2025年北京东城区高三二模数学试题及答案

这是一份2025年北京东城区高三二模数学试题及答案，共11页。
2025.5
本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合，，则
（A）（B）
（C）（D）
（2）已知，则复数的实部为
（A）（B）
（C）（D）
（3）已知单位向量，的夹角为，若，则的取值范围为
（A）（B）
（C）（D）
（4）某人工智能模型在语言训练时，每轮训练的模型参数的数量会发生变化.记第一轮训练的模型参数的数量为，若从第二轮开始，每一轮与它前一轮相比较，训练的模型参数增加的数量可以看成一个以为首项，公比为的等比数列，则第五轮训练的模型参数的数量为
（A）（B）
（C）（D）
（5）若双曲线的离心率大于，则的取值范围为
（A）（B）
（C）（D）
（6）已知下列选项中能使既是奇函数又是增函数的是
（A） （B）
（C） （D）
（7）已知，，则“”是“”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
（8）已知直线过点，且上至少有一点到点的距离为，则的倾斜角的最大值为
（A） （B）
（C） （D）
（9）马赫数是飞行器的运动速度与音速的比值. 在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度（单位：m/s）和燃料的质量（单位：kg）、飞行器（除燃料外）的质量（单位：kg）的函数关系是.已知当该飞行器所处高空的音速为m/s，最大速度对应的马赫数分别为和13时，燃料的质量分别为和，则下列结论一定正确的是
（A） （B）
（C） （D）
（10）设无穷数列满足，则
（A）存在，为等差数列 （B）存在，为等比数列
（C）存在，为递减数列 （D）存在，为递增数列
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）在中，，，，则 .
（12）已知,则实数_____ .
（13）已知直线与抛物线在第一象限交于点，过点作轴的垂线，
垂足为抛物线的焦点，则 ；若该抛物线的准线上的点到点与点的距
离之和的最小值为，则 .
（14）《九章算术》是我国古代著名的数学著作，其中讨论了
“垣”“堑”等建筑的体积问题. 某工程要完成一个形
如直四棱柱 的“堑”型沟渠的土方
作业（如图），其中，与平面 所成的
角均为，，米，米，米， 则需要挖土 立方米.
（15）已知曲线C：. 给出下列四个结论：
= 1 \* GB3 ① 曲线C为中心对称图形；
② 曲线C与直线有两个交点；
③ 曲线C恰好经过两个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
④ 曲线C上任意两点，，当时，.
其中正确结论的序号是 .

解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题13分）
如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，，，点M在棱上，平面.
（Ⅰ）求证：M为的中点；
（Ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值.
（17）（本小题14分）
已知函数.
（Ⅰ）若的最小值为，求的值；
（Ⅱ）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得函数存在且唯一，求在区间上的取值范围．
条件①：的图象关于和对称；
条件②：在区间上单调，且的图象关于点对称；
条件③：的最小正周期，且．
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
（18）（本小题13分）
已知近10年北京市12月和1月历史气温分别如下图所示．
（Ⅰ）从2016年至2024年这9年中随机抽取一年，求该年12月平均高温和平均低温都低于前一年的概率；
（Ⅱ）将当年12月和次年1月作为当年的冬季周期，记当年12月平均高温与平均低温的差值为（单位：摄氏度），次年1月平均高温与平均低温的差值为（单位：摄氏度）.从2015年至2024年这10个冬季周期中随机抽取3个，求至少有2个冬季周期中的概率；
（Ⅲ）依据图2中信息，能否预测北京市2026年1月平均高温低于4摄氏度？请说明理由.

（19）（本小题15分）
已知椭圆的一个顶点为，且过点．
（Ⅰ）求椭圆的方程及焦距；
（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于不同的两点，直线的斜率分别记为与，当时，求的面积．
（20）（本小题15分）
设函数，其中．
（Ⅰ）当时，求的零点；
（Ⅱ）当时，证明：
（ = 1 \* rman i）为的极小值点；
（ = 2 \* rman ii）对于任意，存在，使得曲线在点处的切线斜率与在点处的切线斜率互为相反数.
（21）（本小题15分）
已知有穷整数数列，满足．记集合为
．若数列，则称数列是的“恒元”．
（Ⅰ）已知数列，请写出中所有满足的数列；
（Ⅱ）当时，是否存在数列满足，且是的“恒元”？若存在，
请写出一个满足条件的数列；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）当数列是的“恒元”时，若是个连续正整数的一个排列，求数列的项数的最大值．
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
（1）A（2）A（3）B（4）C （5）D
（6）B（7）B（8）C（9）C （10）D
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
（11） （12） （13）；1
（14） （15） = 1 \* GB3 ① = 3 \* GB3 ③
三、解答题（共6小题，共85分）
（16）（共13分）
解：（Ⅰ）连接与交于点，连接.
因为平面，平面平面，
平面，
所以.
在中，为中点，所以为中点. ………………5分
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，则
，，，.
因此，,.
设平面的法向量，
则即
令，则，，于是.
设平面的法向量，
则即
令，则，，于是.
设平面与平面的夹角为，
所以.
所以平面与平面夹角的余弦值为. ………………13分
（17）（共14分）
解：（Ⅰ）

.
当时，
即时，取得最小值.
由, 解得. ………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
由，
解得，所以.………………8分
若选条件②：
因为在区间上单调，所以.
所以.
由已知得，即.
解得，即.
综上. 所以.
因为，所以.
所以在区间上的取值范围为. ………………14分
若选条件③：
因为的最小正周期，所以.
由，
解得或，
即或.
所以.
所以.
因为，所以.
所以在区间上的取值范围为. ………………14分
（18）（共13分）
解：（Ⅰ）2016年至2024年这9年中， 12月平均高温和平均低温都低于前一年的年份是2017年、2018年、2020年和2022年，所以从2016年至2024年这9年中随机抽取一年，该年12月份平均高温和平均低温都低于前一年的概率为. ………4分
（Ⅱ）在2015年至2024年这10个冬季周期中，，（单位：摄氏度）的值见下表.
其中满足的是2015，2020，2023和2024.
从2015年至2024年这10个冬季周期中随机抽取3个，共有种不同情
形.
若恰有2个冬季周期中，则有种不同情形；
若有3个冬季周期中，有种不同情形，
所以从2015年至2024年这10个冬季周期中随机抽取3个，至少有2个冬季周期中的概率为. ……………10分
（Ⅲ） 答案示例1：可以预测北京市2026年1月平均高温低于4摄氏度.
理由如下：北京市近10年1月平均高温有9年低于4摄氏度，故可以预测北京
市2026年1月平均高温低于4摄氏度.
答案示例2：无法预测北京市2026年1月平均高温低于4摄氏度.
理由如下：由于北京市1月平均高温受诸多因素影响，故仅依据图2中信息，无
法预测北京市2026年1月平均高温低于4摄氏度. ……………13分
（19）（共15分）
解：（Ⅰ）由题意得， 所以．
因为，所以.
所以椭圆的方程为,焦距为． ……………5分
（Ⅱ）由已知得，直线的斜率存在.设直线的方程为．
由 得．
由，得．
设，则，．
直线的斜率为，直线的斜率为．
由已知，即．
由，
解得．
所以直线的方程为,点到直线的距离为．
．
所以的面积. ………………15分
（20）（共15分）
解：（Ⅰ）函数的定义域为.
因为，所以.
由，得，解得.
所以1为的零点. ………………3分
（Ⅱ）当时，.
所以.
（ = 1 \* rman i）当时，，
从而，在区间上单调递增；
当时，，
从而，在区间上单调递减.
当变化时，与的变化情况如下表：
综上，为的极小值点． ………………7分
（ = 2 \* rman ii）令．
所以．
因为均在区间上单调递增，
所以在区间上单调递增．
又因为，
所以存在唯一，使得.
从而当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以存在最小值
因为，所以.
因为，，
所以当时，在点A处的切线斜率的取值范围为.
因为，所以在点B处的切线斜率的取值范围为.
因为，所以对于任意，均存在，使得
曲线在点处的切线斜率与在点处的切线
斜率互为相反数. ……………15分
（21）（共15分）
解：（Ⅰ）因为数列，所以中的数列满足，．
因为，所以中所有满足的数列有
；；；． ……………4分
（Ⅱ）假设存在满足条件的数列，
则满足，有．
所以与同为奇数或同为偶数．
所以是偶数．
所以是偶数．
又是奇数，矛盾．
所以假设不成立，不存在满足条件的数列. ……………9分
（Ⅲ）当数列是的“恒元”时，
因为数列中，是个连续正整数的一个排列，
所以当时，有，且至多一项为1．
不妨记，所以，且．
当时，.
当时，有.
此时，或．
又，所以，，或，．
= 1 \* GB3 ①当时，有，或，所以，或者．
当时，有，，，，
所以，，.
因为，，所以．所以．
当时，有，，，，所以（舍）．
= 2 \* GB3 ②当时，有，或，所以，或者．
当时，有，，，，
所以，，,
所以．
当时，有，，，，
所以．所以（舍）．
又由于数列和满足条件．
综上所述，． …………… 15分
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2018
2019
2020
2021
2022
2023
2024
a
8
10
10
9
9
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