
【典例1-1】．给出下列命题：①若，则；②若，则；③对于正数若，则．其中真命题的序号是 ．
【典例1-2】．设，，，，求的取值范围是 ．
【变式1-1】．若、、，，则下列不等式中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-2】．已知，，，，则与的大小关系为 .
【变式1-3】．正实数、满足：，则的取值范围为 .
题型02 不等式的解集
【典例2-1】．已知，则不等式的解集为 ．
【典例2-2】．不等式的解集为 ．
【变式2-1】．设，则不等式的解集为 .
【变式2-2】．不等式 的解集为
【变式2-3】．设，方程的解集是 ．
题型03 一元二次不等式
【典例3-1】．不等式的解集为，则的值是 ．
【典例3-2】．已知方程的两个根为，则 ．
【变式3-1】．关于的一元二次不等式的解集为空集的充要条件为 ．
【变式3-2】．已知函数的图像如图所示，则不等式的解集是 .

【变式3-3】．不等式的解集为集合A，不等式的解集为集合B，则 .
题型04 恒成立问题
【典例4-1】．若对任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为 .
【典例4-2】．若命题“对任意的，都有”为假命题，则实数的取值范围为 .
【变式4-1】．关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 .
【变式4-2】．若对关于的不等式对一切任意都成立，则实数的取值范围是 .
【变式4-3】．对任意，为正实数，式子恒成立，则实数的取值范围是 ．
题型05 绝对值三角不等式
【典例5-1】．关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 .
【典例5-2】．若对于任意的实数，恒成立，则实数的取值范围为 .
【变式5-1】．存在实数使得不等式成立，则实数的取值范围为 .
【变式5-2】．若对任意，均有，则实数a的取值范围为 ．
【变式5-3】．已知，且有最小值6，则实数的取值范围为 .
题型06 平均值不等式
【典例6-1】．两正数a与b的几何平均值为2，则与的算术平均值的最小值为 ．
【典例6-2】．已知正数，满足则的最大值为 .
【变式6-1】．已知，，且，则的最小值为 .
【变式6-2】．已知，，，则的最小值为
【变式6-3】．已知，，，则的最小值为 .
题型07 平均值不等式应用
【典例7-1】．在下列关于实数的四个不等式中，恒成立的是 ．（请填入全部正确的序号）
①；②；③；④．
【典例7-2】．设，则的最小值为 ．
【变式7-1】．已知，则下列结论不恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式7-2】．已知，，．求的最大值（ ）
A．B．C．5D．2
【变式7-3】．函数 在 上的最大值和最小值的乘积为
题型08 集合、函数、不等式综合
【典例8-1】．设集合，，则 ．
【典例8-2】．已知集合，，则 ．
【变式8-1】．已知集合，，则 .
【变式8-2】．已知不等式的解集为，则函数的单调递增区间为 .
【变式8-3】．已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为 ．
题型09 不等式的实际应用
【典例9-1】．某小学开展劳动教育，欲在围墙边用栅栏围城一个2平方米的矩形植物种植园，矩形的一条边为围墙，如图．则至少需要 米栅栏．
【典例9-2】．已知某产品的总成本C（单位：元）与年产量Q（单位：件）之间的关系为．设该产品年产量为Q时的平均成本为（单位：元/件），则的最小值是 ；
【变式9-1】．某茶农打算在自己的茶园建造一个容积为500立方米的长方体无盖蓄水池，要求池底面的长和宽之和为20米．若每平方米的池底面造价是池侧壁的两倍，则为了使蓄水池的造价最低，蓄水池的高应该为 米．
【变式9-2】．如图，有一壁画，最高点处离地面6m，最低点处离地面3.5m.若从离地高2m的处观赏它，则离墙 m时，视角最大.
【变式9-3】．2023年“国际进口博览会”即将在上海举行，现要在场馆入口布置一个大型立体花卉景观，景观的框架由中空钢管搭建的而成，外型是由若干个小正方体叠加而成的大正方体，已知搭建此立体花卉景观的脚手架钢管安装呈现东-西、南-北、上-下的网络状，每三根钢管相交处需要焊接，这些焊接点（小正方体的顶点）称为格点，相邻焊接点之间的距离都为1米（即每个小正方体的棱长都为1米），若以互相垂直的三条钢管为轴建立空间直角坐标系，现要在一个格点处接入水源，并在下述6个格点：，，，，，处安装喷淋，使6处喷淋与水源接入口所排水管的总长度最小，则此时水管总长度的最小值为 米（水管必须在连通的钢管内部穿行，不计各接头处的水管损耗）．
题型10 不等式难点分析
【典例10-1】．设二次函数，若函数的值域为，且，则的取值范围为 .
【典例10-2】．当且仅当（其中）时，函数的图像在函数图像的下方，则的取值范围为 .
【变式10-1】．已知正实数a，b满足，则的最小值为（ ）
A．B．3C．D．
【变式10-2】．关于的方程有三个不同的实根，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．0
【变式10-3】．已知，，若，则对此不等式描述正
确的是
A．若，则至少存在一个以为边长的等边三角形
B．若，则对任意满足不等式的都存在以为边长的三角形
C．若，则对任意满足不等式的都存在以为边长的三角形
D．若，则对满足不等式的不存在以为边长的直角三角形
一、填空题
1．（2024·上海奉贤·三模）若，则有最大值为 ．
2．（2024·上海浦东新·三模）已知全集，集合，则 .
3．（2024·上海·三模）已知集合，，则 ．
4．（2024·上海普陀·二模）若实数，满足，则的最小值为 .
5．（2024·上海闵行·三模）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.若，则的最小值为 .
6．（2024·上海金山·二模）已知平面向量、、满足：，，则的最小值为 ．
7．（2023·上海崇明·一模）已知正实数满足则当 取得最小值时，
8．（2024·上海·一模）已实数满足，则的取值范围是 ．
二、单选题
9．（2023·上海浦东新·模拟预测），，，，且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
10．（2021·上海黄浦·二模）已知是正实数，ΔABC的三边长为，点是边(与点不重合)上任一点，且. 若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）.
A．B．C．D．
1、比较大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．
(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．
(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．
2、平均值不等式
(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．
(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．
(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．
3、对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．
4、恒成立问题求参数的范围的解题策略
(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．
(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ，一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．