高考数学复习解答题解题思路训练 专题01 二项分布 (典型题型归类训练)（解析版）

这是一份高考数学复习解答题解题思路训练 专题01 二项分布 (典型题型归类训练)（解析版），共30页。试卷主要包含了必备秘籍，典型题型，专项训练等内容，欢迎下载使用。
一、必备秘籍
1、伯努利试验与二项分布
重伯努利试验的定义
①我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.
②将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验.
2、二项分布
一般地，在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为()，
用表示事件发生的次数，则的分布列为（）
如果随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布（binmial distributin），记作。
二、典型题型
题型一：利用二项分布求分布列
1．（2024·陕西榆林·统考一模）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将个样本数据按、、、、、分成组，并整理得到如下频率分布直方图.
(1)请通过频率分布直方图估计这份样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.
(2)以样本频率估计概率，若竞赛成绩不低于分，则被认定为成绩合格，低于分说明成绩不合格.从参加知识竞赛的市民中随机抽取人，用表示成绩合格的人数，求的分布列及数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全部相加，即可得出这份样本数据的平均值；
（2）由题意可知，，利用二项分布可得出随机变量的分布列，利用二项分布的期望公式可求得的值.
【详解】（1）解：由频率分布直方图可知，份样本数据的平均值为
.
（2）解：竞赛成绩不低于分的频率为，
低于分的频率为.
由题意可知，，
，
，
，
，，
所以的分布列为
期望.
2．（2024·广东中山·中山一中校考模拟预测）杭州亚运会吉祥物为一组名为“江南忆”的三个吉祥物“宸宸”，“琮琮”，“莲莲”，聚焦共同的文化基因，蕴含独特的城市元素．本次亚运会极大地鼓舞了中国人民参与运动的热情．某体能训练营为了激励参训队员，在训练之余组织了一个“玩骰子赢礼品”的活动，他们来到一处训练场地，恰有20步台阶，现有一枚质地均匀的骰子，游戏规则如下：掷一次骰子，出现3的倍数，则往上爬两步台阶，否则爬一步台阶，再重复以上步骤，当队员到达第7或第8步台阶时，游戏结束．规定：到达第7步台阶，认定失败；到达第8步台阶可赢得一组吉祥物．假设平地记为第0步台阶．记队员到达第步台阶的概率为（），记．
(1)投掷4次后，队员站在的台阶数为第阶，求的分布列；
(2)①求证：数列（）是等比数列；
②求队员赢得吉祥物的概率．
【答案】(1)答案见解析
(2)①证明见解析 ；②
【分析】（1）由题意可得爬一步台阶的概率为，爬两步台阶的概率为，列出随机变量可能取值，求出对应的概率，求出分布列即可；
（2）（i）由题意可得，分类讨论到达第步台阶的情况，求出对应的概率，进而（），结合等比数列的定义即可证明；（ii）由（i），根据等比数列的通项公式可得，利用累加法求得（），令计算即可求解.
【详解】（1）由题意得每轮游戏爬一步台阶的概率为，爬两步台阶的概率为，
所以随机变量可能取值为4，5，6，7，8，
可得，，
，，
，
所以的分布列：
（2）（ⅰ）证明：，即爬一步台阶，是第1次掷骰子，
向上点数不是3的倍数概率，则
到达第步台阶有两种情况：
①前一轮爬到第步台阶，又掷骰子是3的倍数得爬两步台阶，其概率为，
②前一轮爬到第步台阶，又掷骰子不是3的倍数爬一步台阶，其概率为，
所以（），
则（），
所以数列（）是首项为，公比为的等比数列．
（ⅱ）因为数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，所以，，…，，
各式相加，得：，所以（），
所以活动参与者得到纪念品的概率为
．
3．（2024·全国·模拟预测）网球运动是一项激烈且耗时的运动，对于力量的消耗是很大的，这就需要网球运动员提高自己的耐力．耐力训练分为无氧和有氧两种训练方式．某网球俱乐部的运动员在某赛事前展开了一轮为期90天的封闭集训，在封闭集训期间每名运动员每天选择一种方式进行耐力训练．由训练计划知，在封闭集训期间，若运动员第天进行有氧训练，则第天进行有氧训练的概率为，第天进行无氧训练的概率为；若运动员第天进行无氧训练，则第天进行有氧训练的概率为，第天进行无氧训练的概率为．若运动员封闭集训的第1天进行有氧训练与无氧训练的概率相等．
(1)封闭集训期间，记3名运动员中第2天进行有氧训练的人数为，求的分布列与数学期望；
(2)封闭集训期间，记某运动员第天进行有氧训练的概率为，求．
【答案】(1)分布列见解析，2
(2)
【分析】（1）分别求出运动员第2天进行有氧训练与无氧训练的概率，判断服从二项分布并求概率，列分布列，求数学期望；
（2）求，的递推关系，构造数列并证其为等比数列，利用等比数列的通项公式求结果.
【详解】（1）设运动员第2天进行有氧训练为事件M，第2天进行无氧训练为事件N，
则，，
所以3名运动员第2天进行有氧训练的人数，可知，
则，，
，，
所以的分布列为
所以．
（2）依题意可得，即（，且）．
则（，且），且，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
则，即，
所以．
4．（2024·四川绵阳·统考二模）绵阳市37家A级旅游景区，在2023年国庆中秋双节期间，接待人数和门票收入大幅增长．绵阳某旅行社随机调查了市区100位市民平时外出旅游情况，得到的数据如下表：
(1)能否有的把握认为喜欢旅游与性别有关？
(2)将频率视为概率，从全市男性市民中随机抽取2人进行访谈，记这2人中喜欢旅游的人数为，求的分布列与数学期望．
附：
【答案】(1)有的把握认为喜欢旅游与性别有关
(2)分布列见解析，
【分析】（1）将表中数据代入的计算公式并将计算结果与比较大小，由此可知结果；
（2）根据条件判断出，然后计算出在不同取值下的概率，由此可求分布列，根据分布列可求.
【详解】（1）因为，
所以有的把握认为喜欢旅游与性别有关.
（2）由表中数据可知：从全市男性市名中随机抽取一人，该人喜欢旅游的概率为，
由题意可知：，的可能取值为0,1,2.
所以，
，
，
所以的分布列为：
所以（或者）.
题型二：服从二项分布的随机变量概率最大问题
1．（2024·云南昆明·统考一模）聊天机器人（chatterbt）是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序.当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答.在对某款聊天机器人进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为30%.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为10%.
(1)求一个问题的应答被采纳的概率；
(2)在某次测试中，输入了8个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为，事件（）的概率为，求当最大时的值.
【答案】(1)0.75
(2)6
【分析】（1）根据全概率公式即可求解，
（2）根据二项分布的概率公式，利用不等式即可求解最值.
【详解】（1）记“输入的问题没有语法错误”为事件， “一次应答被采纳”为事件，
由题意，，，则
，
.
（2）依题意，，，
当最大时，有
即解得：，，
故当最大时，.
2．（2024·江西·校联考模拟预测）近年来，随着智能手机的普及，网络购物、直播带货、网上买菜等新业态迅速进入了我们的生活，改变了我们的生活方式.现将一周网上买菜次数超过3次的市民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的市民认定为"不喜欢网上买菜".某市社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机抽取了该社区100名市民，得到的统计数据如下表所示：
(1)是否有99.9%的把握认为社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关?
(2)社区的市民李华周一、周二均在网上买菜，且周一从，两个买菜平台随机选择其中一个下单买菜.如果周一选择平台买菜，那么周二选择平台买菜的概率为；如果周一选择平台买菜，那么周二选择平台买菜的概率为，求李华周二选择平台买菜的概率；
(3)用频率估计概率，现从社区市民中随机抽取20名市民，记其中喜欢网上买菜的市民人数为，事件“”的概率为，求使取得最大值时的的值.
参考公式：，其中.
【答案】(1)有99.9%的把握认为社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关.
(2)
(3)12
【分析】（1）根据题意，计算出的值即可求解；
（2）根据概率的乘法公式求解；
（3）利用二项分布求出，然后计算，可得结果.
【详解】（1）零假设社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄无关，
由题可得，
，
所以零假设不成立，
所以有99.9%的把握认为社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关.
（2）周二选择平台买菜的情况有：
①周一选择平台买菜，周二选择平台买菜，概率为,
②周一选择平台买菜，周二选择平台买菜，概率为,
所以李华周二选择平台买菜的概率为.
（3）由表知，喜欢网上买菜的频率为，则,
所以
设，
令，解得，；
，解得，
所以当时，最大，
所以使取得最大值时的的值为12.
3．（2023·贵州贵阳·校联考三模）为了“让广大青少年充分认识到毒品的危害性，切实提升青少年识毒防毒拒毒意识”，我市组织开展青少年禁毒知识竞赛，团员小明每天自觉登录“禁毒知识竞赛APP”，参加各种学习活动，同时热衷于参与四人赛.每局四人赛是由网络随机匹配四人进行比赛，每题回答正确得20分，第1个达到100分的比赛者获得第1名，赢得该局比赛，该局比赛结束.每天的四人赛共有20局，前2局是有效局，根据得分情况获得相应名次，从而得到相应的学习积分，第1局获得第1名的得3分，获得第2､3名的得2分，获得第4名的得1分；第2局获得第1名的得2分，获得第2､3､4名的得1分；后18局是无效局，无论获得什么名次，均不能获得学习积分.经统计，小明每天在第1局四人赛中获得3分､2分､1分的概率分别为，，，在第2局四人赛中获得2分､1分的概率分别为，.
(1)设小明每天获得的得分为X，求X的分布列和数学期望；
(2)若小明每天赛完20局，设小明在每局四人赛中获得第1名从而赢得该局比赛的概率为，每局是否赢得比赛相互独立，请问在每天的20局四人赛中，小明赢得多少局的比赛概率最大？
【答案】(1)分布列答案见解析，数学期望：
(2)在每天的20局四人赛中，小明赢得5局的比赛概率最大
【分析】（1）记事件表示第一局获得分，事件表示第二局获得分，的可能值为5，4，3，2，根据事件相互独立求出的分布列、数学期望；
（2）设小A每天赢得的局数为，则，从而得到关于的不等式组，解之即可得解.
【详解】（1）记事件表示第一局获得分，事件表示第二局获得分，
这些事件相互独立，由条件知的可能值为5，4，3，2.
；
；
；
.
则其分布列为
所以.
（2）设小明每天赢得的局数为，则易知，
于是.
假设赢得局的概率最大，则据条件得，
即，
整理得，解之得，
又因为，所以，
因此在每天的20局四人赛中，小明赢得5局的比赛概率最大.
4．（2023·广东广州·统考模拟预测）某款自营生活平台以及提供配送服务的生活类软件主要提供的产品有水产海鲜，水果，蔬菜，食品，日常用品等．某机构为调查顾客对该软件的使用情况，在某地区随机访问了100人，访问结果如下表所示．
(1)从被访问的100人中随机抽取2名，求所抽取的都是女性顾客且使用该软件的概率；
(2)用随机抽样的方法从该地区抽取10名市民，这10名市民中使用该软件的人数记为，问为何值时，的值最大？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由古典概型的概率计算公式，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由二项分布的概率计算公式列出式子，然后即可得到其最大值.
【详解】（1）设事件为“从被访问的100人中随机抽取2名，所抽取的都是女性顾客且使用该软件”，从被访问的100人中随机抽取2名，共有个基本事件，事件共有个基本事件，
则．
（2）由题意，服从二项分布，且使用该软件的概率为，
则．
所以．
设．
若，则；
若，则．
所以时，最大．
题型三：建立二项分布模型解决实际问题
1．（2023·全国·模拟预测）5G技术是未来信息技术的核心，而芯片是5G通信技术的关键之一.我国某科创企业要用新技术对一种芯片进行试生产.现对这种芯片进行自动智能检测，已知自动智能检测显示该种芯片的次品率为1.5%，且每个芯片是否为次品相互独立.该企业现有试生产的芯片10000个，给出下面两种检测方法：
方法1：对10000个芯片逐一进行检测.
方法2：将10000个芯片分为1000组，每组10个，把每组10个芯片串联起来组成一个芯片组，对该芯片组进行一次检测，如果检测通过，那么可断定该组10个芯片均为正品，如果不通过，那么再逐一进行检测.
(1)按方法2，求一组芯片中恰有1个次品的概率（结果保留四位有效数字）；
(2)从平均检测次数的角度分析，哪种方法较好？请说明理由.
参考数据：，，.
【答案】(1)
(2)方法2较好，理由见解析
【分析】（1）由题意根据二项分布的概率公式直接计算即可.
（2）对于方法一，其检测次数为10000，对于方法二，分析得出每组芯片需要被检测的X次数的所有可能取值为1，11，分别求出，再结合均值公式即可得解，比较大小即可判断.
【详解】（1）因为每个芯片是否为次品相互独立，
所以所求概率.
（2）方法1的检测次数为10000.
方法2：对于某组芯片，如果进行一次检测且通过，那么对这10个芯片只检测1次；
如果检测不通过，那么需对这10个芯片再逐一进行检测，这时共需进行11次检测.
每组芯片需要被检测的X次数的所有可能取值为1，11，
且若一组芯片均为正品，则；若含有次品，则.
因此.
，
所以，
所以1000组芯片的检验次数的均值为.
因此方法2较好.
2．（2023·山东烟台·统考二模）某企业拥有甲、乙两条零件生产线，为了解零件质量情况，采用随机抽样方法从两条生产线共抽取180个零件，测量其尺寸（单位：）得到如下统计表，其中尺寸位于的零件为一等品，位于和的零件为二等品，否则零件为三等品．
(1)完成列联表，依据的独立性检验能否认为零件为一等品与生产线有关联？
(2)将样本频率视为概率，从甲、乙两条生产线中分别随机抽取2个零件，每次抽取零件互不影响，以表示这4个零件中一等品的数量，求的分布列和数学期望；
(3)已知该企业生产的零件随机装箱出售，每箱60个．产品出厂前，该企业可自愿选择是否对每箱零件进行检验．若执行检验，则每个零件的检验费用为5元，并将检验出的三等品更换为一等品或二等品；若不执行检验，则对卖出的每个三等品零件支付120元赔偿费用．现对一箱零件随机检验了10个，检出了1个三等品．将从两条生产线抽取的所有样本数据的频率视为概率，以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望作为决策依据，是否需要对该箱余下的所有零件进行检验？请说明理由．
附，其中；．
【答案】(1)填表见解析；可以认为零件是否为一等品与生产线有关联
(2)分布列见解析；期望为
(3)应对剩下零件进行检验，理由见解析
【分析】（1）由表格填写列联表，计算卡方，与3.841比较后得到结论；
（2）首先计算出任取一个甲生产线零件为一等品和任取一个乙生产线零件为一等品的概率，求出的可能取值及相应的概率，得到分布列，求出期望值；
（3）设余下的50个零件中的三等品个数为X，则，求出，再设检验费用与赔偿费用之和为Y，得到，求出，计算出若对余下的所有零件进行检验，则检验费用元，比较后得到结论.
【详解】（1）由题意得列联表如下：
，
因为，依据小概率值的独立性检验，可以认为零件是否为一等品与生产线有关联．
（2）由已知任取一个甲生产线零件为一等品的概率为，任取一个乙生产线零件为一等品的概率为．
的所有可能取值为0，1，2，3，4．
，
，
，
，
，
所以的分布列为
．
（3）由已知，每个零件为三等品的频率为，
设余下的50个零件中的三等品个数为X，则，
所以．
设检验费用与赔偿费用之和为Y，
若不对余下的所有零件进行检验，则，
．
若对余下的所有零件进行检验，则总检验费用为元．
因为，所以应对剩下零件进行检验．
3．（2023·河北张家口·统考一模）某医疗用品生产商用新旧两台设备生产防护口罩，产品成箱包装，每箱500个．
(1)若从新旧两台设备生产的产品中分别随机抽取100箱作为样本，其中新设备生产的100箱样本中有10箱存在不合格品，旧设备生产的100箱样本中有25箱存在不合格品，由样本数据，填写完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为“有不合格品”与“设备"有关联？
单位：箱
(2)若每箱口罩在出厂前都要做检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱口罩中任取20个做检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有口罩做检验．设每个口罩为不合格品的概率都为，且各口罩是否为不合格品相互独立．记20个口罩中恰有3件不合格品的概率为，求最大时的值．
(3)现对一箱产品检验了20个，结果恰有3个不合格品，以（2）中确定的作为的值．已知每个口罩的检验费用为0.2元，若有不合格品进入用户手中，则生产商要为每个不合格品支付5元的赔偿费用．以检验费用与赔偿费用之和的期望为决策依据，是否要对这箱产品余下的480个口罩做检验？
附表：
附：，其中．
【答案】(1)填表见解析；认为箱中有不合格品与新旧设备有关联
(2)
(3)应该对余下的480个口罩进行检验
【分析】（1）根据题中的条件可填写列联表，利用卡方计算公式计算出卡方值，结合标准误差可以判断出关联性；
（2）利用独立重复性实验的计算公式得出20个口罩中恰有3件不合格品的概率为的表达式，利用求导方法解出的最大时的；
（3）先设表示余下的480件产品中不合格品的数量，符合二项分布，解出期望，再设产品的检验费用与赔偿费用的和记为，找出、的等式关系，即可求出，进而判断结果.
【详解】（1）解： 单位：箱
零假设为：有不合格品与新旧设备无关联．
由列联表可知的观测值
，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为箱中有不合格品与新旧设备有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01．
（2）由题意，得，
则，
令，又，得．
当时，，当时，，
所以最大时的值．
（3）由（2）知．
设表示余下的480件产品中不合格品的数量，依题意知，
所以．
若不对该箱余下的口罩做检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，则，
所以．
如果对余下的产品做检验，这一箱产品所需要的检验费为（元）．
364远大于100，所以应该对余下的480个口罩进行检验．
4．（2023·全国·东北师大附中校联考模拟预测）调查问卷中常常涉及到个人隐私或本人不愿正面回答的问题，被访人可能拒绝回答，即使回答，也不能期望答案是真实的.某小区要调查业主对物业工作是否满意的真实情况，现利用“随机化选答抽样”方法制作了具体调查方案，其操作流程如下：在一个箱子里放3个红球和2个白球，被调查者在摸到球后记住颜色并立即将球放回，如果抽到的是红球，则回答“你的性别是否为男性？”如果抽到的是白球，则回答“你对物业工作现状是否满意？”两个问题均用“是”或“否”回答.
(1)共收取调查问卷100份，其中答案为“是”的问卷为60份，求一个业主对物业工作表示满意的概率，已知该小区共有业主500人，估计该小区业主对物业工作满意的人数；
(2)现为了提高对物业工作满意的业主比例，对小区业主进行随机访谈，请表示不满意的业主在访谈中提出两个有待改进的问题.
（i）若物业对每一个待改进的问题均提出一个相应的解决方案，该方案需要由5名业主委员会代表投票决定是否可行.每位代表投赞同票的概率均为，方案需至少3人投赞成票，方能予以通过，并最终解决该问题，求某个问题能够被解决的概率；
（ii）假设业主所提问题各不相同，每一个问题能够被解决的概率都为，并且都相互独立.物业每解决一个问题，业主满意的比例将提高一个百分点.为了让业主满意的比例提高到80%，试估计至少要访谈多少位业主？
【答案】(1)，375人
(2)（i）；（ii）至少要访谈48位业主
【分析】（1）根据红球与白球的个数比例以及问卷调查的情况，通过比例求解即可；
（2）（i）由每位代表投赞同票的概率均为，且方案需至少3人投赞成票，方能予以通过，根据二项分布的概率公式运算求解即可；
（ii）由（1）知，该小区业主对物业工作满意的概率为，要使满意度提高到80%，可设设至少要访谈位业主，列出关于的不等式，解不等式即可．
【详解】（1）记：事件“业主对物业工作表示满意”，则，
所以，（人），
故该小区业主对物业工作表示满意的人数约为375人；
（2）（i）由已知得，每位代表投赞同票的概率均为，
方案需至少3人投赞成票，方能予以通过，所以，
故某个问题能够被解决的概率；
（ii）设至少要访谈位业主，由（1）知，该小区业主对物业工作满意的概率为，
要使业主满意的比例提高到80%，则有
，
故至少要访谈48位业主．
三、专项训练
1．（2023·湖南永州·统考二模）在某网络平台组织的禁毒知识挑战赛中，挑战赛规则如下：每局回答3道题，若回答正确的次数不低于2次，该局得3分，否则得1分，每次回答的结果相互独立．已知甲、乙两人参加挑战赛，两人答对每道题的概率均为．
(1)若甲参加了3局禁毒知识挑战赛，设甲得分为随机变量，求的分布列与期望；
(2)若甲参加了局禁毒知识挑战赛，乙参加了局禁毒知识挑战赛，记甲在禁毒知识挑战赛中获得的总分大于的概率为，乙在禁毒知识挑战赛中获得的总分大于的概率为，证明：．
【答案】(1)分布列见解析；6
(2)证明见解析
【分析】（1）确定随机变量X的可能取值，求出每个值相应的概率，即可得分布列，继而求得期望；
（2）设在甲参加了的局禁毒知识挑战赛中，获胜局数为Y，可得，由此求出的表达式没利用作差法，即可证明结论.
【详解】（1）依题意可得，随机变量，
设甲、乙在一局比赛中得3分的概率为P，则，
则，
，
故X的分布列为：
故；
（2）证明：设在甲参加了的局禁毒知识挑战赛中，获胜局数为Y，
则所获总分为，若，则，
则，因为，
故，同理可得,
则
，
故.
2．（2024·广东广州·广州市培正中学校考二模）某校高二（1）班的元旦联欢会设计了一项抽奖游戏：准备了张相同的卡片，其中只在张卡片上印有“奖”字.
(1)采取放回抽样方式，从中依次抽取张卡片，求抽到印有“奖”字卡片张数的分布列、数学期望及方差；
(2)采取不放回抽样方式，从中依次抽取张卡片，求第一次抽到印有“奖”字卡片的条件下，第三次抽到未印有“奖”字卡片的概率.
【答案】(1)分布列答案见解析，，
(2)
【分析】（1）分析可知，，由二项分布可得出的分布列，利用二项分布的期望和方差公式可得出的期望和方差；
（2）记事件第一次抽到印有“奖”字卡片，事件第三次抽到未印有“奖”字卡片，计算出、的值，利用条件概率公式可求得的值，即为所求.
【详解】（1）解：由题意可知，，
则，，
，，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
所以，，.
（2）解：记事件第一次抽到印有“奖”字卡片，事件第三次抽到未印有“奖”字卡片，
则，.
由条件概率公式可得，
所以，在第一次抽到印有“奖”字卡片的条件下，第三次抽到未印有“奖”字卡片的概率为.
3．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）由于人类的破坏与栖息地的丧失等因素，地球上濒临灭绝生物的比例正在以惊人的速度增长.在工业社会以前，鸟类平均每年灭绝一种，兽类平均每年灭绝一种，但是自工业社会以来，地球物种灭绝的速度已经超出自然灭绝率的倍.所以保护动物刻不容缓，全世界都在号召保护动物，动物保护的核心内容是禁止虐待、残害任何动物，禁止猎杀和捕食野生动物，某动物保护机构为了调查研究人们“保护动物意识的强弱与性别是否有关联”，从某市市民中随机抽取名进行调查，得到统计数据如下表：
(1)根据以上数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为人们保护动物意识的强弱与性别有关联？
(2)将频率视为概率，现从该市女性的市民中用随机抽样的方法每次抽取人，共抽取次.记被抽取的人中“保护动物意识强”的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列和数学期望.
参考公式：，其中.
附：
【答案】(1)有关联
(2)分布列见解析，
【分析】（1）计算出的观测值，结合临界值表可得出结论；
（2）分析可知，，利用二项分布可得出随机变量的分布列，进而可求得的值.
【详解】（1）零假设为保护动物意识的强弱与性别无关联.
由题意，，
所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为保护动物意识的强弱与性别有关联.
（2）由题意可知：在女性的市民中抽到人，
抽中“保护动物意识强”的女性市民的概率为，
所以的所有可能取值为、、、、，由题意可知，，
，，
，，
，
所以的分布列为
所以.
4．（2024·全国·模拟预测）某地文旅部门为了增强游客对本地旅游景区的了解，提高旅游景区的知名度和吸引力，促进旅游业的发展，在2023年中秋国庆双节之际举办“十佳旅游景区”评选活动，在坚持“公平、公正公开”的前提下，经过景区介绍、景区参观、评选投票、结果发布、颁发奖牌等环节，当地的6个“自然景观类景区”和4个“人文景观类景区”荣获“十佳旅游景区”的称号．评选活动结束后，文旅部门为了进一步提升“十佳旅游景区”的影响力和美誉度，拟从这10个景区中选取部分景区进行重点推介.
(1)若文旅部门从这10个景区中先随机选取1个景区面向本地的大学生群体进行重点推介、再选取另一个景区面向本地的中学生群体进行重点推介，记面向大学生群体重点推介的景区是“自然景观类景区”为事件A，面向中学生群体重点推介的景区是“人文景观类景区”为事件B，求，；
(2)现需要从“十佳旅游景区”中选4个景区，且每次选1个景区（可以重复），分别向北京、上海、广州、深圳这四个一线城市进行重点推介，记选取的景区中“人文景观类景区”的个数为X，求X的分布列和数学期望．
【答案】(1)，
(2)分布列见解析；期望为
【分析】（1）利用条件概率的公式及全概率公式求解即可；
（2）随机变量符合二项分布的两个特点“独立性”和“重复性”，故可建立二项分布模型，按二项分布求解即可.
【详解】（1）由古典概型的计算公式可得，，，
由条件概率的计算公式得：，
同理，
则．
（2）由题意知的所有可能取值为0，1，2，3，4，且，
；；
；；
．
所以X的分布列为
的数学期望．
5．（2023·全国·模拟预测）为庆祝中国共产党成立周年，某市开展了党史知识竞赛活动，竞赛结束后，为了解本次竞赛的成绩情况，从所有参赛学生中随机抽取了名学生的竞赛成绩作为样本，数据整理后，统计结果如表所示．
假设用样本频率估计总体概率，且每个学生的竞赛成绩相互独立．
(1)为了激励学生学习党史的热情，决定对竞赛成绩优异的学生进行表彰，如果获得表彰的学生占样本总人数的，试估计获奖分数线；
(2)该市决定从全市成绩不低于分的学生中随机抽取人参加省级党史知识竞赛，成绩在的人数为，求的分布列和数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）设获奖分数线为，分析可知，根据题意可得出关于的等式，解之即可；
（2）分析可知，，利用二项分布可得出的分布列，利用二项分布的期望公式可求得的值.
【详解】（1）解：由表格知，成绩在的频率为，成绩在的频率为，
成绩在的频率为，
设获奖分数线为，则，
所以，，解得．
（2）解：从全市成绩不低于分的学生中随机抽取一人参加省级党史知识竞赛，
成绩在的概率为，
由题意知，，则的可能取值有、、、、，
则，，
，，
，
所以的分布列为
故．
6．（2023·全国·模拟预测）某国卫生与公共服务部门数据显示，在近两周里，该国某州新冠肺炎确诊病例数新增．在对确诊病例的密切接触者进行医学观察后发现，其中未接种过新冠疫苗者感染病毒的比例较大．对该州120个密切接触者样本的医学观察结束后，统计了其疫苗接种与感染病毒情况，得到下面的列联表（单位：人）．
(1)是否有的把握认为密切接触者感染病毒与未接种新冠疫苗有关？
(2)以样本中结束医学观察的密切接触者感染病毒的频率估计概率，现从该地区结束医学观察的密切接触者中随机抽取4人统计感染病毒的人数，求其中至少有2人感染病毒的概率．
(3)该国现有一个中风险村庄，当地政府决定对村庄内所有住户进行排查．在排查期间，发现一户3口之家与确诊患者有过密切接触，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一进行病毒检测，每名成员进行检测后即告知结果，若检测结果呈阳性，则该家庭被确定为“感染高危家庭”．假设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为p（）且相互独立，记该家庭至少检测了2名成员才被确定为“感染高危家庭”的概率为，求当p为何值时，最大．
附：，其中．
【答案】(1)有的把握认为密切接触者感染病毒与未接种新冠疫苗有关；
(2)；
(3)当时，最大.
【分析】（1）利用独立性检验公式，代入计算比较即可；
（2）利用二项分布概率公式计算出答案即可；
（3）表示出，借助导数研究其单调性，从而确定为何值时，最大.
【详解】（1），
所以有的把握认为密切接触者感染病毒与未接种新冠疫苗有关．
（2）由题意得，该地区每名密切接触者感染病毒的概率为，
设随机抽取的4人中感染病毒的人数为X，则X的可能取值为0，1，2，3，4，
设至少有2人感染病毒的为事件A．
，，，
则．
（3），则，
令，则，（舍去），
随着p的变化，，的变化如下表:
综上，当时，最大.
7．（2023·贵州·清华中学校联考模拟预测）某工厂的质检部门对拟购买的一批原料进行抽样检验，以判定是接收还是拒收这批原料.现有如下两种抽样检验方案：
方案一：随机抽取一个容量为10的样本，并全部检验，若样本中不合格数不超过1个，则认为这批原料合格，予以接收；
方案二：先随机抽取一个容量为5的样本，全部检验，若都合格，则予以接收；若样本中不合格数超过1个，则拒收；若样本中不合格数为1个，则再抽取一个容量为5的样本，并全部检验，且只有第二批样本全部合格才予以接收.
假设拟购进的这批原料的合格率为，并用作为原料中每件产品是合格品的概率.若每件产品所需的检验费用为3元，且费用由工厂承担.
(1)若，即方案二中所需的检验费用为随机变量，求的分布列与期望；
(2)分别计算两种方案中这批原料通过检验的概率，若你是原料供应商，你希望质检部门采取哪种检验方案?说明理由.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)方案一的概率为，方案二的概率为；
采取方案二，理由见解析.
【分析】（1）随机变量X的值可能取值是15,30，分别求出概率即可求出分布列，进而可求出数学期望；
（2）分别求出方案一和方案二的概率，由作差法可得，利用导数讨论函数的性质，即可求解.
【详解】（1）由题意，随机变量X的值可能取值是15,30，
对应的事件是随机抽取一个容量为5的样本，全部检验，都合格或不合格品件数超过1个，
对应的事件是随机抽取一个容量为5的样本，全部检验，出现了1个不合格品然后又抽取了容量为5的样本，全部检验，
所以，，
X的分布列为：
所以；
（2）方案一通过检验的概率为，
方案二通过检验的概率为，
，其中，
令，
则，
所以函数在上单调递增，故，
即，
故原料供应商更希望该工厂的质检部门采取方案二，因为原料通过检验的概率更高.
8．（2023·广东汕头·校考一模）西梅以“梅”为名，实际上不是梅子，而是李子，中文正规名叫“欧洲李”，素有“奇迹水果”的美誉.因此，每批西梅进入市场之前，会对其进行检测，现随机抽取了10箱西梅，其中有4箱测定为一等品.
(1)现从这10箱中任取3箱，求恰好有1箱是一等品的概率；
(2)以这10箱的检测结果来估计这一批西梅的情况，若从这一批西梅中随机抽取3箱，记表示抽到一等品的箱数，求的分布列和期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据古典概型概率计算公式以及组合数的计算求得所求概率.
（2）利用二项分布的知识求得分布列并求得数学期望.
【详解】（1）设抽取的3箱西梅恰有1箱是一等品为事件，
则；因此，从这10箱中任取3箱，恰好有1箱是一等品的概率为.
（2）由题意可知，从这10箱中随机抽取1箱恰好是一等品的概率，
由题可知的所有可能取值为0，1，2，3，则
，，
，，
所以的分布列为
.
9．（2023·四川凉山·二模）某市为了更好地了解全体中小学生感染某种病毒后的情况，以便及时补充医疗资源，从全市中小学生中随机抽取了100名该病毒抗原检测为阳性的中小学生监测其健康状况，100名中小学生感染某种病毒后的疼痛指数为X，并以此为样本得到了如下图所示的表格：
(1)统计学中常用表示在事件A发生的条件下事件B发生的似然比．现从样本中随机抽取1名学生，记事件A为“该名学生为有症状感染者（轻症感染者和重症感染者统称为有状感染者）”，事件B为“该名学生为重症感染者”，求事件A发生的条件下事件B发生的似然比；
(2)若该市所有该病毒抗原检测为阳性的中小学生的疼痛指数X近似服从正态分布，且．若从该市众多抗原检测为阳性的中小学生中随机地抽取3名，设这3名学生中轻症感染者人数为Y，求Y的概率分布列及数学期望．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）应用条件概率公式计算求解即可；
（2）应用，由二项分布分别写出求分布列及计算数学期望.
【详解】（1）由题意得：，
，
，
.
（2），
，则，
可能的取值为，
的分布列为：
数学期望.
10．（2023·广东·统考模拟预测）某工厂车间有6台相同型号的机器，各台机器相互独立工作，工作时发生故障的概率都是，且一台机器的故障由一个维修工处理．已知此厂共有甲、乙、丙3名维修工，现有两种配备方案，方案一：由甲、乙、丙三人维护，每人负责2台机器；方案二：由甲乙两人共同维护6台机器，丙负责其他工作.
(1)对于方案一，设X为甲维护的机器某一时刻发生故障的台数，求X的分布列与数学期望E（X）；
(2)在两种方案下，分别计算某一时刻机器发生故障时不能得到及时维修的概率，并以此为依据来判断，哪种方案能使工厂的生产效率更高？
【答案】(1)分布列见解析，
(2)，，方案二能让故障机器更大概率得到及时维修，使得工厂的生产效率更高．
【分析】（1）根据题意得到随机变量，结合独立重复试验的概率计算公式求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解；
（2）根据题意，分别求得方案一和方案二中，结合对立事件和独立重复试验的概率计算公式，分别求得机器发生故障时不能及时维修的概率和，根据大小关系，即可得到结论.
【详解】（1）解：由题意，车间有6台相同型号的机器，各台机器相互独立工作，工作时发生故障的概率都是，可得方案一中，随机变量，
则，，，
所以随机变量的分布列为：
所以期望为．
（2）解：对于方案一：“机器发生故障时不能及时维修”等价于“甲、乙、丙三人中，至少有一人负责的2台机器同时发生故障”，设机器发生故障时不能及时维修的概率为，
则其概率为．
对于方案二：设机器发生故障时不能及时维修的概率为，
则，
可得，即方案二能让故障机器更大概率得到及时维修，使得工厂的生产效率更高．
4
5
6
7
8
0
1
2
3
喜欢旅游
不喜欢旅游
总计
男性
20
30
50
女性
30
20
50
总计
50
50
100
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
喜欢网上买菜
不喜欢网上买菜
合计
年龄不超过45岁的市民
40
10
50
年龄超过45岁的市民
20
30
50
合计
60
40
100
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
5
4
3
2
使用人数
未使用人数
女性顾客
40
20
男性顾客
20
20
生产线
甲
4
9
23
28
24
10
2
乙
2
14
15
17
16
15
1
一等品
非一等品
甲
乙
一等品
非一等品
甲
75
25
乙
48
32
0
1
2
3
4
P
是否有不合格品
设备
无不合格品
有不合格品
合计
新
旧
合计
0.100
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
是否有不合格品
设备
无不合格品
有不合格品
合计
新
90
10
100
旧
75
25
100
合计
165
35
200
X
3
5
7
9
P
保护动物意识强
保护动物意识弱
合计
男性
女性
合计
0
1
2
3
4
成绩区间
频数
接种疫苗情况
感染病毒情况
感染
未感染
未接种
20
30
已接种
10
60
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
p
0
增
极大值
减
X
15
30
P
0
1
2
3
P
疼痛指数X
人数
10
81
9
名称
无症状感染者
轻症感染者
重症感染者
0
1
2
3
X
0
1
2
P