备考2025年中考数学答题技巧汇编(通用版)重难点09函数的综合应用题型总结练习

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本专题主要对初中阶段学习的几大函数的中招常考题型进行整理、分析，从出题人的角度分析下函数在中招考试中的定位。一次函数是初中阶段接触函数的基础，一次函数的图象和性质在考试中主要是以选择、填空题的基础题型形式出现，解答题中一次函数常与方程、不等式等结合，一般会涉及到结合函数性质进行讨论。反比例函数从表达式上较为简单，基础题型中反比例的几何意义是考试的重点，解答题中常与几何结合，主要是涉及到面积问题、动点问题等。二次函数具有一定的难度，二次函数的图形和性质是必考点，两种常考的表达形式需要学生灵活应用，二次函数的实际应用在近年的中招考试中出现次数较多，在实际应用题型中需要学生具有一定的基础运算能力。二函数的图象与性质探究，主要涉及到取值范围、交点问题、动点问题等讨论形式，本专题根据考试题型分类归纳总结。
模型01 一次函数的性质与应用
考｜向｜预｜测
一次函数的性质与应用题型中图象与性质在选择和填空中考的较多，一次函数的应用主要是综合性应用，一次函数与方程、不等式结合去考，解答题中会经常考到。在解题时需要同学们对一次函数的图象与性质真正理解。所考题型难度中等，相对较容易得分。
答｜题｜技｜巧
1. 审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系；
2. 找准自变量和因变量，根据二者之间的关系确定表达式；
3. 列函数。根据各个量之间的关系列出函数；
4. 求解，求出满足题意的数值。
1．（2024·广东）如图表示光从空气进入水中入水前与入水后的光路图，若按如图建立坐标系，并设入水与前与入水后光线所在直线的表达式分别为，，则关于与的关系，正确的是（ ）
A．，B．，C．D．
1．已知一次函数的图象如图，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．随的增大而减小
D．图形向上平移两个单位长度后，与坐标轴围成的三角形的面积变小
2．已知，则一次函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的方程组的解为（ ）
A．B．C．D．
4．对于某个一次函数，两位同学谈论了此函数的部分特点，根据对话下列判断错误的选项为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，一次函数与坐标轴分别交于A、B两点，点P、C分别是线段，上的点，且，，则点P的坐标为 ．
6．一次函数与的图象如图所示，其交点为，则不等式的解集为 ．
7．新定义：若函数图象恒过点，我们称为该函数的“永恒点”．如：一次函数，无论值如何变化，该函数图象恒过点，则点称为这个函数的“永恒点”．
【初步理解】一次函数的定点的坐标是__________；
【理解应用】二次函数落在轴负半轴的定点的坐标是__________，落在轴正半轴的定点的坐标是__________；
【知识迁移】点为抛物线的顶点，设点到直线的距离为，点到直线的距离为，请问是否为定值？如果是，请求出的值；如果不是，请说明理由．
模型02 反比例函数的性质与应用
考｜向｜预｜测
反比例函数的性质与应用是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答题不规范等原因导致失分。从考点频率看，反比例函数中的K值和三角形、平行四边形、特殊的平行四边形的综合是考查的重点，也是高频考点、必考点。从题型角度看，以解答题为主，分值9分左右，难度系数较低，需要理解加以灵活应用！
答｜题｜技｜巧
根据图象特点求解反比例的表达式；
判定反比例函数的几何意义以及与其它函数或几何图形的关系；
求解反比例函数中几何特性、动点问题讨论；
利用相关的性质和判定进行推理和计算。
1．（2024·江苏）反比例函数，当时，函数的最大值和最小值之差为4，则的值为（ ）
A．B．C．D．
1．关于反比例函数 ，下列说法错误的是（ ）
A．图像经过点B．图像位于第一、三象限
C．当时，y随x的增大而增大D．当时，
2．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，在反比例函数的图象上，对角线平行于轴，坐标原点为的中点，若，则的值为（ ）
A．100B．150C．200D．250
3．如图，在反比例函数的图象上任取一点，过点作轴交反比例函数的图象于点，是轴负半轴上一点，连接，，则的面积为（ ）
A．8B．10C．14D．16
4．某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示．此函数的解析式为，则n的值为 ．

5．如图，在平面直角坐标系中，菱形在第一象限内，边与轴平行，两点纵坐标分别为6，4，反比例函数的图象经过A，B两点．若菱形的面积为，则菱形的边长为 ，的值为 ．

6．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，与y轴相交于点C．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)根据图象直接写出时，x的取值范围．
(3)求的面积．
7．如图，在矩形中，，F是上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E．
(1)当F为的中点时，求该函数的解析式；
(2)当k为何值时，的面积为．
8．如图，已知直线与反比例函数的图象交于点A，B，点A的横坐标为，点B的横坐标为2；

(1)求k和b的值；
(2)若点C在反比例函数第一象限内的图象上，直线与直线交于点M，且，求点C的坐标；
(3)若点C在反比例函数第一象限内的图象上，点D是平面直角坐标系内的一点，且以点A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，求点C的坐标．
模型03 二次函数的图象性质应用
考｜向｜预｜测
二次函数的图象性质应用该题型是中考必考内容，选择题形式一般考查二次函数的图象与性质，解答题形式一般与三角形、四边形等问题结合起来，难度较大，通常是压轴题，要么以函数为背景引出动态几何问题，要么以动态图形为背景，渗透二次函数问题，是数形结合思想的典例。
答｜题｜技｜巧
1. 一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；
2. 用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；
3. 结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，
4. 结合其它相关知识解题；
1．（2023·河南）对于二次函数的图象，下列说法错误的是（ ）
A．开口向上
B．顶点坐标是
C．当时，随的增大而增大
D．对称轴是直线
1．如图所示为二次函数的图象，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ）

A．3B．2C．1D．4
2．如图，二次函数的图象与轴的一个交点坐标为．已知点，，将函数图象向上平移个单位长度，若平移后的函数图象与线段只有一个公共点，则的取值范围为（ ）
A．或B．或
C．D．或
3．如图是二次函数（a、b、c是常数，）图象的一部分，与x轴的交点A在点和之间，对称轴是直线．对于以下说法：①；②；③；④（m为实数)；⑤当时，，其中正确的是（ ）
A．①②④B．①②⑤C．②③④D．③④⑤
4．二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，，，，…，在y 轴的正半轴上，，，，…， 在二次函数第一象限的图象上，若，，…，都是等边三角形 ，则的周长是（ ）
A．6078B．6075C．6072D．6069
5．设二次函数（是常数），已知函数值和自变量的部分对应取值如表所示．
(1)若，求二次函数的表达式．
(2)若当时，有最小值，求的值．
(3)求证：．
模型04 二次函数的实际应用
考｜向｜预｜测
二次函数的实际应用该题型在中考中可以是以选择、填空题的形式考察，也可以以解答题的形式考察，题目的难度都在中上等，也常作为中考中难度较大的一类压轴题的问题背景，占的分值也较高。而考察的内容主要有:二次函数图象与性质、解析式的求法、几何变化、以及函数与几何图形相关的综合应用等。其中，二次函数与其他综合相关的实际问题，虽然不是压轴出题，但是一般计算量较大，需要考试特别注意自己的计算不要有失误。
答｜题｜技｜巧
1. 理解题意，根据题意求二次函数的表达式，一般应用顶点式；
2. 根据题意，求解二次函数的交点坐标、最值等进行相关判断；
3. 根据实际情况进行讨论，一般涉及到二次函数性质应用；
4. 利用相关的性质和判定进行推理和计算。
1．（2024·江苏扬州）冰雪运动越来越受大家的青睐，这是某运动员在自由式滑雪大跳台训练中从高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设他与跳台边缘的水平距离为，与跳台底部所在水平面的竖直高度为，与的函数关系式为，当他与跳台边缘的水平距离为 时，竖直高度达到最大值．

1．问题提出
若一元二次方程的两根为，，我们可以由一元二次方程根与系数的关系得，．
已知方程的两根为，，则 ， ．
探究引申
若多项式中，存在，，则多项式可在实数范围内分解因式，分解结果为，而其中．即为一元二次方程的两根．例如：把多项式分解因式，可以令，解该方程得，，故多项式在实数范围内可分解为．
请利用上述方法在实数范围内把下列多项式分解因式．
（1）．
（2）．
应用拓展
已知二次函数与轴的两个交点坐标分别为和，请直接写出该抛物线的解析式．
2．【定义】函数图象上的任意一点P（x，y），y﹣x称为该点的“坐标差”，函数图象上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”
【感悟】根据你的阅读理解回答问题：
（1）点P （2，1）的“坐标差”为 ；（直接写出答案）
（2）求一次函数y＝2x+1（﹣2≤x≤3）的“特征值”；
【应用】（3）二次函数y＝﹣x2+bx+c（bc≠0）交x轴于点A，交y轴于点B，点A与点B的“坐标差”相等，若此二次函数的“特征值”为﹣1，当m≤x≤m+3时，此函数的最大值为﹣2m，求m．
3．【实践探究】
数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践——应用——探究的过程：
(1)实践：他们对一条抛物线形拱桥进行测量，测得当拱顶高离水面时，水面宽，并画出了拱桥截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，求该抛物线的解析式；
(2)探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，并过原点作一条的直线，交抛物线于点F，交抛物线对称轴于点E，提出了以下两个问题，请予解答：
①如图2，B为直线上方抛物线上一动点，过B作垂直于x轴，交x轴于A，交直线于C，过点B作垂直于直线，交直线于D，求的最大值．
②如图3，G为直线上一动点，过G点作x轴的垂线交抛物线于点H，点P在坐标平面内．问：是否存在以E、G、H、P为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出G点的坐标；若不存在，请说明理由．
4．【问题背景】已知二次函数（m为常数）．
数形结合和分类讨论是初中数学的基本思想方法，应用广泛．以形助数或以数解形，相互转化，可以化繁为简，抽象问题具体化；而对问题进行合理的分情况探究，则可以使结果不重不漏．
(1)我国著名数学家 说过，“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”（请将正确选项的字母代号填写在答题卡相应位置上）
A．华罗庚 B．陈景润 C．苏步青 D．陈省身
(2)若该二次函数的对称轴为，关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内无解，则t的取值范围是 ．
(3)若该二次函数自变量x的值满足时，与其对应的函数值y的最小值为，则m的值为 ．
【拓展应用】
(4)当时，二次函数图像与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点D与原点O关于直线BC对称，点E是线段BC上一动点（不与B、C重合），连接OE并延长交射线CD于点F，连接DE，为等腰三角形时，求线段DF的长．
1．如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条双曲线于、两点，若，则的值是（ ）

A．6B．5C．4D．3
2．如图是反比例函数的图象，点，过点A作y轴的垂线，垂足为点C，在射线CA上，依次截取，过点，，，分别作x轴的垂线，依次交反比例函数的图象于点，，，．按照上述方法则线段的长度为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当时，x的取值范围是（ ）
A．或B．或
C．或D．或
4．如图，入射光线遇到平面镜（y轴）上的点N后，反射光线交x轴于点，若光线满足的一次函数关系式为，则a的值是（ ）
A．B．C．D．
5．已知一次函数．
（1）当时，则 ；
（2）当时，自变量的负整数值恰好有2个，则的取值范围为 ．
6．如图，一次函数的图象与x轴交于点A．
(1)求出点A的坐标；
(2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，求k的取值范围．
7．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．
(1)求直线的函数关系式；
(2)直线与反比例的图象交于点，与直线交于点，连接，点是直线上一动点，当时，求点的坐标：
(3)在（2）条件下，过点作轴于点，点是轴上一点，且，请求出所有符合条件点的坐标（选一种情况写出解答过程）．
8．如图正比例函数与反比例函数的图象交于、两点．
(1)求反比例函数的表达式和点坐标；
(2)直接写出时的取值范围；
(3)若点是第二象限反比例函数图象上一点，过点作轴的垂线，交轴于点、交直线于点，若三个点、、中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称点、、三点为“和谐点”，直接写出使点、、三点成为“和谐点”的的坐标．
9．【定义与性质】
如图1，记二次函数和的图象分别为抛物线和，且与轴都有两个交点．
定义：若抛物线的顶点为抛物线的顶点关于抛物线与轴交点的对称点，则称是关于点的对称抛物线，简称是的对称抛物线．
性质：①一条抛物线有2条对称抛物线；
②若是的对称抛物线，则也是的对称抛物线，
【理解与运用】
(1)试说明二次函数的其中1条对称抛物线为；
【思考与探究】
(2)设抛物线的函数表达式为．若该抛物线与轴交于，两点（且点在点的右侧）．
①若抛物线关于点的对称抛物线与轴的另一个交点为，其中，求的取值范围；
②如图2，抛物线关于点的对称抛物线的顶点为，试问当，满足什么关系时，为等边三角形．
10．已知二次函数的图像经过点，点是此二次函数的图像上的两个动点．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B，点P在直线AB的上方，过点P作轴于点C，交于点D，连接．若，求证的值为定值，并求出此值；
(3)如图2，点P在第二象限，，若点M在直线上，且横坐标为，过点M作轴于点N，求线段长度的最大值．
11．情境阅读：初三第一次考试10月份阶段评价马上来临，小明同学在数学复习时，再读了九年级上册书中“一元二次方程”的“数学活动”，重新思考了“活动围长方形”下图呈现的是“活动围长方形”的介绍及“小明发现”的内容：
请根据“小明发现”，分别应用一元二次方程和二次函数来解决以下问题：
“能围出面积为的长方形吗？”（注：此题给出两种解决方法和能给满分）
12．方程与不等式揭示了数学中最基本的数量关系，函数则研究变量间的关系，借助函数可以认识方程与不等式.观察表格：
(1)【数学观察】根据表中信息填空：______；
(2)【实践操作】在如图所示的平面直角坐标系中（每个小正方形网格的边长为1），已经画出了一次函数的图象，请你在同一坐标系中画出二次函数的图象；
(3)【独立思考】
①二次函数与一次函数图象的交点坐标是______；
②方程的解为______；
③不等式的解集是______；
(4)【归纳总结】若二次函数的图象与一次函数的图象相交，则交点的______坐标可以看成关于的方程的解；
(5)【巩固应用】若二次函数的图象与一次函数的图象只有一个交点，则关于的方程的解是______．（直接写出结果）
1．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点E、点F，与的图象交于点M，且点M的横坐标为．
(1)求m的值与的长；
(2)若点Q为x轴上一点，且，求点Q的坐标.
2．如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与y轴的交点为D，与x轴的交点为C．
(1)求一次函数表达式；
(2)求D点的坐标；
(3)求的面积．
(4)不解关于x、y的方程组，直接写出方程组的解．
3．如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点，点是线段上的任意一点，过点作直线轴，直线交直线于点，交直线于点．
(1)求直线的函数表达式；
(2)当时，求的面积．
4．如图，正比例函数与一次函数的图象互相平行，且一次函数图象经过点，与轴相交于点．
(1)求一次函数的表达式；
(2)求的长；
(3)在轴上是否存在一点，使得为等腰三角形．如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标．
5．如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的、两点，与y轴交于点C，过点A作轴，垂足为M，，，点B的纵坐标为．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式：
(2)结合函数图象，直接写出时，x的取值范围；
(3)连接、．若点P为图中双曲线上的一点，且，请直接写出点P的坐标．
6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求一次函数的解析式；
(2)根据图象，请直接写出当时，自变量x的取值范围；
(3)连接，若点P是x轴上一点，且的面积是面积的2倍，求点P的坐标．
7．已知抛物线，（）．
(1)求该二次函数的顶点坐标（用含式子表示）；
(2)若的值为1时，该二次函数的图象与轴交于、两点（点在点左边），与轴交于点，在对称轴上是否存在点，使得为，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由；
(3)若的值为1时，把该二次函数的图象往上平移个单位长度后，当时，该二次函数上存在两个点其纵坐标都为横坐标的两倍，求的取值范围．
8．对于二次函数y＝x2﹣4x+3和一次函数y＝﹣x+1，我们把y＝t（x2﹣4x+3）+（1﹣t）（﹣x+1）称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E．现有点A（1，0）和抛物线E上的点B（2，n），请完成下列任务：
【尝试】
⑴判断点A是否在抛物线E上；
⑵求n的值．
【发现】通过（1）和（2）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，请你求出定点的坐标．
【应用】二次函数y＝﹣3x2+8x﹣5是二次函数y＝x2﹣4x+3和一次函数y＝﹣x+1的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由．
．．．
0
1
2
．．．
．．．
1
1
．．．
…
0
1
2
3
…
…
1
4
7
10
…
…
0
4
3
0
…