河北省沧衡名校联盟2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题（解析版）

这是一份河北省沧衡名校联盟2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题（解析版），共11页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容， 已知函数，则， 定义表示集合的元素个数，例如， 已知，则的最小值为， 下列函数为同一函数的是等内容，欢迎下载使用。
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册前三章.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】由，得，所以，
，
所以.
故选：D.
2. 已知命题：所有的正方形都是菱形，则命题的否定为（ ）
A. 所有的菱形都不是正方形B. 存在一个正方形不是菱形
C. 所有的正方形都不是菱形D. 存在一个正方形是菱形
【答案】B
【解析】命题：所有的正方形都是菱形，则命题的否定为存在一个正方形不是菱形.
故选：B.
3. 已知满足的使得恒成立，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由，求出，
在上恒成立，
，
当时，，，
当x∈0,2时，，
其中，当且仅当时，等号成立，
故，
综上，的取值范围为.
故选：A
4. 函数的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，令，则，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以函数的最大值为.
故选：C.
5. 已知函数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为，又，
所以.
故选：C.
6. 定义表示集合的元素个数，例如：，.已知，，则
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】表示的是上的点的集合，表示的是图象上的点的集合，
的定义域为，由函数定义知，与有且只有1个交点，
故.
故选：B
7. 已知函数的图象关于原点对称，则（ ）
A. 20B. 22C. 24D. 26
【答案】C
【解析】因为的图象关于原点对称，故，
其中，
，
则，
由于恒成立，
故，解得，
，是奇函数，符合题意，
则.
故选：C
8. 已知，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，
，即.
，即.
，
当且仅当即时等号成立
故的最小值为.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列函数为同一函数的是（ ）
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
【答案】BCD
【解析】A选项，的定义域为，
的定义域为R，两函数定义域不同，不是同一函数，A错误；
B选项，，，两函数为同一函数，B正确；
C选项，中，令，解得，
中，令，解得，
故两函数定义域相同，又，故两函数为同一函数，C正确；
D选项，中，
当时，，
当时，，
故，故两函数为同一函数，D正确；
故选：BCD
10. 已知定义在上的函数满足，，，且，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】由得，关于对称，
，，且，，故在上单调递增，
故，
故，A正确；，B错误；
，C正确；，D正确.
故选：ACD
11. 已知函数，则（ ）
A. 在上单调递减B. 在上单调递减
C. 在上单调递增D. 在上单调递增
【答案】AC
【解析】由对勾函数且是奇函数，
所以在0,2，上单调递减，在，上单调递增，
易得的定义域为，，所以函数是偶函数，
故只需研究在上的单调性即可，
由，解得，
由复合函数的单调性可得在上单调递增，故B错误；
由，解得，同理可得在上单调递增，
另外，可知在上单调递减，故D错误；
结合是偶函数，可得在上单调递减，在上单调递增，故AC正确.
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，，则是的______条件（在“充要”“充分不必要”“必要不充分”中选一个填入）.
【答案】充分不必要
【解析】由，得，
由，可得，显然由可以推出，由推不出，
所以是的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要.
13. 已知实数，，满足，则的最大值为_________.
【答案】
【解析】由，得，
所以，
当且仅当时取等号，故的最大值为.
故答案为：.
14. 若存在实数，使得，则称函数y=fx与函数y=gx具有“联系”.若函数与函数不具有“联系”，则实数的取值范围为_________.
【答案】
【解析】若函数与函数具有“联系”，等价于方程有解，令，则，可得，
显然时，不成立，
可知，可得，
又因为，可得，
即若函数与函数具有“联系”，等价于，
若函数与函数不具有“联系”，等价于，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知，.
（1）若是真命题，求实数的取值集合；
（2）在（1）的条件下，集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围.
解：（1）若是真命题，则，解得，
所以；
（2）因为“”是“”的充分条件，所以，
因为，所以，
解得，所以实数的取值范围为.
16. 已知是定义在上的奇函数.
（1）求的解析式.
（2）证明：在上单调递增.
（3）求不等式的解集.
解：（1）因为为定义在上的奇函数，故，
即，解得，
，
又，故，
故，所以，解得，
故，经检验，满足要求；
（2）任取且，
则，
因为且，所以且，
所以，
所以，故在上单调递增；
（3）因为为定义在上的奇函数，且在上单调递增，
所以在上单调递增，
，故，解得，
的解集为.
17. （1）若关于的不等式的解集为{或}，求不等式的解集；
（2）已知正数，满足，证明：.
（1）解：因为不等式的解集为或
则和是方程两根，
由韦达定理得，解得.
不等式，即
解得，即的解集为.
（2）证明：因为，所以.
因为，当且仅当时，等号成立，
所以，故，得证.
18. 某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前面新建墙体的报价为每平方米元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米元，地面以及其他报价共计元.设劳动基地的左、右两面墙的长度均为米，原有墙体足够长.
（1）当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？
（2）现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求的取值范围.
解：（1）设甲工程队的总报价为元，依题意，左、右两面墙的长度均为米，则长方体前面新建墙体的长度为米，
所以，
即，
当且仅当时，即时，等号成立.
故当左面墙的长度为米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为元.
（2）由题意可知，，
即对任意的恒成立，
所以，可得，即.
，
当且仅当时，即时，取最小值，
则，即的取值范围是.
19. 若，，，则不等式 ，当且仅当时，等号成立.这个不等式叫做权方和不等式，称为该不等式的权，它的特点是分子的幂指数比分母的幂指数高1次.权方和不等式是数学中一个重要的不等式.
（1）若，证明二维形式的权方和不等式：.
（2）已知，，求的最小值.
（3）某同学运用权方和不等式解决下列问题，指出这种解法是否正确，并说明理由.
已知正数，满足，求的最大值.
解：由权方和不等式得，
所以的最大值是5.
（1）证明：
，当且仅当时，等号成立.
因为，所以.
（2）解：
，
当且仅当时，等号成立.
所以最小值为.
（3）解：这种解法不正确.
原因如下：这种解法当且仅当，即时等号成立.
由，消去得，因为，所以本方程无实数解，
所以，的最大值不是5.