河北省沧州市泊头市第一中学2024-2025学年高一下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份河北省沧州市泊头市第一中学2024-2025学年高一下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版），共5页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1. 已知复数，则复平面内满足的点的集合围成的图形面积为，则实数（ ）
A. 6B. 4C. 3D. 2
2. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形的面积为（ ）
A. 1B. C. D. 3
3. 已知向量满足：，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知球的半径和圆锥的底面半径相等，且圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则球与圆锥的体积之比为（ ）
A. 2B. 3C. D.
5. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则满足下列选项的三角形有两解的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图，在中，.若N为AB中点，与交于点P，且，值为（ ）
A. B. 1C. D.
7. 在矩形中，，，为的中点，将和分别沿，折起，使点与点重合，记为点，若三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
8. 有一个儿童玩具，外部是一个透明的塑料大球，内部是8个半径均为1的小球（球壁厚度均忽略不计），其中，，，两两相切，，，，两两相切，，，，两两相切，，，，两两相切，，，，两两相切，且，，，均与球相切，则球的半径为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知为复数，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D.
10. 设为两个平面，m、n为两条直线，且.下述四个命题为真命题的有（ ）
A. 若，则且
B. 若，则n平行于平面α内无数条直线
C. 若且，则
D. 若n在平面外，则m与n平行或异面
11. 已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中错误的是（ ）
A. 若，则定为等腰三角形
B. 若，则一定是锐角三角形
C. 若点是边上的点，且，则的面积是面积的
D. 若平面内有一点满足：，且，则为等边三角形
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 下列命题中：①有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱；②有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥；③平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形；④有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台.其中的真命题有________.
13. 已知，且与 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是___________.
14. 在锐角中，a，b，c分别是角A，B，C对边，若，，则的取值范围为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
15. 知复数，复数在复平面内对应的点为
（1）若复数是关于的方程的一个根，，求的值：
（2）若复数满足，求复数的共轭复数.
16. 如图，已知四面体的棱长均为6，棱的中点分别为，用平面截四面体，得到三棱台.

（1）求三棱台的体积；
（2）若为棱上的动点，求的最小值，并求取最小值时线段的长度.
17. 已知直棱柱底面ABCD为菱形，且，，点为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求三棱锥的体积．
18. 为改善居民的生活环境，政府拟将一公园进行改造扩建.已知原公园是直径为200 m的半圆形，出入口在圆心O处，A为居民小区，OA的距离为200 m，按照设计要求，以居民小区A和圆弧上点B的连线为一条边向半圆外作等腰直角三角形ABC（C为直角顶点），使改造后的公园如图中四边形OACB所示.
（1）若，则C与出入口O之间的距离为多少米？
（2）的大小为多少时，公园OACB的面积最大？
19. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，请从下列条件中选择一个条件作答：（注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分.）
①；②.
（1）求A；
（2）若的面积为，内角A的角平分线交边于E，求的最大值；
（3）若，边上中线，设点O为的外接圆圆心，求的值.